《理论力学第4版》课件 第七章刚体的定点运动

1第七章刚体绕定点的运动2前言刚体的空间一般运动可以分解为刚体三维的平移运动和刚体的定点运动自由刚体的自由度是6本章将考虑刚体运动更一般的情况，即刚体的空间(三维)运动3前言定点运动：刚体运动时其上有一点固定不动例：陀螺的运动和万象联轴节的运动定点运动刚体的自由度是34§7.1定点运动刚体运动学的几何描述1、刚体位形的确定

设初始瞬时定参考系与动参考系对应的坐标轴相互重合，则在t

瞬时，动参考系Oxyz相对于定参考系Oxhz的方位，即可表示刚体的有限转动方位。xhzOxyzxyzxhzO原点——刚体上固定不动的点O定参考系——Oxhz

动参考系——Oxyz固结于刚体称为连体参考系5§7.1定点运动刚体运动学的几何描述xyzxhzO

bgj确定刚体方位的方位角：

b

g

j

其中cos2

＋cos2b＋cos2g

＝1

定点为原点的刚体的自由度

N＝3。需要3个广义坐标确定定点运动刚体在空间的位置6§7.1定点运动刚体运动学的几何描述设刚体由原位形I，绕固定点O运动到新位形Ⅱ，所需的时间间隔为Dt，刚体获得了由位形I至Ⅱ这一位移。对于定点运动刚体的有限位移，有下列定理成立：1）达朗贝尔—欧拉定理：定点运动刚体的任何有限位移可借绕过固定点的某轴的一次转动实现。

2、刚体的有限位移和微位移7§7.1定点运动刚体运动学的几何描述

证明：要确定刚体在每瞬时的位置，除了固定点O以外，需确定刚体内不与O点共线的两个点的位置，设此两点为A和B。如果选择这两点使得它们到固定点O的距离相等，那么它们就在同一球面上运动。

作连接A、B两点的大圆弧，根据大圆弧在球面上的位置就可以确定刚体的位置。

设在t和t+Dt瞬时，大圆弧分别在位置和。以大圆弧连接A、A1和B、B1，并做其垂直平分大圆弧和，其中是这两个大圆弧在球面上的交点，连接直线，则刚体在此时间间隔Dt

内的位移可以看成是绕轴一次转动达到。8§7.1定点运动刚体运动学的几何描述2）有限转动的角位移不可交换有限转动角位移不满足矢量加法交换律，故不是矢量。9§7.1定点运动刚体运动学的几何描述3）无限小角位移是矢量略去高阶小量10§7.1定点运动刚体运动学的几何描述刚体绕相交轴的两个微转动可合成为一个微转动，合成的微转角等于两个分微转角矢的矢量和。根据达朗贝尔——欧拉定理，上述相继的两次微转动也可借绕欧拉转轴做一次微转动而实现说明微转角的合成符合交换律，也即是矢量。11§7.1定点运动刚体运动学的几何描述3、瞬时转动轴·角速度·角加速度矢量沿瞬轴，指向按右手法则规定

令刚体作微转动的时间间隔Dt趋于0，则转轴OC*趋于一极限位置OC,OC称为刚体的瞬时转动轴。

方向沿角速度矢量的矢端曲线的切线。一般情况下与不共线12§7.1定点运动刚体运动学的几何描述潘索定理随着时间的推移，刚体的瞬时轴要改变位置，它在固定空间描出一个锥面，称定瞬轴锥面；同时在刚体上也描出随刚体一起运动的一个锥面，称为动瞬轴锥面。这两个锥面都以固定点O为顶点，在该瞬时的瞬时轴处相切。潘索定理：刚体定点转动可用动瞬轴锥面在定瞬轴锥面上的纯滚动来代替，它形象地描述了刚体定点运动的运动情景。空间极面转动瞬轴本体极面13§7.1定点运动刚体运动学的几何描述绕相交轴转动的合成

刚体在同一瞬时绕二相交轴的转动可以合成为绕瞬轴的瞬时转动；二相交轴的交点即为定点，合成后绕瞬轴的角速度等于分别绕二相交轴转动角速度的矢量和，合矢量所在的位置即为瞬轴位置。

1

2

OC*A角速度合成定理：§7.1定点运动刚体运动学的几何描述4、刚体上各点的速度和加速度－－转动加速度大小为方向垂直于和指向如上图。－－向轴加速度其大小为方向垂直于和指向瞬轴。

刚体绕定点运动时，刚体内任一点的速度等于绕瞬轴转动的角速度与矢径的矢量积；该点的加速度等于绕瞬轴的向轴加速度与绕角加速度矢的转动加速度的矢量和。§7.1定点运动刚体运动学的几何描述例1求：齿轮上点M的速度和加速度。设OA=l，已知：行星锥齿轮的轴OA以匀角速度,绕铅直轴OB转动AC=r。§7.1定点运动刚体运动学的几何描述解：齿轮中心点A的速度为点A绕定点O在水平面内作圆周运动=常量它沿着OC

指向如图所示点M的速度为它的方向垂直于平面OMC指向如图绕瞬轴OC转动的角速度的大小为§7.1定点运动刚体运动学的几何描述行星齿轮的角加速度为因为只改变方向不改变大小而且它和z轴间夹角β的大小保持不变，所以它的矢端曲线是水平的圆周。沿此圆周的切线，指向转动的一方的大小为现在计算点M的加速度。转动加速度的大小为它垂直由和OM形成的平面，指向如图§7.1定点运动刚体运动学的几何描述向轴加速度的大小为它的方向自M指向点E（在铅直平面OAC内）将值代入上式，并注意到和得§7.1定点运动刚体运动学的几何描述

正圆锥以其定点O为固定点在水平面上纯滚动，圆锥的底面中心C点在水平方向的速度vC=48cm/s=常数。已知圆锥高为h=4cm，底面半径r=3cm。试求：(1).圆锥体的角速度和角加速度；(2).C点及A点的加速度。xyzOCAhr例2§7.1定点运动刚体运动学的几何描述

圆锥体作定点运动。圆锥体与坐标面Oxy相接触的母线OA是瞬时转动轴xyzOCAhr角速度

绕z轴作定轴转动，转动角速度为O1解：§7.1定点运动刚体运动学的几何描述xyzOCAhrO1计算C点及A点的加速度计算aC的其它方法？§7.1定点运动刚体运动学的几何描述xyzOCAhrO1§7.1定点运动刚体运动学的几何描述xyzOCAO1§7.1定点运动刚体运动学的几何描述刚体定点运动的解题方法根据刚体的约束条件判断刚体是否在作定点运动。找出作定点运动刚体上两速度为零的点以确定其瞬时转轴。根据已知条件计算其角速度

。根据运动过程中

的变化规律，分析计算角加速度a=d

/dt。计算刚体上任一点的速度和加速度。§7.1定点运动刚体运动学的几何描述－－自由刚体运动方程自由刚体内任一点M的速度设动点M在动坐标系中的矢径为刚体绕基点转动的瞬时角速度为则自由刚体内任一点的速度公式为5、自由刚体的运动§7.1定点运动刚体运动学的几何描述由于牵连运动为平移，自由刚体内任一点的加速度合成式为其中为刚体绕基点转动的瞬时角加速度自由刚体内任一点的加速度公式为§7.1定点运动刚体运动学的几何描述1、欧拉角

当刚体作定点转动时，可选这个定点作为坐标系的原点，我们可选这个定点作为坐标系的原点，而用三个独立的角度来确定转动轴在空间的取向和刚体绕这轴线所转过的角度。这三个能够独立变化的角度叫做欧拉角。§7.2定点运动刚体运动学的解析描述是固定坐标系是刚体坐标系是节线进动角章动角自转角第一类欧拉角(转动顺序为：Z-X-Z)§7.2定点运动刚体运动学的解析描述§7.2定点运动刚体运动学的解析描述刚体绕转角§7.2定点运动刚体运动学的解析描述刚体绕ON转θ角§7.2定点运动刚体运动学的解析描述刚体绕Z轴转j角§7.2定点运动刚体运动学的解析描述章动角：进动角：自转角：ON：节线§7.2定点运动刚体运动学的解析描述2、角速度

z’y’x’

zyxyy

y’

x’’yz’’y’’qyz

y’’x’’yqxj§7.2定点运动刚体运动学的解析描述节线：进动角:章动角:自转角:节线ON始终垂直于zO

的瞬时平面绕

轴转动绕ON轴转动绕z轴转动§7.2定点运动刚体运动学的解析描述z

y’’x’’yq一般情况下刚体定点转动时，三个角度都发生变化，MN作一条和平面ONz垂直的辅助线OMOOM在Oxy平面内OM在Oz

平面内则进动角速度可以表示为：表示OM方向的