《分析力学(全2册)》-4

4.1力的功

4.1.1功的简史物理量“功”有很长历史。整个18世纪两种不同的实践彼此交会。一个是理论的，由哲学家和数学家实践，涉及“活力”;另一个是经验的，由工程师实践，涉及发动机(主要是水轮机和蒸汽机)的功和效能。在两种实践中用于计算重量(或力)与高度(或距离)的乘积。近代科学史认定，功作为力学量是19世纪初在法国出现的。“功”的前发包括Galilei,Descartes,Varignon等17世纪关于静力学的工作，Leibniz及其追随者17世纪和18世纪关于动力学的工作，d‘Alemhert18世纪关于动力学的工作，而能量概念和能量关系见于Lagrange18世纪关于动力学的工作。下一页返回4.1力的功在虚速度原理的描述中，力与位移的乘积是暗示的，看不见的。这个原理的最终形式由Varignon和JohannBernoulli给出，在Varignon1725年出版的《新力学或静力学》一书中。1829年CoriolisGG(1792-1843)将这个原理改为墟功原理”

4.1.2力的分类牛顿力学中主要将力分为内力和外力，而分析力学中主要将力分为主动力和约束力。在Lagrange著作中没有明显地将力分为主动力和约束力。在Appell巨著第一卷第8章第157节中写道:“将作用在各个点上的力分成两类:由约束产生的作用于系统的约束力，以及作用在系统的直接加上的力或给定力”。这里的给定力，即主动力。上一页下一页返回4.1力的功专著[2]指出，历史上最早将力分为主动力和约束力的是法国人Delaunay在他1856年的著作中提出的。4.1.3力的实功作用于质点的力F与质点的无限小位移d;的标积，称为力对质点所做的元功，记作d'Wd'W=F·dr(4.1.1)这里的力F可以是主动力，也可以是约束力;可以是外力，也可以是内力，而dr是质点的实位移。力F在有限路径上的功为元功沿路径的积分，记作W。上一页下一页返回4.1力的功4.1.4力的虚功力F在质点虚位移δr上所做的功，称为力的虚功，记作δWδW=F·δr(4.1.5)上一页下一页返回4.1力的功力系Fi(i=1,2,...,N)的虚功表示为实位移与虚位移不同，因此，一般说来，力的实功与力的虚功也不同。4.1.5约束力的功约束力一般是被动力，是未知的，因此约束力在建立原理和运动微分方程之后才能求得。有些约束力的实功和虚功都是零;有些约束力的虚功为零，但实功不为零。上一页返回下一页4.1力的功例1质点被强制在一固定光滑曲面上运动，如图4.1所示。虚位移ar发生在曲面在点P的切平面上的任意方向，实位移dr发生在切平面上的某个方向上。约束力F、在曲面该点的法向上，于是有

这表明约束力的实功与虚功皆为零。上一页返回4.2理想约束4.2.1由无摩擦约束到理想约束理想约束概念的形成有相当长的一段历史。18世纪Lagrange的著作中未见liaisonparfaite(理想约束)的提法。20世纪初Appell的5卷《理性力学》中也没有，仅有“无摩擦约束”的提法.Appell巨著的前两卷俄译为《理论力学》，第一卷第8章第164节的标题为“无摩擦约束的一般定义”，俄译本将其改为“理想约束的一般定义”。俄译本第二卷第343节有一译者注:“无摩擦约束应理解为不产生运动阻抗的约束，例如，不仅光滑曲面，而且粗糙曲面，如果沿其发生无滑动地滚动。”

JIypbe的著作6.2节中写道:“理想约束或无摩擦约束’。下一页返回4.2理想约束一般说来，“无摩擦约束”与“理想约束”并不等同，因为有的有摩擦约束也可能是理想约束，如滚球、滚盘等非完整约束都是靠接触，靠摩擦来实现的。

4.2.2理想约束的定义理想约束可分为双面理想约束和单面理想约束。

1)双面理想约束约束，无论是完整的还是非完整的，满足约束力在系统点的任何虚位移上所做元功之和等于零的，称其为理想约束。

2)单面理想约束约束，无论是完整的还是非完整的，满足约束力在系统点的任何虚位移上所做元功之和大于或等于零的，称其为单面理想约束。上一页下一页返回4.2理想约束4.2.3理想约束假定的重要性与可能性由d’AIemhert和Lagrange开创的非自由质点系动力学是基于约束的理想性假定的。根据这个假定所建立的虚位移原理以及动力学普遍方程中消除了约束力，从而使问题变得简单了。可见，理想约束假定的重要性。同时，理想约束假定也是完全可能的。首先，为描述自然现象和大多数技术过程，这样的假定有足够的精确度。例如，复杂机构可看作刚体系统，其中刚体两两之间或刚性联结，或以铰链联结，或以其表面相接触。如果认为所有刚性联结是绝对刚性的，铰链是理想的，而所有接触面或是理想光滑的，或是完全粗糙的，则任何复杂机构均可当作具有理想约束的质点系。上一页下一页返回4.2理想约束其次，如果约束是非理想的，例如，摩擦力的虚功不为零，则可将摩擦力归为主动力范畴来考虑，由于未知摩擦力出现而短少的方程可用摩擦定律来补充4.2.4理想约束的例子上一页返回下一页4.2理想约束例2物体沿固定曲面做无滑动地滚动。研究圆柱体沿固定水