数据、模型与决策第10章库存模型

第10章库存模型库存是指一个企业为满足日后所需而储存起来的闲置货物或物料。作为库存持有的物料包括原材料、采购的零部件、组件、在制品、成品以及其它供应品。企业之所以持有库存，其部分原因在于难以精确的预测产品的销售水品、生产时间、需求以及物料用量需求等。因此，库存是对不确定性及波动因素的一个缓冲，通过持有可得物料，以备企业及其客户所需。尽管库存起着重要的实质性作用，但其所发生的相关费用及持有成本在企业经营成本中也是相当可观的一部分。在大型企业中，库存开支可能会高达数百万美元。在涉及库存的应用中，管理者必须回答以下两个问题：●库存补货的订货量是多少？●何时进行补货存货？事实上，每个企业都有一定的库存管理模型或系统来解决上述问题。惠普与其零售商合作，协助零售商为其生产的打印及其他HP产品的库存制定补货策略。IBM为其所生产的一系列微电子零件开发了库存管理策略。其中这些微电子零件可能是供应IBM本公司所用，也可能是销售给某些外部客户。专栏10-1描述了一中用以进行订货批量决策的库存系统，该系统应用在药店行业。本章旨在说明数量模型如何辅助库存决策以确定订货批量和订货时间。我们首先研究确定性的库存模型，即假设产品的需求率是不变的或者是近似不变的。然后讨论概率性的库存模型，即对库存的需求是波动的并且只能用概率分布来描述。10.1经济订货量（EOQ）模型

经济订货量（EOQ）模型适用于需求率不变或近似不变的产品，并且要求库存的总订货量在一个时间到达。不变需求率的假设是指每段时期从库存中提取相同数量的货物，例如每天5的单位，每周25个单位，每4周100个单位，如此类推。我们以R&B饮料公司为例来解释EOQ模型。P&B饮料公司是一家啤酒、葡萄酒以及软饮料产品的经销商。公司的中央仓库位于俄亥俄州哥伦布市，向近1000家零售商供应饮料产品。其中，啤酒的平均库存大约为50000箱，占公司的总库存的40%。在每箱啤酒的库存成本大约为8美元上网情况下，P&B估计其啤酒库存成本达400000美元。

仓库经理已决定对该公司销量的最大的Bub牌啤酒做一项详细的库存研究费用。该研究的目的事为Bub牌啤酒作出关于订货批量和订货时间的决定，以便尽可能降低其总成本。作为研究的第一步，仓库经理得到了过去10周德如下需求数据：周需求（箱）123456789102000202519502000210020502000197519002000

总箱数20000平均每周箱数2000严格来讲，这些每周的需求数据并没有体现出其需求率是不变的。然而，可以看出其需求率是不变的。然而。可以看出各周需求的变化很小，因此我们可以假定需求率不变，所做出的每周2000箱的库存计划也是可以接受的。在实践中。我们会发现。实际库存很少与模型假设的相一致。因此，在所有具体应用中，管理者必须检查模型的假设是否与现实足够接近，以便合理的是模型发挥作用。在本例中，由于需求在最低点1900箱与最高点2100箱之间变化，因此我们假设的每周需求量固定为2000箱是比较合理的。持有成本是维持或持有一定库存水平所需耗费的相关成本；这些成本取决与库存的大小。首先要考虑的持有成本是库存投资的融资成本。企业贷款时，需要支付利息；即使企业使用自己的资金，也会产生机会成本，从而使得这些资金不能用于其它投资。两种情况下，都会由于库存占用的资金而产生利息成本。资金成本通常用投资数量的百分率来表示。R&B估计其资金成本率为每年18%。很多其它持有成本如保险、税金、损坏、盗窃以及仓储费用也取决于库存的价值。R&B估计这些成本每年占其库存价值的7%。因此，R&B啤酒库存的总持有成本为库存价值的18%+7%=25%。由于Bub牌啤酒每箱的成本为8美元。因此，我们可以计算出，在持有成本率为25%的情况下，每箱Bub牌啤酒在仓库中存储一年的持有成本为0.25×8美元=2.00美元。

为了进行库存分析，我们还需要确定订货成本。通常，我们不考虑订单的大小，而认为每次订货的成本是一样的。该成本包括订单的准备及订单的处理（包括支付、邮寄、电话费、运输、发票确认、接受等）。对于R&B饮料公司，订货成本的很大一部分用于支付采购员的薪水。对于采购的过程的一次分析显示，一个采购员在采购Bub牌啤酒时，需要花费近45分钟来进行订单的准备和处理。在工资率及额外福利成本为每个员工20美元每小时的情况下，可以计算得到订货成本中的人工成本为每份订单15美元。再加上纸张、邮费、电话费用、运输费用以及订单的接受成本等，总计为每份订单17美元。管理者估计订货成本为32美元一份订单。也就是说，不管订单上的订货数量为多少，R&B需要为每份订单支付32美元。持有成本、订货成本以及需求量的信息是在应用EOQ模型之前需要准备的3项数据。在R&B公司准备了这些数据之后，我们可以看一下如何利用这些数据建立一个总成本模型。首先定义Q为订货数量。这样一来，订货数量的决策就变为寻找持有成本和订货成本之和最小的Q的值。当从供应商那里得到的订单规模大小为Q时，Bub牌啤酒的库存最多将会持有Q单位。R&B将会从库存中发货以满足客户需求，直到库存耗尽，此时会收到运来的另外Q单位产品。如此，假设需求不变，Bub牌啤酒的库存曲线如图10-1所示。在图上可以看出，每期的平均库存½Q整个期间内从最大存量Q向最小存量0以固定的速度减少，因此，将平均库存置为½Q单位的水平是较为合理的。库存1/2QQ最大库存水平最小库存水平平均库存库存时间T用完Q单位库存所需的时间图10-1Bub牌啤酒的库存图10-1描述了在T时期内一个订单周期的库存模式。随着时间的推移，该模式会反复循环。完整的库存模式如图10-2所示。如果每个周期内的平均库存都为½Q单位，则所有周期的总平均库存也为½Q单位。库存持有成本可以利用平均库存来计算。也就是说，我们可以用平均库存乘以固定时期内持有一单位库存花费的成本来计算库存持有成本。模型中的时期可以任意选定，可以是一周、一个月、一年或更长的时间。然而，由于许多行业和公司的存储成本都用年百分率来表示，因此大部分库存模型都以年成本为基准。1/2QQ平均库存库存时间T图10-2EOQ库存模型中的库存模式库存按照不变需求率被耗用令I—年持有成本率；

C—库存产品的单位成本；

Ch—单位库存的年持有产品。单位库存的年持有成本为：

Ch=IC（10-1）平均库存（½Q单位）的年持有成本的一般计算公式如下：年持有成本=（平均库存）×（单位库存的年持有成本）=½QCh

（10-2）

为了完成总成本模型，还需要考虑到年订货成本。我们的目的就是用订货数量Q来表示年订货成本。首先要解答的一个问题是，每年需要下多少份订单？假设D为产品的年需求量。对于R&B饮料公司而言，D=（52周）×（2000箱/周）=104000箱/年。我们知道，如果每次的订货数量为Q，则每年需下D/Q份订单。假设Co是下一份订单所需花费的成本，则年订货成本可用下述一般公式表示：年订货成本=每年的订单数量×单位订单成本

（10-3）利用Bub牌啤酒的数据（Ch=IC=0.25×$8=$2,CO=$32,以及D=104000），我们可以得出总年度成本模型为：(10-4)年度总成本TC的表达式如下：年度总成本=年持有成本+年度订货成本10．1．1订货数量决策下一步就是要找出能够使Bub牌啤酒的年度总成本最小的Q值。通过反复试验的方法，我们可以针对几种可能的订货数量进行试验，以计算其相应的年度总成本。我们可以用Q=8000作为起始点来进行试验，此时Bub啤酒的年度总成本为：对于订货数量为5000的试验，可以得出相应的年度成本：订购数量年度成本持有订货总计500040003000200010005000666566640008324832300011094109200016643664100033284328表10-1Bub牌啤酒的几种可能订货数量和成本

表10-1中列出了对其它几种订货数量的实验结果。从表中可以看出，总成本最小的订货数量为2000箱。图10-3描述了年持有成本。年订货成本以及年度总成本。o年度总成本图10-3年订货成本年持有成本100200300400500600100200300400500600订货数量（Q)成本（美元）反复试验法的优点在于该方法易行，并且可以为各种可能的订货数量决策计算出年度总成本。对于本例来说，成本最小的订货数量为大约2000箱。然而，这种方法的缺点在于，它不能计算出使总成本最小的确切的订货数量。参见图10-3。总成本最小的订货数量用订单规模Q*来表示。使用微积分方法，我们（见附录10A）可由下式计算出使得年度总成本最小的Q*：（10-5）我们将该公式称为经济订货量（EOQ）公式。利用式（10-5），我们可以得出使Bub牌啤酒的年度总成本最小的订货数量为：在式（10-4）中，令订货量等于1824箱（即Bub牌啤酒在使用库存成本最小策略）时，年度总成本为3649美元。注意，当Q*=1824箱时，持有成本等于订货成本。读者可以自行试验，看看两种成本是否相等。

10.1.2订货时间决策虽然我们已经知道了订货数量，我们还想知道应该在什么时候订货？为了回答这个问题，我们需要引进库存量的概念。库存量是指现有库存量加上已订购但尚未收到的货物量。关于订货时间的决策是通过再订货点（需要下达新订单时的库存量）来描述的。Bub牌啤酒知道商对R&B饮料公司的所有订单都承诺两天内交货。因此，假设R&B饮料公每年营业250天，若每年的需求量为104000箱，则每天的需求量为104000／250=416箱。如此一来，在R&B饮料公司发出新订单的两天时间内，预计能卖出2天×416箱／天=832箱啤酒。在库存术语中，两天的交货期为新订单的提前期。我们将该期间内832箱的预计需求称为提前期需求。因此，当库存降低到832箱时，R&B饮料公司就应该向Bub牌啤酒制造商发出新的订单。对于假设需求率不变并且提前期固定的库存系统，再订货点与提前期内的需求相同。在这类系统中，再订货点的一般表达式如下：

r=dm(10-6)式中，r－在订货点；

d－每天的需求量；

m－几天中新订单的提前期。现在我们已经知道了订货的频率。每次订货期间的时间段称为订货周期。在式（10-2）中，我们将D/Q定义为每年的订货次数。那么R&B饮料公司每年订购Bub牌啤酒的订单数目为：D/Q*=104000/1824=57.如果R&B饮料公司在一年中250天的工作日中发出了57份订单，则该公司大概每250/57=4.39个工作日中就会订一次货。因此，订货周期就是4.39个工作日。订货周期T一般用下式表达：

(10-7)10.1.3EOQ模型的灵敏度分析尽管要达到每份订单成本为32美元及持有成本率为25%的水平可能需要花费大量的时间和精力，但我们应该认识到这些数据是在最佳估计下得到的。此时，我们便想知道我们所建议的订货数量将如何随着订货成本和持有成本的变化而变化为了确定不同成本计划的影响，我们计算几种不同成本下的建议订货数量。表10-2显示了在几种可能的的成本中，使总成本最小的订货数量。从表中可以看出，即使成本有一些变化，Q*的值基本保持不变。根据上述结论，Bub牌啤酒最有订货数量大概为1700~2000箱。如果一切顺利，Bub牌啤酒库存系统的总成本为每年3400~3800美元。同时，我们还可以发现，当我们按照由计算得到的订货数量（1824箱）进行订货时，风险很小。例如，如果库存持有成本率=24%，C0=34美元，并且实际的最佳订货数量为Q*=1919，那么R&B公司的年度总成本只增加5美元。即，3690美元-3685美元=5美元，Q=1824。通过上述分析，我们可以认为EOQ模型对所计算成本中的微小的变动和错误是不敏感的。一般而言，这种不敏感性事EOQ模型的一种特性。也就是说，如果我们能过合理的估计库存订货成本和持有成本，就很有希望得到一个订货数量，它能使总成本接近实际的最小值。表10-2几种可能的成本的最佳的订货数量可能的库存持有成本（%）可能的单位订单成本最佳订货数量（Q*）计划年度总成本（美元）Q*Q=18242424262630343034180319191732184434613462368536903603360738353836

10.1.4EOQ模型的Excel解法通过利用工作表，我们可以很轻松的执行诸如EOQ这样的库存模型。Bub牌啤酒的ExcelEOQ工作表如图10-4所示。公式在带有阴影的单元格中；数据在明亮处的单元格内。在B3~B8单元格中分别输入以下数据：年需求量、订货成本、年库存持有成本率、单位订单成本、年工作日、提前期。EOQ模型的公式列在了B12~B21中，利用这些公式可以得出最佳库存策略。我们可以看到明亮处的数据单元格显示了最佳经济订货量为1824.28，年度总成本为3648.56美元，以及其他一些相关信息。当需要进行灵敏度分析时，可以修改其中一个或多个输入数据的值。任何变动对最佳库存策略产生的影响都可以在表中表现出来。图10-4所式的工作表例了一种可以用在EOQ模型中的模板。图10-4Bub牌啤酒的EOQ库存模型的工作表

10.1.5小结：EOQ模型假设在应用本节中所描述的最佳订货点模型时，分析者需对库存系统的运作做一些假设。EOQ模型及其经济订货数量公式是基于对R&B公司库存系统的某些特定假设而建立的。表10-3对该模型的假设做了小结。在使用EOQ模型的公式之前，我们必须认真的评估这些假设，以确保它们能适用于所分析的库存系统。如果假设不合理，则需寻求另一个新的库存模型。在实际中，人们使用很多不同的库存系统，而下一节中的库存模型也用到了表10-3中的一种或几种EOQ模型假设。当假设变动时，需要采用不同的库存模型，以实现最佳运算方式。表10-3EOQ模型中的假设1.需求量D是可以确定的，并且按固定利率变化。2.每份订单的订货量Q是相同的。每下一份订单，库存水平就上升Q.3.每份订单的成本C0固定的，并且与订单数量无关。4.单位产品的采购成本C是不变的，且与订货数量无关。5.每个时期的库存持有成本Cb是不变的，总库存持有成本是根据Ch和库存量而定的。6.不许出现缺货及延迟订单等现象。7.订单的提前期是固定的。8.必须不断进行库存量的检查。这样，只要库存量达到再订货点，就会有新的订单。10.2经济生产批量模型本节所要讲的库存模型与EOQ模型相似，在EOQ模型中，我们力求确定订货量与订货时间。在此，仍然假设需求率不变。然而，与EOQ模型中不同的是，我们假定订单上的数量是在数日或数周内以一个固定速率到达的，而不是一次性按照订单数量Q*运输货物。固定供应率的假设是指每段时期内供货的数量是一样的（例如每天10单位或每周50单位）。这种模型是为以下生产条件而设计的——一旦完成订单，就开始生产；同时仓库中每天都会增加相同数量的货物，直到生产周期结束。

如果生产系统每天生产50个单位，并且计划生产10天，则我们的生产批量为50x10=500单位。批量是指一份订单中所订购货物的数量。如果我们用Q来表示生产批量，通常，库存决策的方法与EOQ模型中的相似；即，建立一个包含持有成本和订货成本的模型，该模型用批量大小的函数来表示总成本。然后求解出能使总成本最小的批量大小。在此，需要提到的另外一个条件是：该模型只适应于生产率大于需求率的情况；生产系统必须能够满足需求。例如，固定需求率为每天400单位，那么生产率必须至少为每天生产400单位以满足需求。在生产周期内，需求使得库存减少，而生产是的库存增加。由于我们假设生产率大于需求率，因此在生产周期内的每一天，生产量都大于需求量。这样，在生产过程中，多余的产量就会导致库存量的不断增加。在生产周期结束时，持续的需求会使得库存量逐渐减小，直到下一个生产周期开始。如图10-5描述了该系统的库存模式。1/2QQ平均库存库存时间T图10-5批量生产库存模型中的库存模式

非生产阶段生产阶段如EOQ模型中一样，我们要计算两项成本，持有成本和订货成本。在此，持有成本与EOQ中的定义一样，而对订货成本的解释稍有不同。事实上，在此所述的订货成本更准确的来讲应该叫做生产启动成本，它包括为生产系统的生产做准备所需的人工、物料以及损耗生产成本，它在每个生产周期内都是固定的，且与生产批量无关。10.2.1总成本模型我们通过用生产批量Q表达持有成本来建立生产批量模型。使用该方法可以得出平均库存量的表达式，并且用平均库存量计算持有成本。在该模型中，我们以年为基准，并使用年度成本。在EOQ模型中，平均库存为最大库存量的一半，即二分之一Q。图10-5表明，对于生产批量模型，生产阶段内的库存积累量固定不变，非生产阶段内的库存消耗率也是固定不变的。因此，平均库存是最大库存的一半。然而，生产批量不是按时按点进入库存的，因此库存就无法达到Q单位的水平。为了解释最大库存量的计算，我们令d-------日需求率；p-------日生产率；t--------一个生产周期的天数。由于我们假设p大于d，因此在生产阶段内每天的库存积累率为p-d。假如我们生产t天，并且库存每天增加p-d单位，则在生产阶段结束时，库存量将为（p-d）t.从图10-5中我们可以看出，生产阶段结束时的库存量为最大库存量。即：最大库存量=(p-d)t如果我们已知每天的生产率为p单位，生产批量为Q，那么Q=pt,并且生产阶段的生产时间t为：因此，平均库存量，即最大库存量的一半为：（10-9）(10-10)(10-11)在每单位产品的年度持有成本为Ch的情况下，总年度持有成本的一般公式如下：如果产品的年需求量为D，生产周期的启动成本C0,则年启动成本相当于EOQ模型中的订货成本，如下：因此，年度总成本（TC）模型为：

(10-12)(10-13)(10-14)设某生产设备每年运行250天。因此，我们可以用年需求D来表示日需求d:现用P来表示产品的年生产量，并且假设每天都生产该产品，则：因此，式（10-4）与（10-5）是等价的。然而，式（10-5）可能会用的更多，因为年度成本模型使分析者很容易想到收集年需求数据（D）和年生产数据（P）进行分析，而不是每天的数据。因此，我们可以写出年度总成本模型：(10-15)

10.2．2经济生产批量在给定了持有成本（Ch）、启动成本（C0）、年需求率（D）以及年生产率（P）的估计值得情况下，我们可以用反复试验的方法计算不同生产批量（Q）下的年度总成本。然而，我们没有必要用这种反复试验的方法，因为我们可以使用Q*的成本最小化公式，该公式已通过微积分方法（参加附录10B）得到，如下：(10-16)示例美丽牌肥皂公司拥有年产量为60000箱的生产线。估计每年的需求量为26000箱，全年的需求量不变。与生产线有关的清洗、准备及启动成本大约为135美元。每箱的制造成本为4.5美元，年持有成本率为24%。则Ch=IC=0.24x4.50美元=1.08美元。那么建议的生产批量为多少呢？利用式（10-16），我们可以计算出：再利用式（10-15）以及Q*=3387,我们可以计算出年度总成本为2073美元。其他相关数据包括一个5天的提前期，用来规划和启动生产，以及每年250天的工作日。这样，提前期的需求26000/250x5=520箱即为再订货点。周期是指生产阶段之间的时间。利用式（10-7）可以得到周期T=250Q*/D=250x3387/26000，也即33个工作日。这样，我们应建立一个每33天生产3387单位产品的生产周期。

10.3有计划缺货时的库存模型缺货或脱销是指供不应求。在许多情况下，缺货是非常令人烦恼的，因此人们尽最大可能避免其发生。但是，在有些情况下缺货是人们所希望的，（从经学的角度来看）人们计划并允许缺货。在实际中，当单位库存价值很高从而持有成本很高的时候，后述情况会经常发生。例如，一家新开业的汽车零售商的库存。通常，顾客期望的某种车不一定有库存，但如果顾客愿意等待几个星期，汽车零售商通常都可以履行订单。本节中所讨论的模型要考虑到一种缺货现象，称为延迟订货。在延迟订货的情况下，我们假设当一位顾客下订单时，如果发现供应商缺货，则等待，知道新货到来时才履行订单的交付。通常延迟订货时，顾客等待的时间比较短。因此，在向顾客保证优先权并且在可以供货时立即发货的前提下，公司也可以说服顾客，让他们等待新货的到来。在这些情况下，延迟订货的假设是有效的。我们所讨论的延迟订货模型是第10.1节中EOQ模型中的一种拓展。在EOQ模型中，所有的货物的需求率都是不变的，并且在同一时间存入仓库如果我们用S表示在Q单位货物运到时所积累的延迟订货的数量，因此，延迟订货的库存模型就有下述特点：(1)如果当Q单位货物到达时，有S单位延迟订货，，则将S单位延迟订货送到相应的顾客手中，剩下的Q-S单位货物转成库存。因此，Q-S就是最大库存量。(2)库存周期T天被分成两个不同的阶段：有现货且一有订单就能交付时的t1阶段；缺货，所有新的订单均以延迟订货来处理的t2时段。允许存在延迟订货的库存模式如图10-6所示，其中负库存代表延迟订货的数量。现在库存模式已经确定，我们可以按照整体库存模型的基本步骤（即总成本模型的推导过程）继续进行。为了完成延迟订货的库存模型，我们任然使用持有成本和订货成本。同时，我们还用到了延迟订货成本，也就是与处理延迟订货相关的人工以及特殊发货成本。延迟订货的另外一部分成本是由于有些顾客不得不等待货物而造成的公司的信誉的损失。由于信誉成本取决于顾客等待的时间，因此，延迟订货成本按照惯例通常表示为：在固定时间内，持有一单位延迟订单中产品的成本。这种基于时间来计算延迟订货成本的方法与计算库存持有成本的方法很相似，并且，一旦我们知道了平均延迟订单的成本，我们就可以延迟订货的年度总成本。Q-S最大库存时间T图10-6存在延迟订货的库存模型的库存模式

库存-S0t1t2现在我们开始讨论总成本模型的推导过程。对于某个特定的问题，我们首先计算其平均库存。假设我们3天内的平均库存为2单位，第4天无库存，那么4天内的平均库存为多少呢？我们可以计算如下：参照图10-6。读者会发现它描述的就是延迟订货模型中的情形。在最大库存量为Q-S的情况下，在t1期间内库存中有现货，并且平均库存为（Q-S）/2。在t2期间内处于缺货状态，持有延迟订单。

如此一来，在总周期T=t1+t2天中，我们可以按下述公式计算平均库存量：我们可否用其他方法来表示t1和T呢？由于我们已知最大库存量为Q-S以及日固定需求量d则我们有：也就是说，最大库存量Q-S单位的产品会在（Q-S）/d天内用完。每个周期都会有Q单位的订单，因此周期的长度应为：(10-17)（10-18）（10-19）结合式（10-18）、式（10-19）以及式（10-17），我们可以计算平均库存如下：这样，平均库存就可以用两个库存决策变量来表达了：订货数量（Q）以及最大延迟订货数量（S）。

用上述公式计算得到的年订单数量与EOQ模型中得到的相同。用D代表年需求，我们有：(10-20)(10-21)下一步就是要求出平均延迟订货水平的表达式。由于我们已知延迟订货的最大数量为S，因此，我们可以使用在确定的平均库存时计算平均延迟订货所用到的逻辑。在t2期间内，我们的平均延迟订货数量为最大延迟订货数量的一半，也即二分之一S。在t1时间内库存有存货，没有延迟订货，因此，我们可以使用与式（10-17）相似的计算方法来计算平均延迟订货数量。利用该方法，我们有(10-22)在日需求量为d的情况下，我们设最大延迟订货量为S，则库存周期中延迟订货期间的长度为：(10-23)设Ch-----单位产品的年库存持有成本；CO-----每份订单的成本；Cb——延迟订货种单位产品的年持有成本。(10-24)将式（10-23）和式（10-19）代入式（10-22），则我们有存在延迟订货的库存模型的年度总成本（TC）为：TC=给定Ch、Co和Cb以及年需求D，我们可以利用微积分方法来计算最小成本时的订货数量（Q*）和计划延迟订单数量(S*)的值：

（10-26）（10-25）（10-27）示例假设Higley收音机配件公司有一种产品，并且对该产品的延迟订货模型的假设是有效的。从该公司得到的信息如下：D=2000单位/年；I=20%；C=50美元/单位；Ch=IC=0.20×50=10美元/单位/年；Co=25美元/订单。公司正在考虑允许该产品适当地出现一些延迟订货。预计每年延迟订货的单位成本为30美元。通过式（10-26）和式（10-27），我们有且如果我们按照该方案实施，则系统会在如下原则下运营：最大库存量=Q－S=115.47－28.87=86.6年度总成本为：持有成本=订货成本=延迟订货成本=总成本=866（美元）周期时间=工作日（美元）（美元）（美元）

如果不允许出现延迟订货，而采用一般的EOQ模型，则建议的库存决策为：

采用该订货数量时，持有成本及订货成本将各位500美元，也就是说年度总成本为1000美元。因此，在本例中，采用允许延迟订货的模型，就可以比采用不允许缺货的EOQ模型节省1000美元－866美元=134美元，或者说节约13.4%。上述比较和结论是基于以下假设的：延迟订货模型的假设在实际库存中是有效的；其中，延迟订单中每单位产品的年度持有成本为30美元。如果企业认为缺货会导致销售额的减少，那么节省的成本将不足以使得企业的库存策略转变为允许缺货的模型。10.4EOQ模型的数量折扣数量折扣发生在如下很多情况下：当大批量订购产品时，供应商往往会为了促使顾客增大订购批量而提供较低的购买价格。在这一节中，我们将向读者说明在存在数量折扣时，如何应用EOQ模型。假设我们有一种可以应用EOQ模型（见表10-3）的产品。供应商不采用固定报价，而是按照下述折扣计划进行报价：当最少订购2500单位时所发生的5%的折扣看起来是非常诱人的。但是，我们还知道订货数量越大，就会有越高的库存持有成本。因此，我们在做出最终的订货数量和库存策略之前，需要做一个详尽全面的成本分析。折扣类型订单大小折扣（%）单位成本（美元）1230～9991000～24992500以上0355.004.854.75由假设数据和成本分析得出：年度库存持有成本率为20%，每份订单的订购成本为49美元，年需求量为5000单位的产品。我们应该如何选择订货数量呢？下面的三步骤列示了该决策所必须进行的计算，该程序有3个步骤。在前期运算当中，我们用Q1表示折扣类型1的订货量，用Q2表示折扣类型2的订货量，用Q3表示折扣类型3的订货量。步骤1对于每种折扣类型，利用EOQ模型来计算Q*，其中单位成本按照相应的折扣类型计算。

我们已经知道EOQ模型的计算公式是其中，Ch=IC=（0.02）C。根据3种不同的折扣类型，可以得到3种不同的单位成本C，于是我们得到：

因为在上述EOQ公式中仅有的不同之处在于持有成本的细微变动，因此，这一步骤得出的经济订货量相差不大。然而，上述经济订货量没有全部满足折扣所要求的数量大小。在后两种情况下，Q2*和Q3*相对于它们所对应的价格4.85美元和4.75美元来讲，都没有满足其折扣所要求的相应的批量大小。因此，对于那些未达到其折扣价格所要求的订货数量的经济订货量来讲，我们要进行下一步骤。步骤2当由于Q*太小而未能达到其价格折扣的要求时，需要将订货数量进行调整，调整后的数量要达到其采用的价格折扣所要求的最低数量。在我们的例子中，该调整要求我们做以下设置：Q2*=1000且Q3*=2500如果对于一个价格折扣所计算出来的Q*足够大，以至于能够达到更高的折扣级别时，那么该Q*的值就不是一个最优解。尽管理由不明显，但这正是EOQ数量折扣模型的一个性质。在前面所讨论的库存模型中，没有考虑到年度采购成本，因为他是一个固定的，并且不受库存决策策略的影响。然而，在数量折扣模型中，年度采购成本取决于订货数量及相关的单位成本。因此，如果将购买成本（年需求量D×单位成本C）考虑进总成本中，则总成本公式变为式（10-28）。通过该总成本公式，我们可以在第3步中为EOQ数量折扣模型计算其最佳订货数量。(10-28)步骤3对于由步骤1和步骤2所得到的订货数量，使用适当的折扣类型和由式（10-28）得到的单位产品价格来计算相应的年度总成本。能够使得总成本最小的订货数量就是最佳订货量。表10-4总结了本例步骤3的计算。我们可以看出，以3%的折扣价格订购1000单位产品的决策是使总成本最小的解决方案。尽管2500单位的订购量会得到5%的价格折扣，但它导致的过多的持有成本使得该方案成为第二最优解。图10-7显示了对3种折扣价格类型的总成本曲线。注意，Q*=1000是使得总成本最小的订货数量。表10-4有数量折扣的EOQ模型的年度总成本计算折扣类型单位成本（美元）订货数量年度成本（美元）持有成本订货成本采购成本总计1235.004.854.7570010002500350048511883502459825000242502375025700249802503610.5概率需求下的单阶段库存模型

目前为止我们所讨论的库存模型是基于如下假设的：在全年内需求率不变且是确定性的。在此假设基础上，我们得到了最小成本订货数量和再订购点的策略。在需求率不确定的情况下，其他一些模型将需求按照概率分布处理，并可以由概率分布来进行完美的描述。下面我们来看看需求有概率分布的单阶段库存模型。单阶段库存模型是指以下的库存情况：首先发出订单订购该产品，在期末，该产品或者被售出，或者未被售出而以过剩产品按照废品回收的价值处理掉。单阶段库存模型适用于季节性或易腐烂产品的库存，这些产品不能在库存中存放以待将来出售。季节性衣物（如游泳衣和冬季大衣）是典型的以单阶段模型方式处理的产品。在这些情形下，顾客为某种产品进行季前订购，然后经历售空或对季末过剩的产品进行清仓处理。库存中不存放来年再售的产品。报纸是另一种类似的产品，一次性购买，然后在单节段内卖出或者未卖出。尽管报纸每天都有订货，但却不能在库存存储，也不能在以后的周期内卖出。显然，如果在单阶段库存下已知需求，那么就很容易做出决策；我们可以简单的按照已知的需求量进行订购。然而，在很多单阶段模型中，确切的需求是未知的。实际上，由预测可知，需求量的变化范围很大。如果我们想用数量分析的方式来分析该类型的库存问题，那么我们需要得到各种需求量的概率分布的信息。因此，本节所描述的单阶段模型针对的是需求有概率分布的情形。

因此，报纸的订单必须按照一系列的单阶段模型来处理。也就是说，每天或每个周期是独立的，每个周期（每天）都要做出单阶段的库存决策。因为我们在单阶段内只订一次货，因此，我们所做的唯一的库存决策是决定在期初订购多少数量的产品。

10.5.1强身鞋业公司下面我们考虑一个是用于强身鞋业公司的单阶段库存模型，以决定其订货数量。强身鞋业公司的采购员决定订购一种刚在纽约展示会上展示的男士鞋。这种鞋子将参与该公司春夏两季的促销活动，并且在芝加哥地区的9个零售店中出售。因为这种鞋是为春夏两季设计的，不能在秋季出售。强身鞋业公司计划举办一个特别的8月清仓售卖活动，以半价30美元出售那些在7月31日之前未售出的产品。这种鞋每双成本为40美元，零售价为每双60美元。未卖完的鞋在8月清仓销售中预计售价为每双30美元。如果你是强身鞋业公司的采购员，你将为公司订购多少双这种鞋？此时有一个明显的问题：这种鞋的可能的需求量为多少？我们需要得到该信息以回答订购数量的问题。对于尺码为10D的这种鞋，我们假设其需求量的均匀概率分布如图10-8所示。特别地，这种鞋的需求量的范围为350～650双，平均需求，或者说期望需求为500双。增量分析是一种可以用于决定单阶段库存模型的最佳订货数量的方法。通过比较订购一单位额外产品与不订购该产品所发生的成本与损失，增量分析解决了订货数量的问题。相关成本的定义如下：

co——被高估（overestimating）需求的单位成本。它表示每订购一单位额外产品，由于不能售出而带来的损失；cu——被低估（underestimating）需求的单位成本。它表示由于未订购一单位本可以卖出的产品而造成的机会损失。在强身公司的案例中，公司一旦订购过多，并且必须要等到8月份进行清仓处理，就会造成高估需求所产生的成本。这样，高估需求所导致的单位成本，等于单位采购成本减去8月份的清仓销售价格；即，co=40美元－30美元=10美元。因此，对于订购量超出需求量的那部分数量的鞋，强身公司每双损失10美元。对于一双可以收出而库存没有货物的鞋，会产生低估需求的利润损失。因此，由低估需求而发生的成本是正常的单位售价与单位采购成本之差。也即，cu=60美元－40美元=20美元。由于不知道尺码为10D鞋的确切的需求量，我们必须要考虑需求的概率，以及由其所导致的相关成本或损失的概率。例如，我们假设强身鞋业公司的管理层希望设定一个与平均或期望需求量相等的订购数量，即500双鞋子的订购数量。在增量分析中，我们考察订购数量为501双（多订购一双鞋）和500双（没有多订购一双鞋）时各自所发生的相关成本。订购数量的可选方案及其可能发生的成本汇总如下：订购数量方案造成损失的条件可能的损失发生损失的概率Q=501需求被高估，无法卖出新增产品co=10美元P（需求≤500）Q=500需求被低估，新增产品可以卖出cu=20美元P（需求＞500）观察图10-8中的需求概率分布，我们可以看出P（需求≤500）=0.5以及P（需求＞500）=0.50。通过与所得到的可能性损失co=10美元，cu=20美元相乘，我们可以计算出各个订购数量方案相应的损失的期望价值，或简单地说期望损失（EL）。从而，我们得到：

EL(Q=501)=coP(需求≤500)=10×0.50=5(美元)

EL(Q=500)=cuP(需求＞500)=20×0.50=10(美元)根据上述期望损失，我们选择订购501双还是500双鞋呢？由于Q=500时的期望损失更大，而我们的目标是尽可能避免产生高的损失，因此我们会采用Q=501方案。现在我们考虑再多订购一双鞋，达到Q=502，并重复计算上述期望损失。尽管我们可以每次增加一单位进行连续计算，但这样做的话是非常费时费力的。我们必须计算Q=502、Q=503、Q=504，依此类推，知道我们找到一个Q的值，使得我们按照订货量Q进行订货时，增加一个单位的订购数量的期望损失等于不增加该单位订购数量的期望损失。也就是说，通过增量分析可知下式成立时，能得到最佳订货量Q*：

EL（Q*+1）=EL（Q*）（10-29）当上述关系成立时，增加一单位订货量就不会有经济收益了。

利用上述我们计算订购数量为501和502双时的期望损失的方法，EL（Q*+1）和EL（Q*）的一般表达是可以写成：

EL(Q*+1)=coP(需求≤Q*)

(10-30)

EL(Q*)=cuP(需求＞Q*)

(10-31)根据基本概率论可知：

P(需求≤Q*)+P(需求＞Q*)=1(10-32)它可以写成：

P(需求＞Q*)=1－P(需求≤Q*)

(10-33)利用该表达式，式（10-31）可以写成：

EL(Q*)=cu[1－P(需求≤Q*)](10-34)只要下式成立，则可以利用式（10-30）和式（10-34）解方程式EL（Q*+1）=EL（Q*）：

coP(需求≤Q*)=cu[1－P(需求≤Q*)](10-35)为了解出P(需求≤Q*)，我们有：

P(需求≤Q*)=该表达式为单阶段库存模型中求解最佳订货量Q*提供了一般条件。在强身鞋业公司的案例中，co=10美元，cu=20美元。这样，式（10-36）说明强身鞋业公司的最佳订购数量必须满足以下条件：

P（需求≤Q*）=（10-36）

参照图10-8中所示的概率分布，我们可以求出能够满足P（需求≤Q*）=2/3的Q值，并将其作为最佳订货量Q*。在求解过程中，我们注意到，在均匀概率分布中，需求量的概率在350～650双鞋之间是均匀分布的。这样，为了求解Q*，我们通过将350～650的分布方式移动2/3来满足上述表达式。因为该区间为650-350=300，我们从350向650移动200。如此一来，得到了尺码为10D的鞋的最佳订货量为550双总之，要求出单阶段库存模型的最佳订货数量，关键要确定能够反映产品需求量的概率分布，以及高估需求和低估需求时各自所发生的成本。然后将低估需求和高估需求所发生的成本代入式（10-36），就可以利用概率分布求出中Q*的值。

10.5.2全国汽车租用公司下面我们考察一下全国汽车租用公司所面临的问题，这也是一个需求概率分布已知的单阶段库存模型。全国汽车租用公司必须为一年当中确切时间、确切租用区域所拥有的汽车数量作出决定。以南卡罗来纳、默特尔区域为例，管理层想知道应该在劳动节的那个周末提供多少辆标准汽车。根据以往经验，在劳动节的那个周末，顾客对标准汽车的需求量服从均值为150辆，标准差为14量的正态分布。全国汽车租用公司的情况比较适宜于使用单一周期库存模型。公司必须在周末之前对可适用的标准汽车进行统计。在周末，顾客的需求回导致缺货或剩余。我们用Q来表示可用的标准汽车的数量。如果Q比顾客需求大，则全国汽车租用公司会有剩余的汽车。单位剩余的成本即高估需求的单位成本。如果该成本为每辆车80美元，这部分地反映了由于这辆汽车没有在其他地点租出而产生的机会成本。如果Q值小于顾客需求，全国汽车租用公司将会租出所有汽车，并且产生缺货现象。每缺一辆汽车将发生200美元的低谷成本。这个数字包括利润损失以及由于顾客没能租到汽车而产生的对公司信誉降低的成本。基于以上信息，全国汽车租用公司在劳动节的那个周末应该提供多少辆标准汽车呢？将低估需求的单位成本cu=200美元以及高估需求的单位成本co=80美元，代入式（10-36），可以得出最佳订货数量必须满足的条件：

我们可以利用图10-9中所示的需求概率的正态分布得到满足条件P（需求≤Q*）=0.7143的订货数量。从书末附录A中我们可以得知，当高于均值z=0.57个标准差时，正态分布左侧区间为σ=14辆车的条件下，我们有：Q*=μ+0.57σ=150+0.57×14=158这样，全国汽车租用公司应该计划在劳动节的那个周末为默特尔提供158辆标准汽车。注意在本案例中，高估需求的单位成本少于低估需求的单位成本。因此，该公司愿意冒险较大概率地高估需求，相应的会较大概率地产生剩余。实际上，全国汽车租用公司所采用的最佳订货数量产生剩余的概率为0.7143，产生缺货的概率为1－0.7143=0.2857。也就是说，158辆标准汽车在劳动节的那个周末全部被租赁出去的概率是0.2857。10.6概率需求下的订货数量——再订货点模型在上一节中我们讨论了需求概率已知的单阶段库存模型。本节将把讨论扩展到需求概率已知下的多阶段订货——再订货点库存模型。在多阶段模型中，库存系统按照重复性的阶段或周期连续运作，库存可以从一个阶段转移到下一个阶段。当库存量达到再订货点时，就会发出订货量为Q的订单。由于需求是概率性分布的，因此我们不能事先确定库存何时会降至再订货点以及各订单之间的时间间隔为多少，也不能确定所订购的Q单位的产品何时存入库存。图10-10大致描述了需求概率已知下的订货量—再订货点库存模型。可以看到，当Q单位的产品到达时，库存会有一个大幅度的上涨或飞跃。在概率需求的基础上，库存量以一个变动的速率下降。当降至再订货点时，会发出新的订单。通常情况下，所订购的Q单位的产品将在库存降低到零之前送达。然而，有时由于有较高的需求也会导致在新货物到达之前发生缺货。同其他的订货量—再订货点模型一样，管理者需要为库存系统确定订货量Q和再订货点r。概率需求下的订货量——再订货点模型的精确的数学公式并非本文所讨论的范围。然而，在此我们提供一套程序。利用这套程序，我们可以作出合理可行的订购数量及再订货点决策。该程序只能得到一个最优解的近似解，但在很多实际问题中，可以得到很好的结果。下面我们来看一看德比克照明公司的库存问题。德比克从一家知名的灯泡生产厂家那里采购一种特殊的高亮度灯泡，用于其工业照明系统。德比克希望知道，订购多少以及何时订购才能得以实施其最低库存成本策略。相关信息如下：每份订单的订购成本为12美元；每个灯泡的成本为6美元；德比克公司的库存持有成本率为20%（Ch=IC=0.20x6美元=1.20美元）。德比克的客户有1000多家，其需求是有概率性的。实际上，产品的需求量，无论每天还是每周，变化都非常大。每份新的灯泡订单的提前期为一周。以往销售数据表明，在一周的提前期内，其需求可以用均值为154个灯泡、标准差为25个灯泡的正态分布来描述。图10-11给出了在提前期内需求的正态分布。由于一周内需求的均值为154个，德比克公司可以计算其平均或期望年度需求：154个/周x52周/年=8008个。10.6.1订货数量决策尽管是在概率需求的情况下，我们还是能够计算出每年的期望需求为8008个。将年期望需求表示为D,则我们可以利用第10.1节中的EQQ模型来近似计算最佳订货数量。在德比克的案例中：在讨论EQQ模型的灵敏度时，我们曾经得到这样的结论：当订货量在Q*左右时，库存系统的总运作成本相对来讲是不敏感的。基于上述理论，我们期望每次订购400个，它非常接近于最佳订货量。即使年需求量跌至7000个或者高达9000个，每次订货400个应该能够保证相对较低的成本。因此，基于年需求量估计值最好为8008个，我们可以使用Q*=400。我们可以忽略需求的概率性分布，而将订货量定为每次订货400个。令Q*=400，德比克公司可以预测每年大概发出订单的数量为8008/400≈20份，每次订货之间的时间间隔为250/20=12.5个工作日。10.6.2订货时间决策下面我们来看订货时间规则或再订货点问题，他们将启动订货程序。在提前期内需求的均值为154个的条件下，我们可能会建议154为再订货点。然而，此时我们要特别注意考虑到需求的概率性。如果提前期内需求的均值为154个，并且需求对称地分布在154的两侧，那么在提前期内，需求超过154个的概率大概为50%。当德比克公司在提前期为一周的时间内，需求超过154个时，就会产生缺货。因此，如果再订货点设为154个，则在新货到达之前，德比克公司将会有大概50%的时间（即每年20次订货总数中的10次）处于缺货状态。如此高的缺货率通常是不可接受的。

我们可以参考图10-11所示的提前期需求分布。在这种分布下，我们可以得出再订货点r是如何影响发生缺货的概率的。由于在提前期内，一旦需求超过了再订货点就会产生缺货。因此，我们可以通过提前期内的需求分布图，得出需求大于再订货点r的概率，从而可以得到发生缺货的概率。这样，我们可以通过分析每次缺货的缺货成本，并将其考虑到总成本计算公式中，就可以解决订货时间的决策问题。或者，我们可以让管理者指定每年平均多少次缺货是可以接受的。在需求为概率性的情况下，如果一个管理者连一次缺货都不能忍受的话，也是不现实的。因为想要彻底杜绝缺货，就必须设定很高的再订货点，而这样会导致很高的库存量，从而持有成本也会很高。假设，在本案例中，德比克公司的管理部门愿意接受平均每年1次的缺货。我们已知每年订货20次，这就意味着，在这20次订货中，该公司允许出现一次(即5%的时间里）在提前期内需求超过再订货点情况。因此，我们可以从提前期需求概率分布中，找出在提前期内需求大于再订货点的概率为5%的r值，即再订货点的值。我们可以参见图10-12来理解该过程。

参照书末附录A中的标准正态概率分布表，我们可以查出r的值为均值加上1.645倍的标准差。因此，对于我们所做的在提前期内需求服从μ=154，σ=25的正态分布的假设，再订购点r的值为：

r=μ+zσ(10-37)其中，z是为了求得可接受缺货概率所必需的标准差的倍数。

由此，我们所得到的库存策略为：每年当库存量降至195个，就发出订货量为400个的订单。因为提前期内需求的均值或者说期望值为154个，则我们将195-154=41个称为安全库存。这个安全库存用于满足超过一般需求的那部分需求。在95%左右的时间里，195个灯泡能够满足提前期内的需求。该库存系统的年度成本预测如下：

正常库存的持有成本（Q/2）Ch=(400/2)x1.20=240美元安全库存的持有成本（41）Ch=41x1.20=49美元订货成本（D/Q）CO=(8008/400)x12=240美元总计529美元如果假设德比克公司的灯泡年需求量是已知的，且固定为8008个，则最优解为：Q*=400，r=154，此时年总成本为240+240=480美元。当需求是不确定的，且可以用概率分布来表示时，就会有较大的成本