均值不等式在高考数学和物理解题中的应用-算术平均数不小于几何平均数的应用举例_第1页
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在高中阶段，均值不等式中最常用的是“对于若干个非负实数，它们的算术平均数不小于几何平均数”，表达式为

在数学和物理的高考备考复习中，高三师生每天都会遇到大量的练习题，其中有关“最值”的问题是极其常见的。在高中物理教学中，无论力学部分还是电磁学部分，都有讨论最大值或最小值的问题以及物理量变大变小的问题，这些问题的解决都离不开不等式的知识。下边仅针对均值不等式中“几个非负实数的算术平均数不小于几何平均数”在数学和物理习题中的应用问题举几个典型例子。例一、已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（

）

解析：设题中球半径为R=1，四棱锥底面四个顶点所在的圆半径为r，当四棱锥顶点O到底面的距离（即高）一定时，为使四棱锥体积最大，应使其底面为正方形（这个正方形的边长为）。设四棱锥的高为h，则有

所以这道题选C。

当然，把即作为函数，对h求导，应用导数知识也能得出正确结果。另外，在确定四棱锥底面应为正方形的情况下，如果设四棱锥的棱与底面夹角为θ，则四棱锥的体积表达式为这时，把作为函数，应用导数知识或者均值不等式同样可以得出答案。均值不等式法推导如下：

例二、用长为L的细线将一质量为m的小球悬挂于O点，保持细线伸直，将小球从细线水平时的位置由静止释放，让小球在竖直平面内运动。试求小球所受重力做功的最大功率。（已知重力加速度为g）解答：设小球和细线摆下角度θ时小球的速度为v，对小球运动过程运用动能定理得：此时重力的功率为P=mgvcosθ联立得这里m、g、L均为定值，只有P随着θ变化，应用导数知识可以求出功率P的最大值，但通过恒等变形，应用均值不等式也能解决，推导如下：

例三、在直角坐标系xOy的x轴上原点O左右对称放置电荷量为Q的等量同号正电荷，二者相距L，则y轴正半轴上哪个点的电场强度最大？是多大？解答：设AC连线与y轴夹角为θ，则，点C处的电场强度为：

可知当sin2θ=2cos2θ即时，点C处的电场强度取最大值。小结：通过上面几个例子可以看出，数学跟物理的关系真是太密切了，二者在很多时候、很多地方都是相辅相成、相得益彰的。所以，我们在高考复习中，一定要辩证统一的对待各学科，要把各学科特别是物理和数学等科有机的统一起来，切忌机械对立。要深深体会到数学思维、数学结论可以用在物理问题中，物理思维、物理结论也可以用在数学问题中。只有这样，高考复习才能事半功倍，才能跳出人人拼时间

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