初一数学方程应用题精讲精练

初一数学方程应用题精讲精练方程，作为初中数学的入门利器，其重要性不言而喻。而方程应用题，则是将这一利器运用于实际情境的直接体现，也是不少同学在学习初期感到头疼的难点。很多同学不是不会解方程，而是面对文字描述的题目时，不知如何下手，找不到其中的数量关系，从而无法建立起方程模型。这篇文章，我们就来好好聊聊如何攻克初一数学方程应用题这道关，希望能为同学们提供一些实实在在的帮助。一、核心方法：找准“等量关系”是关键解应用题的核心，在于将“文字语言”转化为“数学语言”，而这个转化的桥梁，就是“等量关系”。那么，如何才能准确找到等量关系呢？首先，仔细审题是前提。拿到题目，不要急于动笔，先静下心来，逐字逐句地读题，至少读两遍。第一遍了解大意，第二遍就要开始捕捉关键信息：题目中涉及哪些量？哪些是已知的？哪些是未知的？题目要求什么？其次，分析数量关系，寻找“等量关系”。这是列方程的灵魂。等量关系通常隐藏在一些关键词句中，比如“一共”、“比……多（少）”、“是……的几倍（几分之几）”、“快”、“慢”、“提前”、“超过”、“相等”、“平均”等等。有时，等量关系也来源于一些基本的数量公式，比如：路程=速度×时间；总价=单价×数量；工作总量=工作效率×工作时间；利润=售价-成本价等等。再者，巧设未知数。一般情况下，问什么设什么（直接设元）。但有时，直接设元会使方程显得复杂，这时可以考虑设一个与所求量相关的间接未知数（间接设元），待求出间接未知数后，再求最终答案。设未知数时，要带上单位。然后，根据等量关系列方程。将题目中的数量关系，用含有所设未知数的代数式以及已知数表示出来，按照等量关系列出方程。这一步，就是将文字信息“翻译”成数学式子。最后，解方程并检验作答。求出方程的解后，别忘了检验。检验包括两个方面：一是检验解是否满足方程（数学检验）；二是检验解是否符合题目实际意义（实际检验）。如果不符合，那么要么是方程列错了，要么是解错了。确认无误后，再写出完整的答语，答语也要带上单位。简单来说，就是“审、设、列、解、验、答”这六个字。但这不仅仅是六个步骤，更是一种思考的流程，需要在实践中不断体会和熟练。二、典型题型与例题解析接下来，我们结合初一阶段常见的几种典型题型，通过例题来具体感受一下如何运用上述方法。（一）行程问题行程问题是应用题中的“大户”，变化较多，但核心离不开“路程=速度×时间（s=vt）”这个基本公式。常见的有相遇问题、追及问题。例题1（相遇问题）：甲、乙两人分别从相距若干千米的A、B两地同时出发，相向而行。已知甲每小时走4千米，乙每小时走5千米，经过2小时两人相遇。问A、B两地相距多少千米？分析与解答：*审：题目说的是甲乙两人相向而行，已知速度和时间，求总路程。*找等量关系：相遇时，甲走的路程+乙走的路程=A、B两地的距离。*设：这里求的就是A、B两地的距离，我们可以直接设其为x千米。不过，也可以先分别表示出甲乙的路程，再相加。*列：甲的路程=甲的速度×时间=4×2，乙的路程=5×2。根据等量关系：4×2+5×2=x。*解：计算左边8+10=x，所以x=18。*验：x=18代入方程，左边=8+10=18=右边，且距离为18千米符合实际。*答：A、B两地相距18千米。例题2（追及问题）：小明和小红在同一条直线跑道上跑步，小明在前，小红在后。小明的速度是每分钟200米，小红的速度是每分钟220米。如果两人相距100米，问小红几分钟后能追上小明？分析与解答：*审：追及问题，小红速度快，小明速度慢，有初始距离，求追及时间。*找等量关系：小红追上小明时，小红跑的路程=小明跑的路程+两人初始相距的距离。*设：设小红x分钟后能追上小明。*列：小红路程=220x，小明路程=200x。根据等量关系：220x=200x+100。*解：220x-200x=100→20x=100→x=5。*验：x=5时，小红跑了1100米，小明跑了1000米，____=100米，正好追上。符合题意。*答：小红5分钟后能追上小明。（二）工程问题工程问题的基本量是：工作总量、工作效率、工作时间。基本关系是：工作总量=工作效率×工作时间。通常将工作总量看作单位“1”。例题3：一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。如果甲先做3天，然后甲乙合作，还需要多少天才能完成这项工程？分析与解答：*审：甲乙单独完成工程的时间已知，甲先做一部分，然后合作，求合作时间。*找等量关系：甲先做的工作量+甲乙合作的工作量=总工作量（单位“1”）。*设：设甲乙合作还需要x天才能完成。*列：甲的工作效率是1/10（每天完成1/10），乙的工作效率是1/15。甲先做3天的工作量是3×(1/10)。甲乙合作x天的工作量是x×(1/10+1/15)。所以方程为：3/10+(1/10+1/15)x=1。*解：先算括号里的1/10+1/15=3/30+2/30=5/30=1/6。方程变为3/10+(1/6)x=1。移项(1/6)x=1-3/10=7/10。x=(7/10)÷(1/6)=(7/10)×6=42/10=4.2。通常工程问题结果可以是分数，这里4.2天即4又1/5天。*验：甲3天做3/10，合作4.2天，甲做4.2/10=0.42，乙做4.2/15=0.28，总共3/10+0.42+0.28=0.3+0.7=1。正确。*答：还需要4.2天（或4又1/5天）才能完成这项工程。（三）利润问题利润问题涉及的量：成本（进价）、售价、利润、利润率。基本关系：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；售价=成本×(1+利润率)。例题4：某商店购进一批商品，每件成本是50元。商店决定按一定的利润率定价，然后打九折出售，每件商品仍可获利14元。问商店最初的定价是多少元？分析与解答：*审：已知成本，打折后的售价仍有利润，求最初定价。*找等量关系：售价（打折后）-成本=利润。售价（打折后）=定价×折扣（九折即90%或0.9）。*设：设商店最初的定价是x元。*列：打折后的售价是0.9x。根据等量关系：0.9x-50=14。*解：0.9x=14+50=64→x=64÷0.9=640/9≈71.11？不对，这里计算要准确。64÷0.9=640/9=71又1/9。但实际定价通常是整数，我们检查一下方程。哦，没错，题目就是这样设定的。或者，可能我设的对吗？再看，定价x，打九折是0.9x，减去成本50，等于利润14。方程正确。*验：定价71又1/9元，九折后是(640/9)×0.9=64元。64-50=14元。正确。*答：商店最初的定价是71又1/9元（或约71.11元，根据题目要求保留）。（四）和差倍分问题这类问题主要涉及几个量之间的和、差、倍数或几分之几的关系。例题5：学校图书馆买来一批新书，其中故事书比科技书多120本，故事书的本数是科技书的3倍。求故事书和科技书各买来多少本？分析与解答：*审：已知故事书与科技书本数的差和倍数关系，求两种书的本数。*找等量关系：故事书本数-科技书本数=120；故事书本数=科技书本数×3。*设：设科技书买来x本，则故事书买来3x本。（设较小的量为x，计算方便）*列：根据差的关系：3x-x=120。*解：2x=120→x=60。则故事书有3x=180本。*验：180-60=120，180是60的3倍。正确。*答：故事书买来180本，科技书买来60本。三、巩固练习掌握了方法和典型题型，接下来就需要通过练习来巩固和提高。请同学们尝试解答以下几道练习题，注意运用我们讲过的“审、设、列、解、验、答”步骤。1.行程问题：A、B两地相距180千米，一辆快车和一辆慢车分别从两地同时出发，同向而行（快车在后）。快车每小时行80千米，慢车每小时行50千米。问快车几小时后能追上慢车？2.工程问题：一项工作，甲单独做需8小时完成，乙单独做需12小时完成。如果甲乙两人合作，多少小时能完成这项工作的一半？3.利润问题：一件商品按20%的利润率定价，然后又打八折出售，结果亏损了4元。这件商品的成本是多少元？4.和差倍分问题：一个两位数，个位数字与十位数字的和是10，个位数字是十位数字的3倍多1，求这个两位数。5.数字问题：一个三位数，三个数位上的数字之和是15，百位上的数字比十位上的数字多5，个位上的数字是十位上的数字的3倍。求这个三位数。（练习题答案及简要提示见文末）四、总结与建议方程应用题的学习，没有捷径，关键在于多思考、多练习、多总结。*克服畏难情绪：不要怕题目长，不要怕文字多，耐心读下去，你会发现很多信息都是“纸老虎”。*重视“找等量关系”的训练：这是列方程的核心，拿到题目后，先别急着设未知数，先把题目中的数量关系捋清楚。*规范解题步骤：养成“审、设、列、解、验、答”的良好习惯，这能帮助你减少失误，思路也更清晰。*错题整理：准备一个错题本，把做错的题目抄下来，分析错误原因，是等量关系找错了？还是解方程算错了？或是审题不清？定期回顾错题，能有效避免重复犯错。*举一反三：同一类型的题目，解法往往有共通之处，要学会触类旁通，灵活运用所学知识。记住，每一道应用题都是一个小小的谜题，等着你用方程这个“钥匙”去解开。当你成功列出方程并解出答案时，那种成就感是难以言喻的。希望同学们通过本文的学习，能对初一数学方程应用题有更清晰的认识，逐步提高解题能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。---巩固练习参考答案及简要提示：1.提示：追及问题，快车路程-慢车路程=相距路程。设x小时追上。方程：80x-50x=180→30x=180→x=6。答案：6小时。2.提示：工作总量看作1，一半就是1/2。甲效率1/8，乙效率1/12。设x小时完成一半。方程：(1/8+1/12)x=1/2→(5/24)x=1/2→x=(1/2)×(24/5)=12/5=2.4小时（或2又2/5小时）。答案：2.4小时。3.提示：设成本为x元。定价为x(1+20%)=1.2x。售价为1.2x×0.8=0.96x。亏损4元，即成本-售价=4。方程：x-0.96x=4→0.04x=4→x=100。答案：100元。4.提示：设十位数字为x，则个位数字为3x+1。根据“和是10”列方程：x+(3x+1)=10→4x=9→x=2.25？这显然不对。哦，题目条件“个位数字是十位数字的3倍多1”，且数字之和为10。若x=2，则个位为7，2+7=9≠10。x=1，个位为4，1+4=5≠10。x=3，个位为10，不符合。说明题目可能设置有问题，或者我们理解错了？“个位数字是十位数字的3倍多1”且“和是10”。若和是11呢？