冀教版数学九年级下册完整版全册教案教学设计及教学反思

冀教版数学九年级下册完整版全册教案教学设计及教学反思第二十九章直线与圆的位置关系29.1点与圆的位置关系学习目标1.能从点和圆的位置关系，判断点和圆心的距离与半径的大小关系.2.学会用已知点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点与圆的位置关系.3.认识三角形的外接圆，三角形的外心的概念，会画三角形的外接圆.教学过程一、情境导入同学们看过奥运会的射击比赛吗?射击的靶子是由许多圆组成的，射击的成绩是由击中靶子不同位置所决定的；如图是一位运动员射击6发子弹在靶上留下的痕迹.你知道这个运动员的成绩吗?请同学们算一算.(击中最里面的圆的成绩为10环，依次为9、8、…、1环)二、合作探究探究点一：点和圆的位置关系【类型一】判断点和圆的位置关系例1如图，已知矩形ABCD的边AB=3cm,AD=4cm.(1)以点A为圆心，4cm为半径作◎A,则点B,C,D与◎A的位置关系如何?(2)若以点A为圆心作◎A,使B,C,D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则◎A的半径r的取值范围是什么?(2)由题意得，点B一定在圆内，点C一定在圆外.∴3cm<r<5cm.【类型二】点和圆的位置关系的应用例2如图，点0处有一灯塔，警示◎0内部为危险区，一渔船误入危险区点P处，该渔船应该按什么方向航行才能尽快离开危险区?试说明理由.解：渔船应沿着灯塔0过点P的射线OP方向航行才能尽快离开危险区.理由如下：设射线OP交◎0与点A,过点P任意作一条弦CD,连接OD,在△ODP中，OD—OP<PD,又∵OD=0A,∴OA—OP<PD,∴PA<PD,即渔船沿射线OP方向航行才能尽快离开危险区.探究点二：确定圆的条件【类型一】经过不在同一直线上的三个点作一个圆例3已知：不在同一直线上的三个已知点A,B,C(如图),求作：⊙0,使它经过点A,B,C.G分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出边AB、BC的垂直平分线相交于点0,以0为圆心，以OA为半径，作出圆即可.(2)分别作出线段AB、BC的垂直平分线DE、GF,两垂直平分线相交于点0,则点0就是所求作的⊙0的圆心；(3)以点0为圆心，OC长为半径作圆.则⊙0就是所求作的圆.方法总结：线段垂直平分线的作法，需熟练掌握.探究点三：三角形的外接圆【类型一】与圆的内接三角形有关的角的计算方法总结：在圆中求圆周角的度数，可以根据圆周角定理找相等的角实现互换，也可以寻找同弧所对的圆周角与圆心角的关系.【类型二】与圆的内接三角形有关线段的计算例5如图，在△ABC中，0是它的外心，BC=24cm,0到BC的距离是5cm,求△ABC的外接圆的半径.由此可求它的外接圆的半径.板书设计教学反思边垂直平分线的交点.在圆中充分利用这一点可解决相关的计算问题.29.2直线与圆的位置关系学习目标1.了解直线和圆的不同位置关系.2.了解直线与圆的不同位置关系时的有关概念.3.能运用直线与圆的位置关系解决实际问题.一、情境导入出现几种位置关系呢?如图二者是什么关系呢?【类型一】根据点到直线的距离判断直线与圆的位置关系例1已知⊙0的半径为5,点P在直线1上，且OP=5,直线1与◎0的位置关系是()A.相解析：我们考虑圆心到直线1的距离，如果距离大于半径，则直线1与◎0的位置关系是相离；若距离等于半径，则直线1与⊙0相切；若距离小于半径，则直线1与⊙0相交.分两种情况讨论：(1)OP⊥直线1,则圆心到直线1的距离为5,此时直线1与◎0相切.(2)若OP与直线1不垂直，则圆心到直线的距离小于5,此时直线1与◎0相交.所以本题选方法总结：判断直线与圆的位置关系，主要看该圆心到直线的距离，所以要判断直线与圆的位置关系，我们先确定圆心到直线的距离.则边AC所在的直线与⊙B的位置关系是_解析：根据圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断.本题根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，AC,BC是直角边，则圆心B到直线AC的距离是6cm,等于◎B的半径，所以AC所在的直线与⊙B相切.方法总结：根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状同时求出圆心到直线的距离是解题的关键.【类型二】坐标系内直线与圆的位置关系的应用例3如图，在平面直角坐标系.中，◎A与y轴相切于原点0,平行于x轴的直线交◎A于M、N两点.若点M的坐标是(—4,-2),则点N的坐标为()C.(-1.5,—2)D.(1.5,—2)解析：过点A作AQ⊥MN于Q,连接AN,设半径为r,由垂径定理有MQ=NQ,所以AQ=2,AN=r,NQ=4—r,利用勾股定理可以求出NQ=1.5,所以N点坐标为(-1,—2).故选方法总结：在圆中如果有弦要求线段的长度，通常要将经过圆心的半径画出，利用垂径定理和勾股定理解决问题.【类型三】由直线和圆的位置关系确定圆心到直线的距离例4已知圆的半径等于5,直线1与圆没有交点，则圆心到直线1的距离d的取值范围解析：因为直线1与圆没有交点，所以直线1与圆相离，所以圆心到直线的距离大于圆【类型四】由直线和圆的位置关系确定圆的半径例5直线1与半径为r的⊙0相交，且点0到直线1的距离为8,则r的取值范围是 解析：因为直线1与半径为r的◎0相交，所以dr,即8<r,所以填r>8.圆与坐标系位置关系语言来描述归纳，经历将实际问题转化为数学问题的过程.1.掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明(重点);点);3.能运用直线与圆的位置关系解决实际问题.约在6000年前，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆形的木盘，你能设计二、合作探究【类型一】切线的性质的运用例1如图，点0是∠BAC的边AC上的一点，⊙0与边AB相切于点D,与线段A0相交于点E,若点P是⊙0上一点，且∠EPD=35°,则∠BAC的度数为()解析：连接OD,∵⊙0与边AB相切于点D,∴OD⊥AD,∴∠ADO=90°.∵∠EPD=35°,∴∠EOD=2∠EPD=70°,∴∠BAC=90°-∠EOD=20°.方法总结：此题考查了切线的性质以及圆周角定理.解题时要注意运用切线的性质，注意掌握辅助线的作法，灵活运用数形结合思想.【类型二】利用切线的性质进行证明和计算例2如图，PA为⊙0的切线，A为切点.直线PO与◎0交于B、C两点，∠P=30°,连(2)若AP=√3,求⊙0的半径.(1)证明：∵PA为⊙0的切线，A为切点，∴∠OAP=90°.又∵∠P=30°,∴∠AOB=(2)解：在Rt△AOP中，∠P=30°,AP=√3,∴AO=1,即⊙0的半径为1.方法总结：运用切线进行证明和计算时，一般连接切点与圆心，根据切线的性质转化已知条件，构造出等量关系求解.【类型三】探究圆的切线的条件例3如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB=AC=10,BC=12,P是BC上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D.(1)当点P在什么位置时，DP是◎0的切线?请说明理由；(2)当DP为⊙0的切线时，求线段BP的长.解析：(1)当点P是BC的中点时，得PBA=PCA,得出PA是⊙0的直径，再利用DP//BC,得出DP⊥PA,问题得证；(2)利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出AB的长，在Rt△ABP中再次利用勾股定理即可求出BP的长.解：(1)当点P是BC的中点时，DP是⊙0的切线.理由如下：∵AB=AC,∴AB=AC,又∵PB=PC,∴PBA=PCA,∴PA是⊙0的直径.∵PB=PC,∴∠1=∠2,又∵AB=AC,∴PA⊥BC.又∵DP//BC,∴DP⊥PA,∴DP是⊙0的切线.(2)连接OB,设PA交BC于点E.由垂径定理，得在Rt△ABE中，由勾股定 理，得AE=√AB-BE=8.设⊙0的半径为r,则OE=8-r,在Rt△OBE中，由勾股定理，方法总结：判定直线是否为圆的切线时要从切线的性质入手，结合垂径定理与勾股定理，合理转化已知条件，得出结论.探究点二：切线的判定【类型一】判定圆的切线例4如图，点D在◎0的直径AB的延长线上，点C在◎0上，AC=CD,∠D=30°,求证：CD是⊙0的切线.证明：连接OC,∵AC=CD,∠D=30°,∴∠A=∠D=30°.∵OA=0C,∴∠2=∠A=30°,∴∠1=60°,∴∠OCD=90°,∴OCLCD,∴CD是⊙0的切线.方法总结：切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径长的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【类型二】切线的性质与判定的综合应用例5如图，AB是⊙0的直径，点F、C是⊙0上的两点，且AF=FC=CB,连接AC、AF,过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D,垂足为D.(1)求证：CD是⊙0的切线；(2)若,求⊙0的半径.分析：(1)连接OC,由弧相等得到相等的圆周角，根据等角的余角相等推得∠ACD=∠B,再根据等量代换得到∠ACO+∠ACD=90°,从而证明CD是⊙0的切线；(2)由AF=FC=CB推得∠DAC=∠BAC=30°,再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求得AB的长，进而求得⊙0的半径.(1)证明：连接OC,BC.∵FC=CB,∴∠DAC=∠BAC.∵CD⊥AF,∴∠ADC=90°.∵AB∴CD是⊙0的切线；Rt△ABC中，∠BAC=30°,AC=4√3,∴BC=4,AB=8,∴◎0的半径为4.方法总结：若证明切线时有交点，需“连半径，证垂直”然后利用切线的性质构造直角三角形，在解直角三角形时常运用勾股定理求边长.板书设计1.切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径.2.切线的判定经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.教学反思教学过程中，经历切线性质的探究，从中可得出判定切线的条件，整个学习过程是一个逐层深入的过程.因此教师应当对学生在探究过程中遇到的问题及时进行解决，使学生能更全面的掌握知识.29.4切线长定理学习目标1.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明.2.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念.3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.教学过程一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案.二、合作探究探究点一：切线长定理【类型一】利用切线长定理求三角形的周长切点C在AB上.若PA长为2,则△PEF的周长是_·解析：因为PA、PB分别与◎0相切于点A、B,所EC+CF+PF=(PE+EC)+(CF+PF)=PA+PB=2+2=4.【类型二】利用切线长定理求角的大小以PA=PB,因为⊙0的切线EF分别交所以△PEF的周长PE+EF+PF=PE+例2如图，PA、PB是◎0的切线，切点分别为A、B,点C在⊙0上，如果∠ACB=70°,那么∠OPA的度数是度.20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形.另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.【类型三】切线长定理的实际应用例3为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径.若测得PA=5cm,则铁环的半径长是多少?说一说你是如何判断的.解：过0作0Q⊥AB于Q,设铁环的圆心为0,连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙0的切线，探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径例4如图，⊙0是边长为2的等边△ABC的内切圆，则◎0的半径为_.解析：如图，连接OD.由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点.所以据勾股定理得OD²+CD²=0C,所以OD+1²=(方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等.【类型二】求三角形的周长例5如图，Rt△ABC的内切圆⊙0与两直角边AB,BC分别相切于点D、E,过劣弧DE(不包括端点D、E上任一点P作◎0的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若0的半径为r,则Rt△MBN的周长为()解析：连接OD,OE,∵⊙0是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB,OE⊥BC.又∵MD,MP都是⊙0的切线，且D、P是切点，∴MD=MP,同理可得NP=NE,∴t△MV=MB+BN+MM=MB+BN+NP+PM=MB+MD+BN+NE=BD+BE=2r,故选C.板书设计切线长定理利用切线长定理求三角形的周长利用切线长定理求角的大小三角形的内切圆切线长定理的实际应用题教学反思教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题.明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.29.5正多边形与圆学习目标1.了解正多边形与圆的有关概念；2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会运用正多边形和圆的有关知识画正多边形.(重点)教学过程一、情境导入生日宴会上，佳乐等6位同学一起过生日，他想把如图所示蛋糕平均分成6份，你能帮他做到吗?二、合作探究探究点一：圆的内接正多边形的相关计算例1如图，有一个圆0和两个正六边形Ti,T₂.Ti的6个顶点都在圆周上，T₂的6条边都和圆0相切.(1)设T,T₂的边长分别为a,b,圆0的半径为r,求r:a及r:b的值；(2)求正六边形Ti,T₂的面积比S:S₂的值.解：(1)连接圆心0和Ti的6个顶点可得6个全等的正三角形.所以r:a=1:1.连接圆心0和T相邻的两个顶点，得以圆0的半径为高的正三角形，所以r:b=√3:2;(2)正六边形T与T的边长比是√3:2,所以S:S₂=3:4.方法总结：解答此题的关键是根据题意画出图形，再由三角函数的定义及特殊角的三角函数值求解.探究点二：与正多边形相关的计算【类型一】求正多边形的中心角例2已知一个正多边形的每个内角均为108°,则它的中心角为度.解析：每个内角为108°,则每个外角为72°.根据多边形的外角和等于360°,∴正多边形的边数为5,则其中心角为360°÷5=72°.故填72.方法总结：本题考查了正多边形的内角与外角，对于正多边形，利用多边形的外角和除以每一个外角的度数求边数更简便.【类型二】求正多边形的边长和面积例3已知正六边形ABCDEF的外接圆半径是R,求正六边形的边长a和面积S.由勾股定理可得方法总结：本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径.板书设计正多边形与圆求正多边形的中心角求正多边形的边长和面积圆内接正多边形的相关计算教学反思教学过程中，强调正多边形与圆的联系，将正多边形放在圆中便于解决、探究更多关于正多边形的问题.第三十章二次函数30.1二次函数学习目标1.理解、掌握二次函数的概念和一般形式；(重点)2.会利用二次函数的概念解决问题；(重点)3.列二次函数表达式解决实际问题.(难点)教学过程一、情境导入已知长方形窗户的周长为6m,窗户面积为ym²,窗户宽为xm,你能写出y与x之间的函数关系式吗?它是什么函数呢?二、合作探究探究点一：二次函数的概念【类型一】二次函数的识别例1下列函数中是二次函数的有()①;②y=3(x-1)²+2;③y=(x+3)²-2x;解析：,④的右边不是整式，故①④不是二次函数；②y=3(x-1)²+2,符合二次函数的定义；③y=(x+3)²—2x²=-x+6x+9,符合二次函数的定义.故选方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式最高次数为2,且函数关系式中二次项系数不等于0.【类型二】利用二次函数的概念求字母的值例2当k为何值时，函数y=(k-1)xk²+k+1为二次函数?分析：根据二次函数的概念，可得k²+k=2且同时满足k-1≠0即可解答.解：∵函数y=(k-1)xk²+k+1为二次函数，∴【类型三】二次函数相关量的计算解析：∵二次函数y=—x²+bx+3,当x=2时，y=3,∴3∴这个二次函数的表达式是y=-x²+2x+3.将x=1代入得y=4.故答案为4.方法总结：解题的关键是先确定解析式，再代入求值.【类型四】二次函数与一次函数的关系例4已知函数y=(m²—m)x²+(m—1)x+m+1.(1)若这个函数是一次函数，求m的值；(2)若这个函数是二次函数，则m的值应怎样?分析：根据二次函数与一次函数的定义解答.解：(1)根据一次函数的定义，得m²—m=0,解得m=0或m=1.又∵m—1≠0,即m≠1,12(舍去).(2)根据二次函数的定义，得m²—m≠0,解得m≠0或m≠1,∴当m≠0或m≠1时，这个函数是二次函数.方法总结：熟记二次函数与一次函数的定义，另外要注意二次函数的二次项的系数不等于零.【类型一】从几何图形中抽象出二次函数解析式例5如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD,设AB边长为x米，则菜园的面积y(单位：米2)与x(单位：米)的函数关系式为多少?分析：根据已知由AB边长为x米可以推出可求出函数关系式.则菜园的面积y与x的函数关系式为方法总结：函数与几何知识的综合问题，关键是掌握数与形的知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式.【类型二】从生活实际中抽象出二次函数解析式例6某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元.每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10),求出y关于x的函数关系式；(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次.分析：(1)每件的利润为6+2(x-1),生产件数为95-5(x-1),则y=[6+2(x-1)][95-5(x-1)];(2)由题意可令y=1120,求出x的实际值即可.解：(1)∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，∴第x档次，提高的档次是(x-1)档，利润增加了2(x一1)元.∴y=[6+2(x-1)][95-5(x-1)],即y=-10x+180x+400(其中x是正整数，且(2)由题意可得—10x²+180x+400=1120,整理得x²-18x+72=0,解得x₁=6,x₂=所以，该产品的质量档次为第6档.方法总结：解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型.板书设计2.从实际问题中抽象出二次函数解析式教学反思量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型.许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究.本节课是学习二次函数的第一节课，通过实例引入二次函数的概念，并学习求一些简单的实际问题中二次函数的解析式.在教学中要重视二次函数概念的形成和建构，在概念的研究变量之间变化规律的意义.30.2二次函数的图像和性质30.2.1二次函数y=ax²的图像和性质学习目标1.会用描点法画出y=ax的图像，理解抛物线的概念.2.掌握形如y=ax的二次函数图像和性质，并会应用.一、情境导入自由落体公式(g为常量),h与t之间是什么关系呢?它是什么函数?它的图像二、合作探究【类型一】图像的识别例1已知a≠0,在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax的图像有可能是()BCABC解析：本题进行分类讨论：(1)当a>0时，函数y=axD图像经过一、三象限，故排除选项B;(2)当a<0时，函数y=ax的图像开口向下，函数y=ax图像经过二、四象限，故排除选项D;又因为在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax²的图像必有除原点(0,0)以外的交点，故选择C.例2已知h关于t的函数关系式为正常数，t为时间),则函数图像为()解析：根据h关于t的函数关系式为其中g为正常数，t为时间，因此函数h图像是受一定实际范围限制的，图像应该在第一象限，是抛物线的一部分，故方法总结：在识别二次函数图像时，应该注意考虑函数的实际意义.探究点二：二次函数y=ax²的性质【类型一】利用图像判断二次函数的增减性例3作出函数y=-x的图像，观察图像，并利用图像回答下列问题：(1)在y轴左侧图像上任取两点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),使x₂<x₁<0,试比较y₁与y₂的大(2)在y轴右侧图像上任取两点C(x₃,y₃),D(x4,y4),使x₃>x₄>0,试比较y₃与y4的分析：根据画出的函数图像来确定有关数值的大小，是一种比较常用的方法.随x的增大而增大，在y轴右侧，y随x的增大而减小.线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误.【类型二】二次函数的图像与性质的综合题例4已知函数y=(m+3)xm²+3m—2是关于x的二次函数.(2)当m为何值时，该函数图像的开口向下?(3)当m为何值时，该函数有最小值?(4)试说明函数的增减性.分析：(1)由二次函数的定义可得故可求m的值.(2)图像的开口向下，则m+3<0;解：(1)根据题意，解得∴当m=-4或m=1时，原函数为二次函数.开口向下.(3)∵函数有最小值，∴m+3>0,m>-3,∴m=1,∴当m=1(4)当m=-4时，此函数为y=—x²,开口向下，对称轴为y轴，当x<0时，y随x的当m=1时，此函数为y=4x²,开口向上，对称轴为y轴，当x<0时，y随x的增大而方法总结：二次函数的最值是顶点的纵坐标，当a>0时，开口向上，顶点最低，纵坐标为最小值；当a<0时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值.考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察.【类型一】利用图像确定y=ax的解析式例5一个二次函数y=ax²(a≠0)的图像经过点A(2,-2)关于坐标轴的对称点B,求其关系式.分析：坐标轴包含x轴和y轴，故点A(2,—2)关于坐标轴的对称点不是一个点，而是两个点.点A(2,—2)关于x轴的对称点B(2,2),点A(2,—2)关于y轴的对称点B(-2,—2).解：∵点B与点A(2,-2)关于坐标轴对称，∴B(2,2),B(-2,-2).当y=ax的图像经过点B(2,2)时，2=a×2²,∴当y=ax的图像经过点B(-2,-2)时，-2=a×(-2)²,∴.∴二次函数的关系式为或从而求得多个答案.【类型二】二次函数y=ax的图像与几何图形的综合应用例6已知二次函数y=ax²(a≠0)与直线y=2x-3相交于点A(1,b),求：(2)函数y=ax的图像的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标.分析：直线与函数y=ax的图像交点坐标可利用方程求解.解：(1)∵点A(1,b)是直线与函数y=ax²图像的交点，∴点A的坐标满足二次函数和直线的关系式，(2)由(1)知二次函数为y=—x²,顶点M(即坐标原点)的坐标为(0,0),由一x=2x-3,解得x₁=1,x₂=-3,∴y₁=-1,y₂=-9,∴直线与抛物线的另一个交点B的坐标为(-3,-9).【类型三】二次函数y=ax的实际应用例7如图所示，有一抛物线形状的桥洞.桥洞离水面最大距离OM为3m,跨度AB=6m.(2)一艘小船上平放着一些长3m,宽2m且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此分析：可令0为坐标原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则可设此系式为y=ax².由题意可得B点的坐标为(3,—3),由此可求出抛物线的函数关系式，然后利用此抛物线的函数关系式去探究其他问题.解：(1)以0点为坐标原点，平行于线段AB的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的函数关系式为y=ax².由题意可得B点坐标为(3,-3),∴-3=a×3²,实际问题的思想.二次函数y=ax²的图像和性质实际应用教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y=ax的图像与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法.30.2.2二次函数y=a(x-h)²和y=a(x-h)²+k的图像和性质学习目标1.会用描点法画出y=a(x-h)²和y=a(x-h)²+k的图像.2.掌握形如y=a(x-h)²和y=a(x-h)²+k二次函数图像的性质，并会应用.3.理解二次函数y=a(x-h)²及y=a(x-h)²+k与y=ax²之间的联系.排水孔道(过水通道),通过这种结构可以让水从公路的下面流过.从如图所示的直角坐标系中，你能得到函数图像解析式吗?二、合作探究【类型一】y=a(x-h)²的图像与性质的识别例1已知抛物线y=a(x-h)²(a≠0)的顶点坐标是(-2,0),且图像经过点(-4,2),解：∵抛物线y=a(x—h)²(a≠0)的顶点坐标为(-2,0),∴h=-2.又∵抛物线y=a(x+2)²经过点(-4,2),∴(-4+2)²·a=2,∴方法总结：抛物线y=a(x—h)²的顶点坐标为(h,0),对称轴是直线x=h.【类型二】二次函数y=a(x-h)²增减性的判断例2对于二次函数y=9(x-1)²,下列结论正确的是()解析：由于a=9>0,抛物线开口向上，而h=1,所以当x>1时，y随x的增大而增大.故选D.例3能否向左或向右平移函数的图像，使得到的新的图像过点(一9,-8)?若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由.—h)²,所以h=-5或h=-13,所以平移后的函数为或.即抛物线的顶点为(-5,0)或(-13,0),所以向左平移5或13个单位.若向左平移h个单位，括号内应“加上h”,即“左加右减”.【类型四】y=a(x-h)²的图像与几何图形的综合例4把函数的图像向右平移4个单位长度后，其顶点为C,并与直线y=x分别相交于A、B两点(点A在点B的左边),求△ABC的面积.的二次函数解析式与y=x组成的方程组，确定A、B两点的坐标，最后求△ABC的面积.顶点C的坐标为(4,0),解方程∵点A在点B的左边，∴方法总结：两个函数交点的横纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的.探究点二：二次函数y=a(x-h)²+k的图像和性质【类型一】利用平移确定y=a(x-h)²+k的解析式例5将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是()解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线向下平移1个单位所得抛物线的解析式为：由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为故选A.【类型二】y=a(x-h)²+k的图像与几何图形的综合例6如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B,对称轴为直线x=-2,点C在抛物线上，且位于点A、B之间(C不与A、B重合).若△ABC的周长为a,则四边形AOBC的周长为.(用含a的式子表示)解析：如图，∵对称轴为直线x=-2,抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B,∴OB=4,∵由抛物线的对称性知AB=A0,∴四边形AOBC的周长为A0+AC+BC+OB=△ABC的方法总结：二次函数的图像关于对称轴对称，本题利用抛物线的这一性质，将四边形的周长转化到已知的线段上去，在这里注意转化思想的应用.板书设计二次函数的图像和性质教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y=a(x—h)²与y=a(x-h)²+k图像与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.30.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质学习目标1.会画二次函数y=ax²+bx+c的图像.2.熟记二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标与对称轴公式.3.用配方法求二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标与对称轴.教学过程+10表示.那么经过多长时间，火箭达到它的最高点?二、合作探究【类型一】二次函数图像的位置与系数符号互判例1如图，二次函数y=ax²+bx+c的图像开口向上，图像经过点(-1,2)和(1,0)且与y轴交于负半轴. ;(2)给出四个结论：①abc<0;②2a+b>0;③a+c=1;④a>1.其中正确的结论的序解析：由抛物线开口向上，得a>0;由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c<0;由抛物线的顶点在第四象限，得又a>0,所以b<0;由抛物线与x轴交点的横坐标是1,得a+b+c=0.因此，第(1)问中正确的结论是①④.在第(1)问的基础上，由a>0、b<0、c<0,可得abc>0;由1、a>0,可得2a+b>0;由点(-1,2)在抛物线上，可知a—b+c=2,又a+b+c=0,两式相加得2a+2c=2,所以a+c=1;由a+得a>1.因此，第(2)问中正确的结论是②③④.方法总结：观察抛物线的位置确定符号的方法：①根据抛物线的开口方向可以确定a的符号.开口向上，a>0;开口向下，a<0.②根据顶点所在象限可以确定b的符号.顶点b同号.再由①中a的符号，即可确定b的符号.【类型二】二次函数y=ax²+bx+c的性质a的取值范围是()解析：抛物线的对称轴为直线∵函数图像开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴a≤1.∵-1<x<a,∴a>-1,∴-1<a≤1,故选择B.方法总结：抛物线的增减性：当a>0,开口向上时，对称轴左降右升；当a<0,开口向下时，对称轴左升右降.例3已知抛物线y=ax²+bx和直线y=ax+b确的是()ACBD=ax²+bx的开口向上，对称轴∴选项A错，选项D正确；B图和C图中直线∴选项B,C错.故选D.方法总结：多种函数图像的识别，一般可以先确定其中一种函数的图像(如一次函数),轴或图像经过的特殊点对选项进行逐一考察，得出结论.【类型四】抛物线y=ax²+bx+c的平移例4在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x²+4x-3的图像向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到图像的顶点坐标是()解析：二次函数y=2x²+4x-3配方得y=2(x²+2x)-3=2(x²+2x+1-1)-3=2(x+1)²-5,将抛物线y=2(x+1)²-5向右平移2个单位长度所得抛物线的解析式为y=2(x+1-2)²-5=2(x-1)²—5,再将抛物线y=2(x-1)²-5向下平移1个单位长度所得抛物线的解析式为y=2(x-1)²-5-1=2(x-1)²-6,此时二次函数图像的顶点为(1,—6),故选C.方法总结：二次函数的平移规律：将抛物线y=ax²(a≠0)向上平移k(k>0)个单位所得的函数关系式为y=ax²+k,向下平移k(k>0)个单位所得的函数关系式为y=ax²—k;向左平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y=a(x+h)²;向右平移h(h>0)个单位所得函数关系式例5如图，已知二次函数的图像经过A(2,0)、B(0,—6)两点.(2)设该二次函数图像的对称轴与x轴交于点C,连接BA、BC,求△ABC的面积.(2)∵该抛物线的对称轴为直线∴点C的坐标为(4,0).∴AC=板书设计教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y=ax²+bx+c图像与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.学习目标1.通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法.2.会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用.某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的【类型一】用一般式确定二次函数解析式例1已知二次函数的图象经过点(-1,-5),(0,—4)和(1,1),求这个二次函数的解析式.分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax²+bx+解解：设这个二次函数的解析式为y=ax²+bx解∴这个二次函数的解析式为y=2x²+3x-4.方法总结：当题目给出函数图象上的三个点时，设一般式为y=ax²+bx+c,转化成一个三元一次方程组，以求得a,b,c的值.【类型二】用顶点式确定二次函数解析式例2已知二次函数的图象顶点是(-2,3),且过点(一1,5),求这个二次函数的解析式.解：设二次函数解析式为y=a(x-h)²+k,图象顶点是(-2,3),∴依题意得：5=a(-1+2)²+3,解得a=2,∴y=2(x+2)²+3=2x²+8x+11.方法总结：若已知抛物线的顶点、对称轴或极值，则设顶点式为y=a(x—h)²+k.顶点坐标为(h,k),对称轴方程为x=h【类型三】根据平移确定二次函数解析式例3将抛物线y=2x²-4x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，求平移后的函数解析式.分析：要求抛物线平移的函数解析式，需要将函数y=2x²-4x据顶点坐标的变换求抛物线平移后的解析式.解：y=2x-4x+1=2(x²-2x+1)-1=2(x-1)²-1,该抛物线的顶点坐标是(1,—1),将其向左平移3个单位长度，向下平移2个单位长度后，抛物线的形状，开口方向不变，这时顶点坐标为(1-3,-1-2),即(-2,—3),所以平移后抛物线的解析式为y=2(x+2)²个单位长度后的解析式为y=a(x—h+m)²+k+n;向右平移n(n>0)个单位长度后的解析式为y=a(x—h—m)²+k-n.【类型四】根据轴对称确定二次函数解析式例4已知二次函数y=2x²-12x+5,求该函数图象关于x轴对称的图象的解析式.与原图象的纵坐标互为相反数.解：y=2x²-12x+5=2(x-3)²—13,顶点坐标为(3,—13),其图象关于x轴对称的顶点坐标为(3,13),所以对称后的图象的解析式为y=-2(x-3)²+13.方法总结：y=a(x-h)²+k的图象关于x轴对称得到的图象的解析式为y=-a(x—h)²—k.【类型五】用待定系数法求二次函数解析式的实际应用例5科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的温度t/℃014科学家经过猜想，推测出1与t之间是二次函数关系.由此解析：设1与t之间的函数关系式为1=at²+bt+c,把(-2,49)、(0,49)、(1,46)∴当t=-1时，1的最大值为50.即当温度为-1℃时，最适合这种植物生长.故答案为一方法总结：求函数解析式一般采用待定系数法.用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件(一般来讲，最直接的条件是点的坐标),最后代入求解.依据平移教学反思其形式，然后求解，这样可以简化计算.30.4二次函数的应用学习目标2.利用二次函数解决拱桥、涵洞关问题.3.能运用二次函数的图象与性质进行决策.教学过程一、情境导入某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示),大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少?例1如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米.水面.下降1米时，水面的宽度为_米.解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y=ax²,把点(2,—2)代入，得-2=a方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题.例2如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米.现以0点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.分析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确0)和抛物线顶点P(6,6);已知顶点坐标，可设二次函数关系式为y=a(x—6)²+6,可利用总长AD+DC+CB二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题.解：(1)根据题意，分别求出M(12,0),最大高度为6米，点P的纵坐标为6,底部宽度为12米，所以点P的横坐标为6,即P(6,6).(2)设此函数关系式为y=a(x-6)²+6.因为函数y=a(x-6)²+6经过点(0,3),所以3=a(0-6)²+6,即所以此函数关系式为因为此二次函数的图象开口向下.所以当m=0时，AD+DC+CB有最大值为18.板书设计建立二次函数模型：(1)拱桥问题；(2)涵洞问题.教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.30.4.2实际问题中二次函数的最值问题学习目标1.经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系.2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.3.能应用二次函数的性质解决图形最大面积、利润最大问题.教学过程一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃.花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米.当x为何值时，S有最大值?并求出最大值.二、合作探究探究点一：最大面积问题【类型一】利用二次函数求最大面积例1小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化.(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x是多少时，矩形场地面积S最大?最大面积是多少?分析：利用矩形面积公式就可确定二次函数.(1)矩形一边长为x,则另一边长从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标.解：(1)根据题意，得·x=—x²+30x.自变量x的取值范围是0<x<30.(2)S=-x²+30x=—(x-15)²+225,∵a=-1<0,∴S有最大值，即当x=15(米)时，方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性.解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系.【类型二】最大面积方案设计例2施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米.现以0点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示).(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB,使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上.为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下.解：(1)M(12,0),P(6,6).(2)设这条抛物线的函数关系式为y=a(x-6)²+6,因为抛物线过0(0,0),所以a(0-6)²+6=0,解得，所以这条抛物线的函数关系式为：,即y=(3)设OB=m米，则点A的坐标为,所以根据抛物所以当m=3,即OB=3米时，三根木杆长度之和1的最大值为15米.探究点二：最大利润问题【类型一】利用解析式确定获利最大的条件例3为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展.某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件.生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大?请你为该工厂的生产提出建议.变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润=一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议.解：设该厂生产第x档的产品一天的总利润为y元，则有y=[10+2(x-1)][76-4(x生产该产品的档次越高，获得的利润就越大.建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品.(其他建议，只要合理即可)【类型二】利用图象解析式确定最大利润例4某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每y₂(元)与销售时间第x月满足函数关系式y₂=mx²-8mx+n,其变化趋势如图②所示.(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大?最大利润是多少?解：(1)由题意可得，函数y2的图象经过两点(3,6),(7,7),∴解(2)设y₁=kx+b,∵函数y1的图象过两点(4,11),(8,10),∴解得.设这种水果每千克所获得的利润为wx≤12),∴当x=3时，w取最大∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是元/千克.板书设计实际问题中二次函数的最值问题：(1)几何图形最大面积问题；(2)商品利润最大问题.教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况，培养学生将实际问题转化为函数问题并利用函数的性质进行决策的能力.30.4.3将二次函数问题转化为一元二次方程问题学习目标1.经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系.2.能将二次函数问题转化为一元二次方程问题解决运动轨迹及落点问题教学过程一、情境导入跳绳是同学们非常喜欢的一种体育活动，在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线.如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，设拿绳的手此时距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生丁的身高要解决这个问题，同学们分析一下，我们会利用哪些知识来解决?二、合作探究探究点：二次函数在体育活动中的应用【类型一】运动轨迹问题例1某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高长，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米.(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中?(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功?分析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x=1时函数y的值与最大摸高3.1米的大小.解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为),B(4,4),C(7,3),其中B是抛物线的顶点.设二次函数关系式为y=a(x-h)²+k,将点A、B的坐标代入，可得将点C的坐标代入解析式，得左边=右边，即点C在抛物线上，所以此球一定能投中.(2)将x=1代入解析式，得y=3.因为3.1>3,所以盖帽能获得成功.【类型二】落点问题例2如图，足球场上守门员在0处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上),运动员乙在距0点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M,距地面约4米高，球落地后又一次弹起.据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半.(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；(2)足球第一次落地点C距守门员多少米(取4√3=7)?(3)运动员乙要抢到第二个落点D,他应再向前跑多少米(取2√6=5)?分析：要求足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式，则需要根据已知条件确定点A和顶点M的坐标，因为OA=1,OB=6,BM=4,所以点A的坐标为(0,1),顶点M的坐标是(6,4).根据顶点式可求得抛物线关系式.因为点C在x轴上，所以要求OC的长，只要把点C的纵坐标y=0代入函数关系式，通过解方程求得OC的长.要计算运动员乙要抢到第二个落点D,他应再向前跑多少米，实际就是求DB的长.求解的方法有多种.解：(1)设第一次落地时，抛物线的表达式为y=(2)令y=0,所以(x-6)²=48,所以xi=4√3+6≈13,x₂=-4√3+6<0(舍去).所以足球第一次落地距守门员约13米；向下平移了2个单位).所以CD=|x₁-x₂|=4√6≈10.所以BD=13-6+10=17(米).题中的条件.常有两个步骤：(1)根据题意得出二次函数的关系式，将实际问题转化为纯数学问题；(2)应用有关函数的性质作答.将二次函数问题转化为一元二次方程问题：(1)运动轨迹问题；(2)落点问题.教学反思次函数模型，解决实际问题.30.5二次函数与一元二次方程的关系学习目标1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，会用二次函数图象求一元二2.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用.(难点)小唐画y=x²-6x+c的图象时，发现其顶点在x轴上，请你帮小唐确定字母c的值是多少?【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断例1下列函数的图象与x轴只有一个交点的是()A.y=x²+2x-3B.y=x²+2x+3C.y=x²-2x+3解析：选项A中b²—4ac=2²-4×1×(-3)=16>0,选项B中b²-4ac=2²-4×1×3=-8<0,选项C中b²-4ac=(-2)²-4×1×3=-8<0,×1=0,所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点.故选D.【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴例2如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点，则它的对称轴解析：∵点(1,0)与(3,0)是一对对称点，∴其对称中心是(2,0),∴对称轴的方程是x=2.方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程.【类型三】利用抛物线与x轴交点情况确定字母取值(范围)例3若函数的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为()A.0B.0或2C解析：若m≠0,根据二次函数与x轴只有一个交点，利用一元二次方程根的判别式为零来求解；若m=0,原函数是一次函数，图象与x轴有一个交点.当m≠0时，△=(m+2)²解得m=2或—2;当m=0时，原函数是一次函数，图象与x轴只有一个交点，所以当m=0,2或—2时，图象与x轴只有一个交点.故选D.方法总结：二次函数y=ax²+bx+c,当b²-4ac>0时，图象与x轴有两个交点，当b²—4ac=0时，图象与x轴有一个交点，当b²-4ac<0时，图象与x轴没有交点.探究点二：二次函数图象与x轴的交点坐标与一元二次方程根的关系例4已知二次函数y=-x²+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程一解析：因为抛物线经过点(3,0),所以x=3,y=0是该函数的一组对应值.将x=3,y=0代入函数表达式，得0=-3²+2×3+m,解得m=3.所以一元二次方程为—x+2x+3=0,解得x₁=-1,x₂=3.方法总结：本题先求出m的值，从而写出一元二次方程，然后解其解.也可以由图象得抛物线的对称轴为直线x=1,抛物线与x轴的一个交点为(3,0).根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点为(一1,0),则(3,0)和(-1,0)两点的横坐标就是所求方程的根，即x₁=-1,x₂=3.例5利用二次函数的图象求一元二次方程一x+2x-3=-8的实数根(精确到0.1).分析：对于y=—x²+2x-3,当函数值为-8时，对应点的横坐标即为一元二次方程一x²+2x-3=-8的实数根，故可通过作出函数图象来求方程的实数根.解：在平面直角坐标系内作出函数y=—x²+2x-3的图象，如图.由图象可知方程一横坐标在-1与—2之间，另一个交点的横坐标在3与4之间.(1)先求在—2和—1之间的根，利用计算器进行探索：Xy因此x≈-1.4是方程的一个实数根；Xyx≈3.4是方程的另一个实数根.方法总结：用二次函数的图象求一元二次方程满足精确度的实数根的方法：(1)作出函取值范围；(3)利用计算器求方程的实数根.板书设计二次函数次方程教学反思(1.与x轴交点的情况判断2.确定一元二次方程的解和解的情况、确定对称轴和字母系数的取值范围教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况.体会知识间的相互转化和相互联系.第三十一章随机事件的概率31.1确定事件和随机事件学习目标1.理解必然事件、不可能事件和随机事件的概念；2.能够识别必然事件、不可能事件和随机事件.(重点)教学过程一、情境导入在一些成语中也蕴含着事件类型，例如瓮中捉鳖、拔苗助长、守株待兔、水中捞月所描述的事件分别属于什么类型事件呢?二、合作探究探究点：必然事件、不可能事件、随机事件【类型一】必然事件例1下列事件是必然事件的是()B.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧C.圆的半径为3,圆外一点到圆心的距离是5,过这点引圆的切线，则切线长为4D.三角形的内角和是360°解析：由于互为相反数的两个数绝对值也相等，因此绝对值相等的两个数可能不相等，A选项错误；平分的弦若是直径，那么两条直径互相平分，很明显，它们不一定互相垂直，B选项错误；直接利用勾股定理计算可得，C选项正确；三角形内角和等于180°,D选项错误.故选C.【类型二】不可能事件例2下列事件中不可能发生的是()A.打开电视机，中央一台正在播放新闻B.我们班的同学将来会有人当选为劳动模范C.在空气中，光的传播速度比声音的传播速度快D.太阳从西边升起解析：“太阳从西边升起”这个事件一定不会发生，所以它是一个不可能事件.故选D.【类型三】随机事件例3下列事件：①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②测得某天的最高气温是100℃;③掷一次骰子，向上一面的数字是2;④度量四边形的内角和，结果是360°.其中是随机事件的是(填序号).解析：书的页码可能是奇数，也有可能是偶数，所以事件①是随机事件；100℃的气温人不能生存，所以不可能测得这样的气温，所以事件②是不可能事件，属于确定事件；骰子六个面的数字分别是1、2、3、4、5、6,因此事件③是随机事件；四边形内角和总是360°,所以事件④是必然事件，属于确定事件.故答案是①③.方法总结：一定发生的是必然事件，一定不发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件.板书设计必然事件：一定会发生不可能事件：一定不会发生随机事件：可能发生教学反思本节课由生活中常见的例子，引出必然事件、不可能事件、随机事件的概念，让学生了解到随机事件发生的可能性有大小，培养学生动脑的习惯，体验生活与新知识的紧密联系，提高学习兴趣。31.2随机事件的概率31.2.1概率的认识学习目标1.了解概率的定义，理解概率的意义；(重点)2.理解(在一次试验中有n种可能的结果，其中A包含m种)的意义.(重点)教学过程一、情境导入在如图所示(A,B,C三个区域)的图形中随机撒一把豆子，豆子落在哪个区域的可能性最大?二、合作探究探究点：简单随机事件的概率【类型一】概率的简单计算例1盒子里放有三张分别写有整式a+1,a+2,2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是()CC解析：分母含有字母的式子是分式，整式a+1,a+2,2中，抽到a+1,a+2做分母时组成的都是分式，共有3×2=6种情况，其中a+1,a+2为分母的情况有4种，所以能组成分式的概率故选B.方法总结：列举出所有情况，看能组成分式的情况占所有情况的多少即为所求的概率.【类型二】利用面积求概率例2一儿童行走在如图所示的地板上，当他随意停下时，最终停在地板上阴影部分的概率是()解析：观察这个图可知，阴影区域(3块)的面积占总面积(9块)的,故其概率为故选方法总结：当某一事件A发生的可能性大小与相关图形的面积大小有关时，概率的计算方法是事件A所有可能结果所组成的图形的面积与所有可能结果组成的总图形面积之比，即.概率的求法关键是要找准两点：(1)全部情况的总数；(2)符合条件的情况数目.二者的比值就是其发生的概率.板书设计概率的概念概率的意义确定事件发生的可能性大小利用面积求概率.教学反思教学过程中，强调简单随机事件的概率的计算应确定事件总数及事件A包含的数目.事件A发生的概率P(A)的大小范围是0≤P(A)≤1.31.2.2概率的简单应用学习目标1.进一步理解概率公式；(重点)2.能够用概率公式解决简单的实际问题.一、情境导入小球，摸出后放回，摸出黑色小球为赢，这个游戏是否公平.二、合作探究【类型一】概率的实际应用例1小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，综合题9个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是()解析：总共有20种情况，抽中数学题有5种可能，所以是故选C.方法总结：等可能性事件的概率的计算公式：其中事件成立包含的结果数.【类型二】与函数有关的问题例2在y=□2x²□8x□8的“□”中，任意填上“十”或“一”,可组成若干个二次函数，其中图象的顶点在x轴上的概率为()解析：在“□”中，任意填上“+”或“一”,共有+++,+十一，十-十，十-—,一++,一+一，—-+,-—-8种情况，当ac的符号相同时，b²-4ac=0,这种情况有方法总结：图象的顶点在x轴上，即b²-4ac=0,找出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率.【类型二】游戏的公平性玩掷骰子游戏，游戏规则如下：如果掷到2的倍数就由八戒来刷碗；如果掷到3的倍数就由沙僧来刷碗；如果掷到4的倍数就由我来刷碗.这个游戏对八戒_(填“公平”或“不公平”).解析：骰子6个面上分别标有的数字为1,2,3,4,5,6,其中2的倍数有3个，3的倍数有2个，4的倍数只有1个，所以八戒刷碗的概率为沙僧刷碗的概率为悟空刷碗的概率为,因为即八戒刷碗的可能性最大，故这么做对八戒不公平.方法总结：判断游戏是否公平，一般先将各个事件发生的概率计算出来，然后再比较概率的大小，只有在概率都相等的情况下，游戏才公平.板书设计随机事件的概率一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且这些结果发生的可能性相等，其中使事件A发生的结果有m(m≤n)种，那么事件A发生的概率为0≤P(A)≤1.教学反思教学过程中，强调简单的概率的计算应确定事件总数及事件A包含的数目.事件A发生的概率P(A)的大小范围是0≤P(A)≤1,通过适当的练习，及时巩固所学知识，引导学生从练习中总结解题规律，培养学生独立思考与归纳总结的能力.31.3用频率估计概率学习目标1.理解试验次数较大时试验频率趋于稳定这一规律.2.结合具体情境掌握如何用频率估计概率.3.通过概率计算进一步比较概率与频率之间的关系.教学过程一、情境导入养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼(假设这个鱼塘里养的是同一种鱼),先捕上100条做上标记，然后放回塘里，过了一段时间，待带标记的鱼完全和塘里的鱼混合后，再捕上100条，发现其中带标记的鱼有10条，塘里大约有鱼多少条?二、合作探究探究点一：频率【类型一】频率的意义例1某批次的零件质量检查结果表：优等品优等品(1)计算并填写表中优等品的频率；(2)估计从该批次零件中任取一个零件是优等品的概率.分析：通过计算可知优等品的频率稳定在0.8附近，可用这个数值近似估计该批次中优等品的概率.解：(1)填表如下：优等品优等品【类型二】频率的稳定性例2在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”、解析：随着试验的次数增多，出现数字“1”的频率愈来愈接近于一个常数，这个常数即为它的概率.故答案是：接近探究点二：用频率估计概率【类型一】用频率估计概率例3掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是()A.可能有5次正面朝上B.必有5次正面朝上C.掷2次必有1次正面朝上D.不可能10次正面朝上解析：掷一枚质地均匀的硬币1次，出现正面或反面朝上的概率都是,因此，平均每两次中可能有1次正面向上或有1次反面向上.选项B、C、D不一定正确，选项A正确，故方法总结：随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，当试验次数很多时，它具有一定的稳定性，即稳定在某一常数附近，而偏离的它可能性很小.【类型二】推算影响频率变化的因素例4“六·一”期间，小洁的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑料球共1000个，小洁将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；……多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2,由此可以估计纸箱内红球的个数约是个.解析：因为大量重复摸球实验后，摸到红球的频率逐渐稳定在0.2,说明红球大约占总数的0.2,所以球的总数为1000×0.2=200,故答案为：200.方法总结：解题的关键是知道在大量重复摸球实验后，某个事件发生的频率就接近于该事件发生的概率.概率与频率的关系是：(1)试验次数很大时，频率稳定在概率附近；(2)用频率估计概率.【类型三】频率估计概率的实际应用例5为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有条鱼.解析：设鱼塘中估计有x条鱼，则5:200=30:x,解得x=1200,故答案为：1200.方法总结：求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想.板书设计用频率估计概率频率的意义频率的稳定性影响频率变化的因素用频率估计概率频率估计概率的实际应用教学反思教学过程中，强调频率与概率的联系与区别.会用频率估计概率解决实际问题31.4用列举法求简单事件的概率31.4.1用列表法求简单事件的概率学习目标1.用列举法求较复杂事件的概率.2.理解“包含两步并且每一步的结果为有限多个情形”的意义.3.用列表法求概率.教学过程一、情境导入希罗多德在他的巨著《历史》中记录，早在公元前1500年，埃及人为了忘却饥饿，经常聚集在一起掷骰子，游戏发展到后来，到了公元前1200年，有了立方体的骰子.二、合作探究探究点一：用列表法求概率例1一只不透明的袋子中装有两个完全相同的小球，上面分别标有1,2两个数字，若随机地从中摸出一个小球，记下号码后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出小球的号码之积为偶数的概率是()解析：先列表列举出所有可能的结果，再根据概率计算公式计算.列表分析如下：1212由列表可知，两次摸出小球的号码之积共有4种等可能的情况，号码之积为偶数共有3种：(1,2),(1,2),(2,2),∴故选D.【类型二】学科内综合题例2从0,1,2这三个数中任取一个数作为点P的横坐标，再从剩下的两个数中任取一个数作为点P的纵坐标，则点P落在抛物线y=—x²+x+2上的概率为_解析：用列表法列举点P坐标可能出现的所有结果数和点P落在抛物线上的结果数，然后代入概率计算公式计算.用列表法表示如下：012012共有6种等可能结果，其中点P落在抛物线上的有(2,0),(0,2),点P落在抛物线上的概率故答案为方法总结：用列表法求概率时，应注意利用列表法不重不漏地表示出所有等可能的结果.例3如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是0