《分析力学(全2册)》-9

9.1准坐标下的Lagrange方程9.1.1准速度与准坐标设力学系统的位形由n个广义坐标qs(s=1,2,...n)来确定。在研究点的速度时，在不少情况下不是直接由广义速度qs(s=1,2,...n)，而是用它们的某些线性形式来确定:下一页返回9.1准坐标下的Lagrange方程与式(9.1.1)相关，研究广义坐标微分的线性形式量称为准坐标的微分。因为式(9.1.1)一般是不可积分的，故s作为坐标的函数是不在的。但是，纯粹条件地引出记号t，并称之为准坐标仍不失意义，因为这样可以简化公式并减少文字记述。对准坐标的偏导数运算为式(2.4.11)，即准坐标下的Lagrange关系为式(2.4.12)，即9.1准坐标下的Lagrange方程9.1.2准坐标下Lagrange方程的导出广义坐标下的Lagrange方程为(8.2.2)，即下面由方程(9.1.9)出发来推导准坐标下的Lagrange方程。将方程(9.1.9)两端同乘以bsk，并对s求和，得到令T为用准速度表示的动能上一页返回下一页9.1准坐标下的Lagrange方程于是有将式(9.1.10)代入式(9.1.9)，得到上一页返回下一页9.1准坐标下的Lagrange方程为Boltzmann三标记号，而为相应于准坐标的广义力。方程(9.1.13)就是准坐标下的I,agrange方程，是德国学者BoltzmannL(1844-1906)于1902年得到。上一页返回下一页9.1准坐标下的Lagrange方程准坐标下的I,agrange方程(9.1.13)理论上比广义坐标下的Lagrange方程(8.2.2)更一般，因为当取准速度为广义速度时，方程(9.1.13)成为方程(8.2.2)。另外，方程(9.1.13)的优点在于不仅可研究纯滚动，还可研究滑动情形，因为对完整系统和非完整系统具有同样的形式。9.1.3应用举例例1一质量为刀:的质点M在指向固定点口的有心力作用下在一平面内运动。力的大小为f(r)，其中r为口和M间的距离。试导出质点在变量r，B,r和A下的运动微分方程，其中r，B为点的极坐标，A是面积速度。解:取广义坐标q1，q2和准速度w1、w2为上一页返回下一页9.1准坐标下的Lagrange方程下一页上一页返回9.1准坐标下的Lagrange方程上一页返回9.2耗散函数的Lagrange方程本节讨论耗散函数的Lagrange方程，包括JIypbe耗散函数、带有耗散函数的Lagrange方程等。9.2.1JIypbe耗散函数考虑系统的每个质点上作用有与其速度相关的阻力下一页返回9.2耗散函数的Lagrange方程称为JIypbe耗散函数。这个函数由苏联力学家JIypbeAII于1957年提出线性阻尼情形的Rayleigh耗散函数是JIypbe耗散函数的特例。9.2.2有耗散函数的Lagrange方程系统所受阻力的广义力可用JIypbe函数表示为9.2.3耗散函数的力学意义研究阻力大小和速度刀:次方成比例的情形，此时有上一页下一页返回9.2耗散函数的Lagrange方程上一页下一页返回9.2耗散函数的Lagrange方程

这表明，系统单位时间内减少的总机械能是JIypbe函数的(m+1)倍。当m=0时为干摩擦;当m=1时为线性阻尼;当m=2时为平方阻尼，等等。9.2.4应用举例例耗散函数的计算研究平方阻尼的双数学摆问题。设悬挂点O以速度Vi。运动，摆长为Z1和Z2与铅垂线夹角为甲和件，两质点质量为m和m2，如图9.1所示。两质点速度的平方分别为上一页返回下一页9.2耗散函数的Lagrange方程上一页返回下一页9.2耗散函数的Lagrange方程上一页返回9.3初始运动问题本节讨论Lagrange方程的初始运动问题及其应用。9.3.1Lagrange方程的初始运动问题双面理想完整系统的Lagrange方程为(8.2.2)，即的表达式，其中系数as,bs,cs,ds,…可由式(9.3.2)代入方程(9.3.1)并令t的各同次幂的系数为零，而得到。一般说来，展开式对t平面上某确定的收敛圆内的t值将是收敛的。上述级数解可以用来研究运动的初始特性，因为as是qs的初值，bs是qs的初值，2c是qs的初值，等等。返回下一页9.3初始运动问题9.3.2应用举例例1如图9.2所示，在铅垂平面内的均质圆盘，质量为2m，半径为u，可绕过中心n的水平轴转动。一质量为m的质点B，用长为b的线拴于圆周上A点。通过拴结点的半径口A开始时是水平的。试确定质点初始运动的轨迹。解:首先，建立系统的运动微分方程。取圆盘转角。以及线AB与铅垂线的夹角明为广义坐标。在圆盘中心n取固定直角坐标第Oxy。质返回下一页上一页9.3初始运动问题返回下一页上一页9.3初始运动问题返回下一页上一页9.3初始运动问题返回下一页上一页9.3初始运动问题返回上一页9.4打击运动的Lagrange方程打击运动是指力学系统在量值很大，但作用时间很短的打击力作用下的运动。打击力往往由于打击、碰撞、爆炸，或突然施加约束而产生。打击运动的一般情形由以下两种情形组成:①作用在系统上的打击冲量是给定的;②在系统上发生瞬时地加上约束的情形，此时引起的打击力事先不知道。9.4.1给定打击冲量的情形1)微分变分原理对打击运动的应用d'Alembert-Lagrange原理写成形式下一页返回9.4打击运动的Lagrange方程上一页下一页返回9.4打击运动的Lagrange方程2)完整系统打击运动的Lagrange方程引进广义坐标qs(s=1,2,...,n)，原理(9.4.5)可表示为广义坐标形式上一页下一页返回9.4打击运动的Lagrange方程3)能量分析设系统所受完整约束是定常的，则动能有形式9.4.2瞬时加上约束的情形瞬时地加上约束的情形，是指系统在没有给定外冲量下，突然加上一些约束的情形。例如，系统中原来运动着的某个点被突然固定住;又如，一个圆球本来做自由运动，突然碰到粗糙地面上。上一页返回下一页9.4打击运动的Lagrange方程假设突加约束有形式它们对虚位移的限制表示为此时与主动打击力相关的广义冲量不出现于原理(9.4.6)。将式(9.4.14)代入式(9.4.6)，得到上一页返回下一页9.4打击运动的Lagrange方程如果瞬时加上的约束在打击后仍然保持着，例如，绝对非弹性碰撞就属于这种情形。在此情形下，约束(9.4.13)不仅在打击开始时是对的，而且在打击终了时也是对的，于是有这样，n个代数方程(9.4.15),(9.4.16)组成封闭组，可用来求解打击后的广义动量。如果瞬时加上的约束在打击终了立刻取消，例如，弹性碰撞就属于这种情形。在此情形下，需要补充g个关系，才能求解。上一页返回下一页9.4打击运动的Lagrange方程9.4.3应用举例例1在铰接平行四边形ABCD中，均质杆AB与DC的质量都为m1，均质杆BC的质量为m2.<BAD=B，边AD固定。今在点召作