2026年数学建模与数据分析模拟卷

2026年数学建模与数据分析模拟卷第一部分：数据分析与处理（共3题，每题20分，合计60分）题目1（15分）某电商平台2023年1月至12月的用户注册量与购买金额数据如下表所示（部分数据缺失）。请补全缺失数据，并绘制时间序列图，分析用户注册量与购买金额的趋势特征。若假设2024年用户注册量将继续保持与2023年相同的趋势，试预测2024年1月至3月的用户注册量，并说明预测方法。数据表：|月份|用户注册量（万人）|购买金额（亿元）||||||1月|120|5.2||2月|150|6.8||3月|180|7.5||4月||8.1||5月|220|9.2||6月|250|10.5||7月||11.0||8月|280|12.0||9月||11.5||10月|320|13.2||11月||14.0||12月|350|15.5|题目2（25分）某城市2023年各区域空气质量监测数据如下表所示（单位：微克/立方米）。请计算每个区域的PM2.5平均浓度，并绘制箱线图比较各区域的PM2.5分布差异。若发现某区域PM2.5浓度异常偏高，请分析可能的原因并提出改进建议。数据表：|区域|PM2.5（工业区）|PM2.5（商业区）|PM2.5（居民区）|PM2.5（郊区）|||-|-|-|-||东城区|35|28|22|18||西城区|40|32|25|20||南城区|38|30|24|19||北城区|42|34|27|21||郊县|30|25|20|15|题目3（20分）某银行2023年客户贷款违约数据如下表所示（部分数据缺失）。请计算不同信用等级客户的违约率，并绘制柱状图进行比较。若假设2024年客户的信用评估模型不变，试预测2023年信用等级为“差”的客户中，2024年违约的可能性。数据表：|信用等级|贷款总额（万元）|违约金额（万元）||-|--|--||优|1000|20||良|1500|50||中|2000|80||差|500|?|第二部分：统计建模与分析（共2题，每题25分，合计50分）题目4（25分）某农场2023年不同种植密度（株/亩）下的玉米产量数据如下表所示。请建立回归模型分析种植密度对玉米产量的影响，并预测当种植密度为3000株/亩时，玉米的理论产量。若发现模型存在异方差性，请提出修正方法。数据表：|种植密度（株/亩）|产量（斤/亩）|||||2000|500||2200|550||2400|600||2600|630||2800|650||3000|?||3200|670||3400|680|题目5（25分）某医院2023年各科室患者满意度调查数据如下表所示。请进行主成分分析，提取主要影响因素，并解释各主成分的经济学意义。若发现某科室满意度较低，请结合主成分分析结果提出改进措施。数据表：|科室|医生态度|护士服务|设施条件|就诊效率|患者满意度|||-|-|-|-|||内科|4.5|4.2|4.0|4.3|4.2||外科|4.7|4.5|4.3|4.6|4.5||儿科|4.2|4.0|4.1|4.0|4.1||妇科|4.6|4.4|4.2|4.5|4.4||骨科|4.3|4.1|4.4|4.2|4.3|第三部分：优化建模与应用（共1题，40分）题目6（40分）某物流公司在2023年面临仓库选址与配送路线优化问题。公司现有3个仓库，需为周边5个配送点送货。各仓库的容量、配送点的需求量、运输成本及距离数据如下表所示。请建立线性规划模型，优化仓库选址与配送路线，使总运输成本最低。数据表：|仓库|容量（吨）|配送点1需求（吨）|配送点2需求（吨）|配送点3需求（吨）|配送点4需求（吨）|配送点5需求（吨）|运输成本（元/吨·公里）|||||||||||仓库A|200|50|60|40|70|30|2.0||仓库B|300|60|70|50|80|40|1.8||仓库C|250|40|50|60|60|50|2.2|答案与解析第一部分：数据分析与处理题目1答案与解析：1.数据补全：-4月：用户注册量=160（线性插值：180-120)/64+120=160，购买金额=7.9（线性插值：8.1-7.5)/4+7.5=7.9-7月：用户注册量=320，购买金额=11.6（线性插值：12.0-11.0)/5+11.0=11.6-9月：用户注册量=340，购买金额=11.3（线性插值：11.5-11.0)/4+11.0=11.3-11月：用户注册量=360，购买金额=13.8（线性插值：14.0-13.2)/4+13.2=13.82.趋势分析：-用户注册量呈指数增长，购买金额呈线性增长，两者正相关。-时间序列图显示2023年用户增长加速，但12月注册量环比下降，可能受年终促销政策影响。3.2024年预测：-注册量预测：2023年月均增长率=(350-120)/12=20.83%-2024年1月=350×(1+20.83%)=419.15万人；2月=419.15×(1+20.83%)≈507.8万人；3月=507.8×(1+20.83%)≈615.3万人。题目2答案与解析：1.PM2.5平均浓度：-东城区：33.33；西城区：35.67；南城区：33.67；北城区：34.33；郊县：23.33。2.箱线图比较：-西城区PM2.5最高，郊县最低，存在显著地域差异。-异常值分析：西城区PM2.5可能受邻近工业区排放影响，建议加强区域监测并推广清洁能源替代。题目3答案与解析：1.违约率计算：-优：2/1000=0.2%；良：50/1500=3.33%；中：80/2000=4%；差：需补充数据（假设为50/500=10%）。2.柱状图比较：-信用等级与违约率呈负相关，"差"等级客户违约风险显著。-2024年预测：若信用模型不变，2023年"差"客户违约率仍为10%。第二部分：统计建模与分析题目4答案与解析：1.回归模型：-模型：产量=450+0.08×密度（R²=0.98），当密度=3000时，产量=690斤/亩。2.异方差修正：-用加权最小二乘法（WLS）修正，权重为1/密度²，使残差方差齐性。题目5答案与解析：1.主成分分析：-旋转后主成分：PC1（医生态度+护士服务+就诊效率，方差贡献率60%）；PC2（设施条件，方差贡献率25%）。2.改进建议：-儿科PC1得分低，需提升医护人员服务；骨科PC2得分低，需改善设施条件。第三部分：优化