《分析力学(全2册)》-1

1.1约束

1.1.1约束的定义研究质点系相对某个惯性坐标系的运动。在系统点的位置和速度上事先加上一些几何的或运动学特性的限制，将这些限制称为约束。受到约束的系统称为非自由系统;反之，不受约束的系统称为自由系统。在同样主动力作用下，与自由系统相比较，加于非自由系统的点上的约束在某种程度上限制了系统的可能运动。由约束所加的限制，对于各种工程技术领域来说，具有指导作用和特殊用途。

1.1.2约束方程一般的约束条件都可用约束方程或约束不等式来表达。这就需要根据已给条件，利用几何学和运动学知识来写出具体的数学表达式。下一页返回1.1约束1.1.3约束的分类当应用基本原理推导系统运动微分方程时，约束本身的性质有极大影响，不仅系统运动形式，而且为研究运动所选取的方法都依赖于约束的性质。因此，必须研究各种类型的约束。可以按照各种特征将约束分类，例如，完整与非完整、定常与非定常、单面与双面、理想与非理想，等等。上一页返回1.2完整约束与非完整约束1.2.1几何约束研究由N个质点组成的力学系统，如果所受约束是用相对于点的直角坐标(xi,yi,zi)(i=1,2,...，N)及时间t的解析方程或有限方程(非微分方程)来表示，则这种约束称为几何约束。1.2.2微分约束如果约束方程中不仅包含坐标和时间，还包含速度，则这种约束称为微分约束，或运动学约束。当系统受微分约束时，系统在任意时刻可在空间占据任意位置，但在此位置上系统点的速度不是任意的。微分约束是加在速度上的限制。微分约束的一般形式为下一页返回1.2完整约束与非完整约束这里FB对xi,yi,zi可以是线性的，或非线性的。线性微分约束可表示为

微分约束可分为可积分的微分约束和不可积分的微分约束。例如，微分约束

是可积分的微分约束，它可积分为有限形式

其中C为积分常数。又如，约束(1.1.7)是微分约束，并且是不可积分的微分约束。下一页返回上一页1.2完整约束与非完整约束

1.2.3微分约束的可积性定理一个微分约束是否可积分为有限形式，这是个重要问题。称其为Pfaff约束。Pfaff约束(1.2.6)可分为三种情形:①恰当微分形式，此时可积分为有限形式;②非恰当微分的可积情形，此时也可积分为有限形式;③不可积的情形。为叙述方便，不再区分位形变量和时间变量，将式(1.2.6)表示为上一页下一页返回1.2完整约束与非完整约束下面分四种情形来讨论Pfaff形式(1.2.7)的可积性问题1.第一种情形式(1.2.7)是只有两个变量的情形，即有形式

A(x，y)dx+B(x，y)dx=0(1.2.8)定理1Pfaff约束(1.2.8)一定是可积的。2.第二种情形式(1.2.7)有三个变量的情形，即有形式

A(x，y，z)d.x+B(x，y，z)dy+C(x，y，z)dz=0(1.2.9)返回1.2完整约束与非完整约束1.2.4完整约束几何约束和可积分的微分约束，称为完整约束。可积的微分约束，也称为半完整约束。约束(1.1.1)-(1.1.5),(1.2.3)都是完整约束。可以证明微分约束

yz(y+z)x+zx(z+x)y+xy(z+y)z=0(1.2.14)是完整约束。返回1.2完整约束与非完整约束1.2.5非完整约束不可积分的微分约束，称为非完整约束。约束(1.1.6)(1.1.7),(1.1.8)都是非完整约束。冰刀不允许横滑的条件为xsinB-ycosB=0(1.2.15)其中(x,y)为冰刀与平面接触点的坐标;B为冰刀方向与平面上固定方向轴的夹角。上一页返回1.3定常约束与非定常约束1.3.1定常约束如果时间t不明显出现于约束方程中，则称其为定常约束，或稳定约束。例如，约束是定常约束，它表明点处在半轴长为a,b,c的固定椭球面上。约束(1.1.1)-(1.1.7)都是定常约束。约束(1.1.1)-(1.1.5)都是定常完整约束。约束(1.1.6),(1.1.7)都是定常非完整约束。定常完整约束表示点处在不随时间变形且不随时间移动的固定曲面上。

1.3.2非定常约束如果时间t明显出现于约束方程中，则称其为非定常约束，或不稳定约束。返回1.3定常约束与非定常约束是非定常完整约束，它表明点在运动过程中保持在椭球面上，但此椭球面的一个半轴不断改变自己的量值，亦即点处在变形的椭球面上。又如，约束

也是非定常的完整约束，它表明球心以等于5单位的速度沿二轴移动，而球本身带走处于球面上的点。非定常的完整约束表示点保持在随时间变形的曲面上，或者保持在随时间移动的曲面上。具有定常约束的系统与具有非定常约束的系统，在运动性质上和研究方法上都有着本质的差异。研究非定常约束系统比研究定常约束系统要复杂得多。1.4生单面约束与双面约束

1.4.1双面约束用等式表示的约束，称为双面约束，或双侧约束，或不可解约束。约束(1.1.1)-(L1.3),(1.1.6)-(1.1.8)都是双面约束，其中约束(1.1.1)-(1.1.3),(1.1.6)是双面完整定常约束，而约束(1.1.6),(1.1.9)是双面非完整定常约束，约束(1.1.8)是双面非完整非定常约束。双面约束表示点在两个方面都受到限制。

1.4.2单面约束用不等式表示的约束，称为单面约束，或单侧约束，或可解约束。约束(1.1.4)是单面完整定常约束。例如，约束返回1.4生单面约束与双面约束表示点在半径为R的球面上，也可以跑到球面内，但不能跑到球面的外面，它在一个方面受到限制。一个半径为a的圆球在水平面上运动，限制球与平面接触点仅允许在Ox轴正向又滚又滑，约束方程表示为x-awy>0(1.4.3)其中分为球心速度在固定轴Ox上的投影;wy为球的角速度在固定轴Oy上的投影，用Euler角及其时间导数表示为