新教材人教A版高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语-知识点考点易错点及解题方法提炼

第一章集合与常用逻辑用语TOC\o"1-4"\h\z\u1.1集合的概念 -1-1.2集合间的基本关系 -6-1.3集合的基本运算 -12-第一课时并集、交集 -12-第二课时全集、补集 -17-1.4充分条件与必要条件 -21-1.4.1充分条件与必要条件 -21-1.4.2充要条件 -25-1.5全称量词与存在量词 -28-1.1集合的概念知识点一集合的概念(1)方程x2－3x＋2＝0的所有实数根；(2)所有的正方形；(3)某班所有的“帅哥”．上述问题中的元素可否看成一个“集合”？知识梳理(1)一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)．(2)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．知识点二元素与集合的关系设方程x2－3x＋2＝0的所有实根构成集合A.1是否在集合A里面？2是否在里面？0是否在里面？知识梳理(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belongto)集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于(notbelongto)集合A，记作a∉A.(2)常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR知识点三集合的表示我们可以用自然语言描述一个集合．除此之外，还可以用什么方式表示集合呢？知识梳理(1)列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．“方程x2－3x＋2＝0的所有实数根”组成的集合可以表示为{1,2}．(2)描述法一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．“方程x2－3x＋2＝0的所有实数根”组成的集合用描述法可表为{x∈R|x2－3x＋2＝0}．知识点四相等集合A＝{方程x2－3x＋2＝0的实数根}B＝{1,2}C＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}A、B、C可否说为相等集合？知识梳理只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．解题方法探究探究一集合的概念[例1]下列对象中可以构成集合的是()A．大苹果 B．小橘子C．中学生 D．著名的数学家[解析]选项正误原因A×大苹果到底以多重算大，标准不明确B×小橘子到底以多重算小，标准不明确C√中学生标准明确，故可构成集合Dד著名”的标准不明确[答案]C判断一个“全体”是否能构成一个集合，其关键是对标准的“确定性”的把握，即根据这个“标准”，可以明确判定一个对象是或者不是给定集合的元素．探究二元素与集合的关系[例2]集合A中的元素x满足eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．[解析]由eq\f(6,3－x)∈N，x∈N知x≥0，eq\f(6,3－x)＞0，且x≠3，故0≤x＜3.又x∈N，故x＝0,1,2.当x＝0时，eq\f(6,3－0)＝2∈N；当x＝1时，eq\f(6,3－1)＝3∈N；当x＝2时，eq\f(6,3－2)＝6∈N.故集合A中的元素为0,1,2.[答案]0,1,2探究三集合的表示[例3]教材给出了奇数集合{x∈Z|x＝2k＋1，k∈Z}．(1)用这样的方法表示偶数集．(2)用这样的方法表示除以3余1的整数集合．(3)当x∈Z，y∈Z点(x，y)称为整点，如何表示坐标系中第一象限内的整点？[解析](1)偶数集{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．(2){x∈Z|x＝3k＋1，k∈Z}(3){(x，y)|x＞0，y＞0，x∈Z，y∈Z}1．对于含有有限个元素且个数较少的集合，采用列举法表示集合较合适；对于元素个数较多的集合，如果构成该集合的元素具有明显的规律，在不发生误解的情况下，可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示，如N*＝{1,2,3，…}．2．一般地，元素较多的无限集用描述法表示集合．探究四集合元素的特性及应用[例4]已知集合A由元素a－3,2a－1，a2－4构成，且－3∈A，求实数a的值．[解析]因为－3∈A，A＝{a－3,2a－1，a2－4}，所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3.若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A＝{－3，－1，－4}，符合题意．若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A＝{－4，－3，－3}，不满足集合中元素的互异性．若a2－4＝－3，则a＝1或a＝－1(舍去)，当a＝1时，集合A＝{－2,1，－3}，符合题意．综上可知，a＝0，或a＝1.利用集合中元素的互异性求参数问题(1)根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验；(2)利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．易错点归纳一、“天下谁人不识君”——集合中描述法的认识1．两步认识描述法表示的集合(1)一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集．(2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特征)．2．四个集合的区别(1)A＝{x|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的自变量x的取值范围，且x的取值范围是R，因此A＝R.(2)B＝{y|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的函数值y的取值范围，而y的取值范围是y＝x2＋1≥1，因此，B＝{y|y≥1}．(3)C＝{(x，y)|y＝x2＋1}表示满足y＝x2＋1的点(x，y)组成的集合，因此C表示函数y＝x2＋1的图象上的点组成的集合．(4)P＝{y＝x2＋1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素，且此元素是一个式子y＝x2＋1.[典例]1.已知A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，定义集合A，B间的运算A*B＝{x|x∈A且x∉B}，则集合A*B等于()A．{1,2,3} B．{2,3}C．{1,3} D．{2}[解析]x＝1∈A,1∉B；x＝2∈A,2∈B；x＝3∈A,2∉B；∴A*B＝{1,3}．[答案]C2．二次函数y＝x2－1上的图象上纵坐标为3的点的集合为________．[解析]点可看作由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2－1,y＝3))组成的解集可用描述法．令y＝3得：x2－1＝3，所以x＝－2或x＝2.所以在y＝x2－1的图象上且纵坐标为3的点的集合为：{(－2,3)，(2,3)}．[答案]{(－2,3)，(2,3)}或eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2－1,y＝3))))))二、集合相等的误区——都是元素惹的“祸”[典例]已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))，B＝{a2，a＋b,0}，若A＝B，则a2018＋b2018的值为________．[解析]因为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝(a2，a＋b,0)，又因为a≠0,1≠0，所以eq\f(b,a)＝0，所以b＝0，所以{a,0,1}＝{a2，a,0}，所以a2＝1，即a＝±1，又当a＝1时，A＝{1,0,1}不满足集合中元素的互异性，舍去，所以a＝－1，即集合A＝{－1,0,1}，此时a＝－1，b＝0，故a2018＋b2018＝(－1)2018＋02018＝1＋0＝1.[答案]1纠错心得解答根据集合相等求字母的值的问题时，首先要认真审题明确集合中元素有哪些，找准“突破口”；其次要注意解出字母的值之后，检验元素的互异性．如本例中通过审题找到eq\f(b,a)＝0这一突破口，求出a＝±1后，检验a＝1时不满足互异性舍去.1.2集合间的基本关系知识点一子集的定义A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}；A与B之间有什么关系？能说A比B小吗？知识梳理(1)Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．(2)子集一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集(subset)，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．(3)一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.知识点二真子集如果A⊆B，那么A与B有可能相等吗？知识梳理如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集(propersubset)，记作AB(或BA)．例如，A⊆B，但a∈B，且a∉A，所以集合A是集合B的真子集．知识点三空集的定义方程x2＋1＝0的解集是什么？知识梳理空集及表示一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集(emptyset)，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集．是任何非空集合的真子集．知识点四子集的性质A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4}，C＝{1,2,3,4,5}，A、B、C之间有什么关系？知识梳理(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.(3)对于集合A、B、C，如果AB，且BC，那么AC.解题方法探究探究一集合关系的判断[例1]已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m＋\f(1,6)，m∈Z))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(n,2)－\f(1,3)，n∈Z))))，P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(p,2)＋\f(1,6)，p∈Z)))).试确定M，N，P之间的关系．[解析]集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m＋\f(1,6)，m∈Z)))).关于集合N：①当n是偶数时，令n＝2m(m∈Z)，则N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m－\f(1,3)，m∈Z))))；②当n是奇数时，令n＝2m＋1(m∈Z)，则N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2m＋1,2)－\f(1,3)，m∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m＋\f(1,6)，m∈Z)))).从而，得MN.关于集合P：①当p＝2m(m∈Z)时，P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m＋\f(1,6)，m∈Z))))；②当p＝2m－1(m∈Z)时，P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2m－1,2)＋\f(1,6)，m∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m－\f(1,3)，m∈Z)))).从而，得N＝P.综上，知MN＝P.判断集合间关系的常用方法(1)列举观察法当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．(2)集合元素特征法先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系．(3)数形结合法利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法．探究二子集、真子集及个数问题[例2][教材P8例1探究](1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0＜x＜5}，则满足条件ACB的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．4[解析]由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C可为{1,2,3}，{1,2,4}．[答案]B(2)写出集合{a、b、c}的所有子集，并指出它的真子集有多少个？[解析]子集有：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，∅共8个．真子集有：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，∅共7个．(3)若集合A中有5个元素，不具体写出子集．可猜到有多少个子集吗？[解析]25＝32个．1．元素个数与集合子集个数的关系(1)探究.集合A集合A中元素的个数n集合A子集个数∅01{a}12{a，b}24{a，b，c}38{a，b，c，d}416(2)结论．①A的子集的个数有2n个．②A的非空子集的个数有(2n－1)(n≥1)个．③A的非空真子集的个数有(2n－2)(n≥1)个．2．求给定集合的子集的两个关注点(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写．(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身．提醒：真子集个数是在子集的基础上去掉集合本身，做题时看清是真子集还是子集．探究三由集合间的关系求参数的取值范围[例3]设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．(1)若a＝eq\f(1,5)，试判定集合A与B的关系．(2)若B⊆A，求实数a的取值集合．[解析](1)由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3,5}，当a＝eq\f(1,5)时，由ax－1＝0得x＝5.所以B＝{5}，所以BA.(2)当B＝∅时，满足B⊆A，此时a＝0；当B≠∅时，a≠0，集合B＝{eq\f(1,a)}，由B⊆A得eq\f(1,a)＝3或eq\f(1,a)＝5，所以a＝eq\f(1,3)或a＝eq\f(1,5).综上所述，实数a的取值集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)，\f(1,5))).根据集合的包含关系求参数的两种方法(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用；(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．易错点归纳一、相逢又相识——∈、⊆、及0、{0}、∅、{∅}的区别与联系1．元素与集合、集合与集合的关系．“∈”是“元素”与“集合”之间的从属关系，如a∈{a}．“⊆或”是两个集合之间的包含关系．2．0、{0}、∅、{∅}的关系(1)区别：0不是一个集合，而是一个元素，而{0}，∅，{∅}都为集合，其中{0}是包含一个元素0的集合；∅为不含任何元素的集合；{∅}为含有一个元素∅的集合，此时∅作为集合{∅}的一个元素．(2)联系：0∈{0},0∉∅，0∉{∅}，∅⊆{0}，∅{0}，∅⊆{∅}，∅{∅}．[典例]已知集合A＝{1,3，x2}，B＝{1，x＋2}，是否存在实数x，使得集合B是A的子集？若存在，求出A，B，若不存在，说明理由．[解析]因为B⊆A，所以当x＋2＝3，即x＝1时，A＝{1,3,1}不满足互异性，所以x＝1(舍)．当x＋2＝x2，即x＝2或x＝－1，若x＝2时，A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，满足B⊆A；若x＝－1时，A＝{1,3,1}不满足互异性．综上，存在x＝2使得B⊆A.此时，A＝{1,3,4}，B＝{1,4}．二、∅的呐喊——勿忘我[典例]已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．[解析]当B＝∅时，B⊆A显然成立，此时有m＋1≥2m－1，则m≤2.当B≠∅时，若B⊆A，如图．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1＜2m－1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥－3,m≤4，,m＞2，))解得2＜m≤4.综上，m的取值范围为{m|m≤4}．[答案]{m|m≤4}纠错心得空集是任何集合的子集，忽视这一点会导致漏解，产生错误结论．对于形如{x|a＜x＜b}一类的集合，当a≥b时，它表示空集，解题中要十分注意．1.3集合的基本运算第一课时并集、交集知识点一并集对于A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2,3,4,5,6}；类比实数的加法运算，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？知识梳理(1)定义一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集(unionset)，记作A∪B(读作“A并B”)，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，如图，可用Venn图表示．(2)性质①A∪B＝B∪A；②A∪A＝A；③A∪∅＝∅∪A＝A；④A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)；⑤A∪B＝A⇔B⊆A，A∪B＝B⇔A⊆B.知识点二交集A＝{2,4,6,8,10}，B＝{3,5,8,12}，C＝{8}；集合A，B与集合C之间有什么关系？知识梳理(1)定义一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集(intersectionset)，记作A∩B(读作“A交B”)，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，可用Venn图表示．(2)性质①A∩B＝B∩A；②A∩A＝A；③A∩∅＝∅；④若A⊆B，则A∩B＝A；⑤(A∩B)⊆A；⑥(A∩B)⊆B.解题方法探究探究一并集概念及简单应用[例1](1)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|0＜x≤1}，则M∪N＝()A．{x|0≤x≤1} B．{x|0＜x≤1}C．{x|0≤x＜1} D．{x|x≤1}[解析]M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|0＜x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}．[答案]A(2)点集A＝{(x，y)|x＜0}，B＝{(x，y)|y＜0}，则A∪B中的元素不可能在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]由题意得，A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限．[答案]A求集合并集的两种基本方法(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析求解．探究二交集概念及简单应用[例2](1)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝()A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}[解析]由题意知A∩B＝{0,2}．[答案]A(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝()A．{0} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}[解析]由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1,2}．[答案]C(3)若集合A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤1，或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________.[解析]借助数轴可知：A∪B＝R，A∩B＝{x|－1＜x≤1，或4≤x＜5}．[答案]R{x|－1＜x≤1，或4≤x＜5}求集合交集的两种基本方法(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用交集的定义求解；(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．探究三集合交、并集运算及应用[例3]已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a(a＞0)}．(1)若A∪B＝B，求a的取值范围．(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．[解析](1)因为A∪B＝B，所以A⊆B，观察数轴可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2≥a，,4≤3a，))所以eq\f(4,3)≤a≤2.(2)A∩B＝∅有两类情况：B在A的左边和B在A的右边，如图．观察数轴可知，a≥4或3a≤2，又a＞0，所以0＜a≤eq\f(2,3)或a≥4.由集合的运算性质求参数值(范围)的注意事项(1)要考虑因参数的影响是否需要分类讨论；(2)要有数形结合思想的意识，借助于数轴会更方便直观；(3)对于A∩B＝A的情况要考虑到A是否为∅的情况．易错点归纳一、并集元素个数何其多(1)“或”的理解：“x∈A或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：①x∈A但x∉B；②x∈B但x∉A；③x∈A且x∈B.(2)一般地，对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．[典例]某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．[解析]设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．[答案]8二、“有”与“无”，“虚”与“实”的对立与统一——集合交、并运算的端点值的选用[典例]集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}．(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(2)若A∩B＝A，求a的取值范围．[解析](1)由A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，画出数轴如图所示．由图可知，若A∩B＝∅，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－1，,a＋3≤5，))解得－1≤a≤2.(2)由A∩B＝A，得A⊆B.则a＋3＜－1或a＞5，即a＜－4或a＞5.纠错心得由于A中含端点a、a＋3，而B中不含端点－1及5.根据A∩B＝∅的含义，a＝－1，a＋3＝5时，也成立．而A⊆B时，则不能取“＝”．对于是否取端点．可单独验证．第二课时全集、补集知识点一全集与补集(1)方程(x－2)(x2－3)＝0，在有理数范围内的解是什么？在实数集内的解是什么？(2)集合{2}与集合{eq\r(3)，－eq\r(3)}之间有什么关系？知识梳理(1)全集一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集(universeset)，通常记作U.(2)补集对于一个集合A，由全集中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementaryset)，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，可用Venn图表示．知识点二补集的性质A∩∁UA＝________，A∪∁UA＝________.知识梳理(1)A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅.(2)∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U.解题方法探究探究一补集的运算[例1](1)已知U＝R，集合A＝{x|x＜－2，或x＞2}，则∁UA＝()A．{x|－2＜x＜2} B．{x|x＜－2，或x＞2}C．{x|－2≤x≤2} D．{x|x≤－2，或x≥2}[解析]依题意，画出数轴，如图所示：观察数轴可知，∁UA＝{x|－2≤x≤2}．[答案]C(2)已知全集U，M，N是U的非空子集，且∁UM⊇N，则必有()A．M⊆∁UN B．M∁UNC．∁UM＝∁UN D．M⊆N[解析]依据题意画出Venn图，观察可知，M⊆∁UN.[答案]A(3)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，求集合B.[解析]因为A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁UB＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．求集合补集的两种方法(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．探究二集合交、并、补的综合运算[例2](1)(2019·长沙高一检测)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)＝()A．{2,5} B．{3,6}C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}[解析]因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B＝{1,3,4,6,7}，所以∁UB＝{2,5,8}．又A＝{2,3,5,6}，所以A∩(∁UB)＝{2,5}．[答案]A(2)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤0，或x≥\f(5,2)))，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)．[解析]将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示．因为A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，所以A∩B＝{x|－1＜x＜2}．∁UB＝{x|x≤－1，或x＞3}，又P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，或x≥\f(5,2)))))，所以(∁UB)∪P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，或x≥\f(5,2))))).又∁UP＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(5,2)))))，所以(A∩B)∩(∁UP)＝{x|－1＜x＜2}∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(5,2)))))，＝{x|0＜x＜2}．解决集合交、并、补综合运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算，解答过程中要注意边界问题．探究三根据补集的运算求参数的值或范围[例3]设全集U＝{3,6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|,6}，∁UA＝{5}，求实数m.[解析]因为∁UA＝{5}，所以5∈U但5∉A，所以m2－m－1＝5，解得m＝3或m＝－2.当m＝3时，|3－2m|＝3≠5，此时U＝{3,5,6}，A＝{3,6}，满足∁UA＝{5}；当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5，此时U＝{3,5,6}，A＝{6,7}，不符合题意舍去．综上，可知m＝3.由集合的补集求参数的方法(1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解；(2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素为无限个时，一般利用数轴分析法求解．易错点归纳一、“柳暗花明，正难则反”——补集思想的应用“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A.补集的思想作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路．今后我们要有意识地去体会并运用补集思想，在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．[典例]已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0，x∈R}，B＝{x|x＜0，x∈R}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．[解析]当A＝∅时不符合题意，∴A≠∅.设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}U＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤－1，或m≥\f(3,2))))).若A∩B＝∅，则方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m∈U，,x1＋x2＝4m≥0，解得m≥\f(3,2).,x1x2＝2m＋6≥0，))因为m＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥\f(3,2)))))关于U的补集为∁UM＝{m|m≤－1}，所以实数m的取值范围为m≤－1.二、找全集，认子集，求补集——求补集的程序与条件[典例]设全集S＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，∁SA＝{5}，求实数a的值．[解析]由题意得a2＋2a－3＝5，即a2＋2a－8＝0，∴a＝－4或a＝2，当a＝2时，|2a－1|＝3∈S，符合题意，当a＝－4时，|2a－1|＝9∉S，不符合题意，故a＝2.纠错心得求一个集合A的子集，首先A是全集的子集，如本题当a＝－4时A＝{9,2}不是S的子集，故求出a值还需检验．1.4充分条件与必要条件1.4.1充分条件与必要条件知识点充分条件与必要条件下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等．知识梳理(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件(sufficientcondition)，q是p的必要条件(necessarycondition)．如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p⇒q.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．(2)一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．解题方法探究探究一充分条件、必要条件的判定[例1]指出下列“若p，则q”的命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；(2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；(3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；(4)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA＝PB.[解析](1)这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．q是p的必要条件．(2)这是三角形相似的一条性质定理，p⇒q，所以q是p的必要条件．p是q的充分条件．(3)这是一条菱形的性质定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．q是p的必要条件．(4)这是线段垂直平分线的性质p⇒q.所以p是q的充分条件，q是p的必要条件．一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中p与q的条件关系，只需判断是否有“p⇒q”，即“若p，则q”是否为真命题．只有p⇒q，p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；如果p⇒q，p是q的不充分条件，q是p的不必要条件．探究二充分条件、必要条件与集合的关系[例2]指出下列各组题中，p是q的什么条件．(1)p：x＜1，q：x≤2；(2)p：x＞0，y＞0，q：xy＞0；(3)p：0＜x＜5，q：0＜x≤3.[解析](1)∵{x|x＜1}{x|x≤2}即p⇒q但q⇒p.p是q的充分不必要条件．(2)p：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y|x＞0，y＞0)){(x，y)|xy＞0}p⇒q但q⇒p.p是q的充分不必要条件．(3)p：{x|0＜x＜5}{x|0＜x≤3}p⇒q但q⇒p.∴p是q的必要不充分条件．若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则①若A⊆B，则p是q的充分条件．②若B⊆A，则p是q的必要条件．③若A⊆B且B⃘A，即AB，则p是q的充分不必要条件．④若B⊆A且A⃘B，即BA，则p是q的必要不充分条件．⑤若A⃘B且B⃘A，则p是q的既不充分也不必要条件．探究三由充分，必要条件求参数[例3]已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．[解析]p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m＜10，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＞－2，,1＋m≤10，))解得m≤3.又m＞0，所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}.将条件关系转化为集合的包含关系．从而建立参数的不等式(组)求解.易错点归纳一、“充分”与“必要”的孪生兄弟关系对于一个命题“若p则q”，研究p与q的条件关系时．一要明确所问：“p是q的什么条件”还是“q是p的什么条件”．二要明确推导关系，即原命题的真假，对于同一个推理形式“p⇒q”而言，“p是q”的充分条件，同时“q是p”的必要条件．二者是同一个问题、相伴孪生．就命题而言，如果将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题．结论原命题逆命题p与q的关系真假p是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件假真p是q的必要不充分条件q是p的充分不必要条件假假p是q的既不充分也不必要条件q是p的既不充分也不必要条件即：(1)若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇒q，且q⇒p，则称p是q的充分不必要条件．(3)若p⇒q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．(4)若p⇒q，且q⇒p，则称p是q的既不充分也不必要条件．[典例]p是r的充分不必要条件，q是r的必要不充分条件．s是r的必要条件，也是q的充分条件．判断p是q的什么条件，p是s的什么条件．[解析]由题意得，p、q、r、s之间的关系．如图：p是q的充分不必要条件．p是s的充分不必要条件．二、混淆“充分条件”“必要条件”[典例]若“x＜m”是“x＞2或x＜1”的充分不必要条件．求m的范围．[解析]由题意得{x|x＜m}{x|x＞2或x＜1}．如图：∴m≤1.纠错心得本题将条件关系转化为集合的真包含关系．借助数轴，易去掉m＝1或者将包含关系弄错．1.4.2充要条件知识点充要条件若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；原命题与逆命题的真假如何？知识梳理充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件(sufficientandnecessarycondition)．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．解题方法探究探究一充要条件的判断[例1]已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，在下列各结论中正确的为()①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充分条件；②Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的必要条件；③Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；④Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件．A．③ B．①②C．①②③ D．①②③④[解析]首先我们应搞清楚Δ＝b2－4ac≥0是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根的充要条件．利用该结论可知：上述①②③是正确的．同时当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两相等的实根，故④也是正确的．[答案]D当p是q的充要条件正确时，p是q的充分条件及p是q的必要条件将都是正确的，故上述结论③正确时，结论①②也正确．应该指出的是：p是q的充分条件包含了两种可能：p是q的充分不必要条件与p是q的充要条件；同样，p是q的必要条件也包含了两种可能：p是q的必要不充分条件与p是q的充要条件．其实结论④可进一步明确成：Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分不必要条件．探究二证明充要条件[例2][教材P22例4拓展]已知⊙O的半径为r，圆心O到点P的距离为d.求证d＝r是点P在⊙O上的充要条件．[证明](充分性)根据圆的定义，当d＞r，P在圆外．d＜r时，P在圆内．故当d＝r时，点P在圆上必要性：若P在⊙O上，则满足P到⊙O的距离d＝r.证明充要条件，即证明条件的充分性和必要性．证明充要性时一定要注意分类讨论，要搞清它的叙述格式，避免在论证时将充分性错当必要性证，而又将必要性错当充分性证．探究三利用充要条件求参数[例3]求方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．[解析]当a＝0时，方程为2x＋1＝0，∴x＝－eq\f(1,2)为一负根．当a＜0时，∵Δ＝4－4a＞0，且x1x2＝eq\f(1,a)＜0，x1＋x2＝－eq\f(3,a)＞0，为一正根、一负根．当a＞0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4－4a≥0，,x1＋x2＝－\f(a,2)＜0，,x1x2＝\f(1,a)＞0，))得0＜a≤1.综上：a≤1.充要条件是一种等价转化，解决问题的关键就是找清原问题的充要条件．易错点归纳一、识得庐山真面目——转化与化归思想的应用数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识转化，命题之间的转化，数与形的转化，转化的唯一原则就是“等价”，而“等价”就是“寻找充要条件”的关系．[典例]设A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．[解析]因为A＝{x|－1＜x＜3}，x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，所以AB，所以m＋1＞3，即m＞2.[答案]m＞2二、转化不等价致错[典例]设集合A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|2m≤x≤m＋3}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．[解析]①当B≠∅时，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m≤m＋3，,2m≥2，,m＋3≤6，))解得1≤m≤3；②当B＝∅时，2m＞m＋3，解得m＞3.综合①②，得m≥1，故实数m的取值范围是{m|m≥1}．[答案]{m|m≥1}纠错心得此题求解时只求了一种情况，当B≠∅时，1≤m≤3，而实际与B⊆A等价的有B≠∅与B＝∅两种情况.1.5全称量词与存在量词1．5.1全称量词与存在量词1．5.2全称量词命题和存在量词命题的否定知识点一全称量词与全称量词命题语句(1)“x＞3”；语句(2)“对所有的x∈R，x＞3”，两者有什么区别？知识梳理(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词(universalquantifier)，并用符合“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题(universalproposition)．常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等．(2)通常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．知识点二存在量词与存在量词命题语句(1)“2x＋1＝3”；语句(2)“存在一个x∈R，使2x＋1＝3”，两者有什么区别？知识梳理(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词(existentialquantifier)，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题(existentialproposition)．常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等．(2)存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x)．知识点三含有量词命题的否定“空集是集合A＝{1,2,3}的真子集”与“空集不是集合A＝{1,2,3}的真子集”，两个命题有什么关系？是真是假．知识梳理(1)否命题一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定．通常用符号“綈p(x)”表示“p(x)不成立”．(2)对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题：∀x∈M，p(x)．它的否定：∃x∈M，綈p(x)．也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题．(3)对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，綈p(x)．也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题．解题方法探究探究一全称量词命题、存在量词命题的判断[例1]判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的平行四边形是菱形；(3)有一个数是素数也是合数；(4)菱形的对角线互相垂直．[解析](2)(3)的存在量词“有的”“有一个”为存在量词命题，(1)(4)是省略了全称量词的全称量词命题.判定一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤(1)首先判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题．(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题．(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质，只有全称量词才可省略.探究二全称量词命题、存在量词命题的真假[例2]判断下列命题的真假(1)梯形的对角线相等；(2)有些菱形是正方形；(3)至少有一个整数n，n2＋1是4的倍数．[解析](1)假：省略了全称量词，如直角梯形的对角线不相等．(2)真：正方形是菱形的特例．(3)假：不存在n，使n2＋1是4的倍数．1．全称量词命题真假的判断对于全称量词命题“∀x∈M，p(x)”：(1)要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；(2)要判断它是假命题，只