《分析力学(全2册)》-2

2.1广义坐标

2.1.1广义坐标的定义凡是能够确定系统位置的，适当选取的独立变量称为广义坐标。广义坐标比直角坐标意义更广泛。广义坐标可以是距离、角度、面积以及其他的量。特别地，曲线坐标，如平面上的极坐标、空间中的柱坐标和球坐标等，都可选作广义坐标。

2.1.2广义坐标的形成广义坐标也称为Lagrange坐标。但是，在Lagrange著作中未见“广义坐标”的提法，也未见、的记号。在Lagrange著作的附注研中提到“用q1，q2，…，qk表记k个新变量，使得3n个坐标x1，y1，z1，...,.xn,yn,zn，可表示为这些变量和时间t的函数”。这个附注由法国数学家，巴黎科学院院士BertrandJLF(1822-1900)给出。下一页返回2.1广义坐标Appell的著作将这些坐标称为完整系统的坐标田。Levi-Civita和Amaldi称其为广义坐标，或Lagrange坐标

2.1.3广义坐标的意义当力学系统加上约束时，由直角坐标过渡到广义坐标是特别方便的，而且也是十分必要的。上一页返回下一页2.1广义坐标例1自由刚体。为确定自由刚体在空间的位置，可选刚体上某一点A的直角坐标(xA，yA，zA)以及确定与刚体固连的轴Ar相对于固定直角坐标系Qxyz转动的三个Eider角B,p为广义坐标，如图2.2所示。此时，刚体上的点在两个坐标系中的坐标(x，y，z)之间有关系上一页返回2.2广义速度和广义加速度2.2.1广义速度下一页返回2.2广义速度和广义加速度2.2.2广义加速度上一页下一页返回2.2广义速度和广义加速度2.2.3非完整约束在广义坐标和广义速度下的表达上一页返回2.3多余坐标2.3.1多余坐标的市既念如果选取的参数不是完全独立的，则称这些参数为多余坐标。例四连杆机构。如图2.6所示四连杆机构，为确定系统的位置，可选两铰链的直角坐标A(x1,y1),B(x2,y2)，但是有3个约束方程

返回2.3多余坐标2.3.2多余坐标的意义从以上例子可以看出，选多余坐标在运动学研究上有意义，同时在静力学和动力学研究上也有意义。为求约束力常常选多余坐标。为在静力学和动力学研究中求出与约束相应的约束力，通常采用Lagrange乘子法，而带Lagrange乘子的项就是约束力。返回2.4准速度与准坐标2.4.1准速度1.准速度的概念设力学系统的位形由n个广义坐标qs(s=1,2..,n)来确定。在不少情况下，点的速度不是直接由广义速度qs(s=1,2,...，n)，而是由它们的某些线性形式来确定.下一页返回2.4准速度与准坐标2.函数对准速度的偏导数研究某动力学函数F(qs,qs',t)，将式(2.4.5)代入后所得函数记作F*，即

显然有特别地，当取准速度为式(2.4.1)时，有2.4准速度与准坐标2.4.2准坐标1.准坐标的概念与式(2.4.1)相关，研究广义坐标的线性形式量dπs称为准坐标的微分。因为关系(2.4.1)一般是不可积分的，因此πs作为坐标的函数是不存在的。但是，纯粹条件地引入记号πs，并称之为准坐标，仍不失其意义，因为这样做可简化公式并减少文字记述。引用记号

ws=πs(s=1,2....n)(2.4.10)上一页下一页返回2.4准速度与准坐标这里πs是引用的记号，并非πs对时间的导数。如果表达式(2.4.9)是可积分的，那么可归结为

πs=πs(qk)(s，k=1，2，…，n)这只是表明过渡到新的广义坐标。因此，准坐标的概念实际上比广义坐标的概念更广泛。

2.函数对准坐标的偏导数因准坐标并不明显出现于函数中，故函数对准坐标的偏导数需要专门定义。上一页返回下一页2.4准速度与准坐标当准速度按式(2.4.4)选取时，定义“对准坐标的偏导数运算”为当准速度按式(2.4.1)选取时，则定义为利用式(2.4.7)和式(2.4.11)，可得到准坐标下的Lagrange关系为