《分析力学(全2册)》-8

8.1Lagrange方程的由来8.1.1第一类Lagrange方程Lagrange的著作中并未明显地给出Lagrange方程的现代形式，仅在Lagrange著作第一卷注记6中给出第一类Lagrange方程下一页返回8.1Lagrange方程的由来8.1.2第二类Lagrange方程

在Lagrange著作第一卷注记6中还给出第二类Lagrange方程上一页返回8.2Lagrange方程的导出d'Alembert-Lagrange原理是分析动力学的基本原理，由这个原理出发可以导出第一类Lagrange方程和第二类Lagrange方程。8.2.1第二类Lagrange方程的导出d'Alembert-Lagrange原理的Euler-Lagrange形式为式(7.3.8)，即8.2.2第一类Lagrange方程的导出如果系统所受双面理想约束表示为直角坐标形式(7.2.12)，即下一页返回8.2Lagrange方程的导出方程(8.2.4)就是第一类Lagrange方程，它与约束方程(8.2.3)联合，便可求解运动。同时，也可求解约束力，因为带乘子几。的项就是约束力。上一页返回下一页8.2Lagrange方程的导出假设完整系统的位形由n个广义坐标qs(s=1,2,...,i)来确定。为方便计算，可选m个多余坐标qn+1,qn+2,...,qn+m，并有m个双面理想完整约束

约束(8.2.5)加在坐标变分上的限制为d'Olembert-Lagrange原理可表示为由原理(8.2.7)和虚位移方程(8.2.6)，利用Lagrange乘子法，可得到方程上一页下一页返回8.2Lagrange方程的导出这就是有多余坐标完整系统的运动微分方程，其实也是第一类Lagrange方程。方程(8.2.8)联合方程(8.2.5)，不仅可求解系统的运动，还可求解系统所受的双面理想约束力。上一页返回8.3Lagrange方程的结构Lagrange方程(8.2.2)，实质上是建立系统以广义坐标表示运动的动力学微分方程的法则。如果完成方程(8.2.2)中所指出的对动能的全部运算，以及按照问题的条件计算出广义力的表达式，那么就可列出运动微分方程。因此，方程的最终形式决定于系统动能对广义坐标和广义速度的依赖关系，决定于作用于系统的主动力。8.3.1系统动能的结构1)动能表示为广义速度的二次式、一次式和零次式由N个质点组成的质点系的动能可表示为T=T2+T1+T0(8.3.1)其中下一页返回8.3Lagrange方程的结构这样，系统的动能分为三部分:广义速度的二次式T2、广义速度的一次式T1，以及广义速度的零次式T0将力学系统按定常和非定常的特征分类，这种分类对研究有重要意义。首先，如果加在系统的约束是非定常的，则直角坐标用广义坐标表示的公式明显地包含时间t。此时，动能中全部的三项T2,T1和T0都包含时间，这样的系统称为完全非定常系统。其次，如果在直角坐标中是非定常的，但在广义坐标中不显含t，这样的系统称为半非定常系统，此时动能T包含三项，但每项都不含t。最后，如果在直角坐标和广义坐标中都不包含时间t，则T=T2,T1=T0=0,这样的系统称为完全定常系统。上一页下一页返回8.3Lagrange方程的结构2)动能的各种表达式质点的动能为

(1)质点系在复合运动中的动能。将力学系统的运动分解为随系统质心C,的平移以及相对于同质心一起平移的动坐标系的转动，则动能表示为其中上一页下一页返回8.3Lagrange方程的结构公式(8.3.3)称为柯尼希(Konig)定理:质点系在绝对运动中的动能等于质量全部集中在质心所具有的动能，加上相对于质心的动能Tc。(2)刚体的动能。刚体做平移的动能为其中M为刚体的总质量;二为刚体平移的速度。刚体做定轴转动的动能为其中J为刚体对转动轴的转动惯量;、为刚体转动的角速度。刚体做平面运动的动能为上一页下一页返回8.3Lagrange方程的结构8.3.2广义力的计算应用Lagrange方程组建力学系统的运动微分方程，除需计算动能外，尚需计算广义力。广义力可按定义计算，即按式((7.3.7)，有上一页下一页返回8.3Lagrange方程的结构8.3.3Lagrange方程的显式引人Euler算子8.3.4应用举例应用Lagrange方程建立完整力学系统的运动微分方程，大致应遵循下述步骤:(1)明确系统，弄清楚所论系统包括哪些物体，然后确定自由度，再选一套适当的广义坐标。坐标选得好，会使问题处理起来比较方便。(2)将动能表示为广义坐标形式T=T(t,qs,qs)上一页下一页返回8.3Lagrange方程的结构

(3)计算广义力Qs。(4)将T,Qs代入Lagrange方程，得到n个二阶常微分方程，再由2n个初始条件解出运动qs=qs(t)。上一页返回8.4有势力情形的Lagrange方程本节讨论一类特殊情形的Lagrange方程，包括有势力情形的Lagrange方程、有广义力函数情形的Lagrange方程、Lagrange方程的不变性等。8.4.1有势力情形的Lagrange方程如果加在系统质点上的主动力具有力函数，即存在一个函数U=U(xi,yi,zi)(i=1,2，…，N)，使得下一页返回8.4有势力情形的Lagrange方程具有力函数的系统，通常称为保守系统。在分析力学中起重要作用的是另一个与力函数相近的势能函数V=V(q)，它与力函数大小相等，符号相反，即V(q)=-U(q)。此时，第二类Lagrange方程(8.2.2)有形式上一页下一页返回8.4有势力情形的Lagrange方程8.4.2有广义力函数情形的Lagrange方程8.4.3Lagrange方程的不变性研究某些变换，Lagrange方程(8.4.4)相对这些变换是不变的。1)显然变换Lagrange函数L与L1=L+Q(t),L与L2=AL,以及L与L3=L+d/dtF(qs,t)都表示同样的Lagrange方程。上一页下一页返回8.4有势力情形的Lagrange方程2)点变换引入新的坐标qs(s=1,2，...,n)，它们是原坐标qk(k=1,2,...,n)的函数设变换的函数行列式异于零，即于是存在逆变换可以证明，Lagrange方程(8.4.4)在点变换(8.4.7)下的不变性。实际上，新变量下的Lagrange函数为上一页下一页返回8.4有势力情形的Lagrange方程3)相似变换对系统中点的质量，坐标以及时间做相似变换上一页下一页返回8.4有势力情形的Lagrange方程4)Lagrange对称性Lagrange对称性是指，力学系统的运动微分方程的解集在变换下的不变性，或者说，对应于一个Lagrange函数的运动微分方程的每一个解都满足从另一个Lagrange函数得到的微分方程。8.4.4应用举例对于完整保守系统，只用一个函数L=T-V=T+U便可建立系统的运动微分方程。上一页返回下一页8.4有势力情形的Lagrange方程例1如图8.8所示，由刚度为k的弹簧联结的两个质点M1和M2的质量分别为m:和mz。两质点分别沿坐标轴O和Oy为运动，Oy为是竖直的，弹簧长度在未拉紧时等于1,，试用Lagrange方程建立系统的运动微分方程。略去摩擦不计。解:因不计摩擦，约束是双面理想的。取M2的坐标y和M1的坐标y的动能为为广义坐标’系统下一页返回上一页8.4有势力情形的Lagrange方程返回上一页8.5Lagrange方程的经典积分及降阶法本节讨论Lagrange方程的两类经典积分一循环积分和能量积分，以及利用这两类积分的降阶法-Routh降阶法和Whittaker降阶法等。8.5.1运动方程的第一积分由Lagrange方程的显式，可解出所有广义加速度，记作研究运动方程的第一积分有重要意义。如果能够找到一些积分，便可对系统动力学行为有所了解;如果能够找到全部积分，也就找到了问题的解。假设已求得方程(8.5.1)的2n个独立的第一积分下一页返回8.5Lagrange方程的经典积分及降阶法上一页下一页返回8.5Lagrange方程的经典积分及降阶法8.5.2循环坐标币日循环积分如果某个广义坐标，例如q1，不明显出现于Lagrange函数L中，就称q1为循环坐标(或可遗坐标)。此时，由方程(8.4.4)得其中C1为任意常数。与循环坐标相应的积分(8.5.6)称为循环积分。循环积分代表广义动量守恒，可以是动量守恒;也可以是动量矩守恒;也可以既不是动量守恒，也不是动量矩守恒。上一页下一页返回8.5Lagrange方程的经典积分及降阶法假定循环坐标q1，有如下性质:当其余坐标q2，q3，…，qn保持不变时，q1若有改变量l，相应于系统平移一线段l。取此移动方向为轴Ox，则有因此，如果循环坐标的改变相应于系统在某方向的平移，那么相应的循环积分就表示系统的动量在此方向上的投影守恒。8.5.3能量积分将方程(8.4.4)两端同时乘以qs，并对s求和，得到上一页下一页返回8.5Lagrange方程的经典积分及降阶法上一页下一页返回8.5Lagrange方程的经典积分及降阶法积分(8.5.10)称为广义能量积分或Jacobi-Painleve积分。特别地，如果动能仅包含广义速度的二次式T=T2，则积分(8.5.10)成为T+V=h(8.5.11)这就是能量积分，或机械能守恒律。8.5.4一般完整系统的能量积分首先，研究方程(8.2.2)的能量积分存在条件。将广义力Qs分为有势的Qs'和非势的Qs''则方程(8.2.2)表示为上一页下一页返回8.5Lagrange方程的经典积分及降阶法将方程(8.5.12)两端同时乘以，并对s求和，整理得

称其为能量变化方程。因此，如果L不显含t，且以为陀螺力，即

则系统存在广义能量积分其次，研究有多余坐标完整系统的Lagrange方程(8.2.8)。将此方程两端同时乘以9，并对u求和，得到上一页下一页返回8.5Lagrange方程的经典积分及降阶法因此，当时，系统有广义能量积分8.5.5利用循环积分的Routh降阶法利用循环积分可降阶Lagrange方程。假设方程(8.4.4)有k个循环坐标q1，q2，...,qk(1≤k<n)，则有k个循环积上一页下一页返回8.5Lagrange方程的经典积分及降阶法称其为Routh函数上一页下一页返回8.5Lagrange方程的经典积分及降阶法比较式(8.5.23)与式(8.5.22)，得到以及将式(8.5.24)代入Lagrange方程(8.4.4)，得到这就是完整系统的Houth方程，它们由英国力学家RourhE(1831-1907)于1876年给出。Rourh方程的形式与I,agrange方程的形式一致，但只剩下了n-k个二阶微分方程，达到了降阶目的。式(8.5.25)可用来求}qj(j=1,2,...,k)，积分式(8.5.25)，得到上一页下一页返回8.5Lagrange方程的经典积分及降阶法8.5.6利用能量积分的Whittaker降阶法利用能量积分可降阶Lagrange方程。能量积分为上一页返回下一页8.5Lagrange方程的经典积分及降阶法利用能量积分(8.5.28)和式(8.5.30)，解出母:，记作考虑到式(8.5.31)和(8.5.32),能量积分可表示为形式其中q1由式(8.5.35)确定。对式(8.5.36)微分，有上一页下一页返回8.5Lagrange方程的经典积分及降阶法称其为Whittaker函数。对式(8.5.39)求微分，得

较式(8.6.39}与式(8.6.40)，得

比较式(8.5.38}与式(8.5.41)，得上一页下一页返回8.5Lagrange方程的经典积分及降阶法考虑到式(8.5.33)和式(8.5.34)，得到将式(8.5.44)代入I,agrange方程得到或这就是Whittaker方程，它们由英国数学家、力学家WhittakerET(1873-1956)于1904年给出。间t的独立变数。函数W中包含，其中q1为相当于时方程(8.5.45)只有(n-1)个，从而达到了降阶目的。上一页下一页返回8.5Lagrange方程的经典积分及降阶法8.5.7应用举例例1一薄的铅垂平板可无摩擦地绕铅垂轴Oz旋转。质点M可无摩擦地沿平板上的直槽移动，如图8.12所示。已知平板对轴Oz的转动惯量为J，质点的质量为m，槽与铅垂线间的角a为常数.试按以下两种情形，写出系统运动的第一积分:(1)平板的初角速度0;(2)平板以给定的角速度、转动(Beghin,1948).解:(1)平板的初角速度0的情形此时系统有两个自由度，取距离OM=r及平板相对空间固定铅垂面(万二的转角功为广义坐标。质点的动能为上一页下一页返回8.5Lagrange方程的经典积分及降阶法上一页下一页返回8.5Lagrange方程的经典积分及降阶法上一页返回8.6变量可分离的Lagrange方程和Liouville方程8.6.1分离变量与局部能量积分研究一完整有势的力学系统，广义坐标为qs(s=1,2,...,n)。如果有一个广义坐标，例如q1，可在系统的动能T和势能V中被分离出来，即下一页返回8.6变量可分离的Lagrange方程和Liouville方程这样的广义坐标q1称为系统的分离保守坐标。对于分离保守坐标，有局部能积分(