【《时域分析基础理论综述》2000字】

时域分析基础理论综述1.1一阶系统时域分析对图2-1(a)的RC电路,列出其运动微分方程Tct式中,c(t)为电路的输出电压;r(t)为电路的输入电压;T=RC为时间常数。如果设该电路的初始条件为零,其传递函数为φs与之对应的结构图如图2-1(b)所示。式(2-1)或式(2-2)即一阶系统的数学模型。在之后的分析计算中,皆设定为系统的初始条件为零。值得一提的是,如果不同的线性系统拥有相同的运动方程或者传递函数,那么他们对应同一输入信号的响应应该是相同的。而一阶系统功能或形式如果不同,则其响应特性的数学表达式应当具有不同的物理意义。图2-1(a)图2-1(b)设一阶系统的输入信号为单位阶跃信号r(t)=l(t),则由式(2-2),可知一阶系统的单位阶跃响应为ht由式(2-3)可见，一阶系统的单位阶跃响应曲线初始值为零,并以指数规律上升到终值h=1，如图2-2所示。图2-2一阶系统的单位阶跃响应设输入信号为理想单位脉冲函数,则R(s)=1,由C(s)=R(s)×φ(s)，得系统输出量的拉氏变换式与系统的传递函数相同,即C(s)=1kt由dkdt|t=0由图2-3可见，一阶系统的脉冲响应是斜率不断减小的减指数曲线。图2-3一阶系统的单位脉冲响应曲线设系统的输入信号为单位斜坡信号,则根据拉氏反变换，由式(2-2)可以求得一阶系统的单位斜坡响应为ct式中,(t-T)为稳态分量;T从式(2-5)可知:一阶系统的单位斜坡响应的稳态分量,与输入斜坡信号斜率相同，但时间上滞后一个时间常数T的,所以在位置上存在稳态跟踪误差,其值大小正好等于时间常数T;而一阶系统的单位斜坡响应的瞬态分量是一个衰减的非周期函数。根据式(2-5)画出的一阶系统的单位斜坡响应曲线如图所示。图2-4一阶系统的单位斜坡响应曲线比较图2-2和图2-4可以发现一个有趣的现象:在阶跃响应曲线中,随着时间的变化，输出量和输入量之间的位置误差逐渐减小,最后趋于零，而在初始状态下,位置误差最大,阶跃响应曲线的斜率也最大;而在斜坡响应曲线中,随着时间变化，输出量和输入量之间的位置误差逐渐增大并最终趋于常值T,而惯性越小,稳态误差也就越小。1.2二阶系统时域分析二阶系统结构图如图图2-5二阶系统的结构框图其闭环传递函数为φs=C(s)其中ωn当R(s)=1/s时，由式(2-6)得Cs=ω对上式做拉氏反变换,求得二阶系统的单位阶跃响应为ht式中，β=arctan1−ζ式(2-7)表明,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应可以分为两部分:其中稳态分量等于1，表明图2-5系统在单位阶跃信号作用下稳态位置误差为零;而瞬态分量为有阻尼正弦振荡项,其振荡的频率为ωd,所以称之为有阻尼振荡频率。因为包络线1±e−ζωn单位阶跃响应曲线如图2-6-1图2-6-1二阶系统的单位阶跃响应曲线动态分析包括上升时间tr，峰值时间tp，超调量σ%，调节时间ts等。上升时间tr即系统第一次到达给定值的时间在式(2-7)中，令h(tr)=1,求得1解得tr=π−β峰值时间tp的计算在式(2-7)中对t求导,并令其为零,即：ζ整理得tan由于tanβ=1−ζ2ζtp=β超调量σ%的计算因为峰值时间对应相应峰值,所以将式(2-9)代入式(2-7),得出输出量的峰值h由于sinπ+β=−σ%=e−ζ调节时间ts的计算对于欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应式(2-7),包络线曲线1±e−ζωdt/1−ζ2是关于h(∞)=1对称的,整个响应曲线总是包含在这一对包络线之内,如图所示。图中采用无因次时间ωnt图2-6-2调节时间的计算根据上述分析,如果令∆代表实际响应与稳态输出之间的误差,则有∆=|假定ζ≤0.8,并在上述不等式右端分母中代入ζ=0.8,选取误差带∆=0.05,可以解