【《函数域上一类代数曲线有理点计数概述》2900字】

.PAGE1函数域上一类代数曲线有理点计数概述目录TOC\o"1-3"\h\u21956函数域上一类代数曲线有理点计数概述 -1-88871.1函数域上有理点问题研究现状 -1-77281.2函数域上有理点的介绍 -2-250211.3函数域上有理点的定理 -2-77721.4函数域上隐函数定理及证明 -4-59151.5多项式的行列式退化定理及证明 -7-50471.6定理1.3.1和主定理的完整证明 -9-1.1函数域上有理点问题研究现状对于代数曲线[12]的研究已经有很长的历史.最初引起人们注意的问题之一是确定代数曲线的有理点的个数.这个问题的研究已经有200多年了，为了解决这个问题积累的方法也有很多.1989年，E.Bombieri和J.Pila[13]首次用行列式方法对代数曲线的有理点进行计数.1994年，邢朝平[14]用构造Hilbert类域塔方法研究有限域上光滑、绝对不可约的射影曲线的有理点集.1998年，J.Hirschfeld，G.Korchmáros[15]用Sthr-Voloch定理得到了有限域上平面曲线的有理点的上界估计.2002年，D.R.Heath-Brown[16]进一步发展了E.Bombieri和J.Pila[13]的思想，证明了当有理数域上高度最多是B时，对任意，在三维射影空间上的d次不可约射影曲线有个有理点.2004年，T.D.Browning，D.R.Heath-Brown，P.Salberger[11]用行列式方法，估计了有理数域上高度最多是B的代数曲线的有理点的个数，当固定曲线的维数和高度时，有理点的个数估计是一致的，并且对于维数至少是6的上界估计是最佳的.2015年，J.I.Manin[17]通过研究函数域上的代数曲线证明了Mordell's猜想.纵观历史，无论是在有限域上还是在有理数域上，对代数曲线的有理计数都有很多行之有效的方法.我们知道函数域与有理数域有许多共同的性质.有限域上的多项式环A和整数环都是主理想整环，都有任何非零理想的剩余类环是有限的性质，都有无穷多个元素.基于上述函数域的代数性质，我们对函数域上的代数曲线的有理点计数问题展开讨论.1.2函数域上有理点的介绍令是有限域，有个元素，其中素数是的特征，为整数.我们用A来表示有限域上的多项式环，A中的每个元素都是形如的多项式，其中.对任意多项式，定义多项式范数为，其中是多项式f的次数.令是一个绝对不可约的三元d次齐次多项式，是二维仿射空间上的一条一维曲线.我们选择代表元，其中不全为0，并且.如果i是范数最小的指标，则.我们定义是所有这样的代表元的集合.本章主要讨论了曲线面上高度最多为的有理点的个数.我们的目标是数集合的个数，即.符号说明：：全体正整数集合；：有限域上的多项式环；：A上的二维仿射空间；；.1.3函数域上有理点的定理定理1.3.1令是三元d次齐次绝对不可约多项式.设是次数最高是D次的三元多项式，的零点可以覆盖的零点，并且与互素，则我们有，.证明：因为中的每个点都是的交点，根据Bézout定理，每个函数都包含最多dD个点.用下面的定理，我们可以估计k的个数，并且可以得到.定理1.3.2（主定理）令是三元d次齐次绝对不可约多项式，我们可以得到k个与互素的D()次齐次多项式，其中k是整数，且，注：所数的每个点都是中的零点.要证明主定理，我们首先考虑奇点.方程的奇点满足下面等式 因为是绝对不可约的，所以不全为零，并且由于它的次数是次，不能是的倍式，因此与互素.在主定理中考虑的奇点，因此我们的集合包含的偏导数.下面我们只需要研究非奇点.我们先使用一个辅助的不可约多项式，P非奇点.设的梯度，令，，则有下面定理成立.定理1.3.3令是整数，，设，则有个次数为N的首一不可约多项式，使得.证明：设首一不可约多项式的次数为N，则其范数.对任意向量，非零偏导数，可得.定义是A上N次首一多项式的个数，由多项式环上的素数定理，则有.当时，可得.因为，则有.即得.因此至多有个这样的不可约多项式.由此可见，当时，如果次数为N的不可约多项式能整除，那么就能得到所需结论.□1.4函数域上隐函数定理及证明设方程有个非奇点零点，其中.此时.现在我们把分成个集合，令，其中.固定P，那么每个集合都有一个多项式对应.通过以上讨论，我们有.由定理1.3.2，我们有k的上界.因此得到.2-(l)由此当B足够大时，足够保证，确保满足定理1.3.3的条件才能有可选择的.现在我们固定.因为研究对象在射影空间中，不失一般性我们令.如果此时在的偏导数在时为零，那么偏导数也必定是零.因为.然而我们假设是非奇异的，所以当时偏导数一定是非零的.不失一般性，我们假设下面事实.2-(2)应用Hensel引理和公式2-(2)，我们可以将变成P-aidc解，其中是的解.当时可以证明下面等式.假设当时，.要说明可用的P-adic幂级数表示.实际上这是隐函数定理在函数域上的应用，表述成如下的引理.引理1.4.1（隐函数引理）令和定义如上，满足和.那么，对任意整数，我们可以找到，使得当时，如果，并且，，则有.2-(3)该隐函数引理也可以表示为，对于给定，方程有唯一的解，并且这个解可由上的幂级数给出，即.然后我们可以使用下面的结果替换f.证明：令，用数学归纳法，对m进行归纳.对，令和.当时，引理1.4.1显然成立.对于一般情况归纳假设，所以我们记，其中.则有2-(4)因为，归纳假设(3)表明，由此可得.由2-(4)得，所以.证毕.□1.5多项式的行列式退化定理及证明我们现在选择一个比较大的整数T并且定义指数集合.我们将记，2-(5)假设.令是中不同的向量，并且设，其中.因此是的行列式，其中行是不同的向量，列是不同的三元指标.下面我们要证明能被P的一个大的幂次整除，然后我们能推出是退化的.因为，我们可以看出模P的剩余对应的射影点是.由于，因此我们可以把视为的向量.我们现在有.此外，由隐函数引理1.4.1，我们把看作，当选择合适的，则有，使得.我们推出，这里，，其中，并且.我们用替换，其中.由此可得.对于一个合适的多项式集合，我们现在定义单项式的排序.如果，，则有单项式的顺序.我们现在对行列式进行如下的列变换.我们记出现在多项式中“最小的”单项式为.如果这个单项式在多项式中出现两次或者更多，我们用P-adic规则下系数最小的单项式记为.