2025年海南省数学（文科）高起专真题及答案

2025年海南省数学（文科）高起专练习题及答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.若函数f(x)=x^36x+9在区间（2，3）上有零点，则f'(x)在区间（2，3）上的符号为（）

A.正

B.负

C.无法确定

D.零

答案：A

解析：f'(x)=3x^26，当x∈（2，3）时，f'(x)>0，所以函数f(x)在区间（2，3）上单调递增。由于f(2)=2^362+9=5，f(3)=3^363+9=12，f(2)f(3)<0，根据零点定理，函数f(x)在区间（2，3）上有零点。

2.已知函数y=f(x)的图像与直线y=2x1相切，则f(x)的导数f'(x)等于（）

A.2

B.1

C.2

D.1

答案：A

解析：函数y=f(x)的图像与直线y=2x1相切，说明它们在切点处的斜率相同。因此，f'(x)=2。

3.若a、b是方程x^2(a+b)x+ab=0的两个根，则a+b的值为（）

A.1

B.1

C.2

D.2

答案：C

解析：根据韦达定理，a+b=a+b=a+b=a+b=a+b=a+b=a+b=(a+b)。

4.设函数f(x)=x^2+kx+1在区间（∞，+∞）上单调递增，则实数k的取值范围是（）

A.k≥0

B.k≤0

C.k>0

D.k<0

答案：C

解析：f'(x)=2x+k，要使函数f(x)在区间（∞，+∞）上单调递增，需满足f'(x)≥0，即2x+k≥0。由于x取值范围为（∞，+∞），所以k>0。

5.若函数y=f(x)在x=1处的导数f'(1)=0，且f'(x)在x=1的左侧小于0，在右侧大于0，则f(x)在x=1处的极值是（）

A.极大值

B.极小值

C.无极值

D.无法确定

答案：A

解析：由题意可知，函数y=f(x)在x=1的左侧单调递减，在右侧单调递增，因此f(x)在x=1处取得极大值。

6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=25，S10=110，则该数列的通项公式为（）

A.an=n+4

B.an=2n+3

C.an=n+3

D.an=2n+1

答案：D

解析：设等差数列的首项为a1，公差为d。根据等差数列的前n项和公式Sn=n/2(2a1+(n1)d)，代入S5=25和S10=110，解得a1=1，d=2。所以通项公式an=a1+(n1)d=1+(n1)2=2n+1。

7.若函数y=f(x)在x=a处的切线平行于直线y=3x+1，则f(x)在x=a处的导数f'(a)等于（）

A.3

B.1/3

C.3

D.1/3

答案：A

解析：函数y=f(x)在x=a处的切线平行于直线y=3x+1，说明它们在切点处的斜率相同。因此，f'(a)=3。

8.若方程x^33x^2+ax+b=0有两个实根，则实数a的取值范围是（）

A.a>0

B.a<0

C.a≥0

D.a≤0

答案：B

解析：设f(x)=x^33x^2+ax+b，f'(x)=3x^26x+a。由于方程有两个实根，即f(x)与x轴有两个交点，因此f(x)的极值点至少有一个。要使f(x)有两个实根，需满足f'(x)=0有两个实根，即判别式Δ=b^24ac<0。所以a<0。

二、填空题（每题5分，共40分）

1.已知函数f(x)=x^22x+c在x=1处的导数为0，则c的值为______。

答案：1

解析：f'(x)=2x2，f'(1)=212=0，所以c=f(1)=1^221+c=1。

2.若函数y=f(x)在x=a处的切线斜率为3，则f'(a)的值为______。

答案：3

解析：函数y=f(x)在x=a处的切线斜率等于f'(a)，所以f'(a)=3。

3.若等差数列{an}的前n项和为Sn=2n^2+n，则该数列的通项公式为______。

答案：an=4n3

解析：由Sn=n/2(2a1+(n1)d)得，2a1+(n1)d=4n+1。由a1=S1=3得，d=4。所以通项公式an=a1+(n1)d=3+(n1)4=4n3。

4.若函数y=f(x)在x=a处的极值点，且f'(a)=0，则f''(a)的符号为______。

答案：正或负

解析：当f''(a)>0时，f(x)在x=a处取得极小值；当f''(a)<0时，f(x)在x=a处取得极大值。

5.若方程x^24x+c=0有两个实根，则c的取值范围是______。

答案：c≤4

解析：方程有两个实根，即判别式Δ=b^24ac≥0，所以c≤4。

6.若函数y=f(x)在x=a处的导数f'(a)存在，且f'(a)>0，则f(x)在x=a处的单调性为______。

答案：单调递增

解析：函数y=f(x)在x=a处的导数f'(a)>0，说明f(x)在x=a处单调递增。

7.若等差数列{an}的前n项和为Sn=n^2+2n，则该数列的通项公式为______。

答案：an=2n+1

解析：由Sn=n/2(2a1+(n1)d)得，2a1+(n1)d=2n+2。由a1=S1=3得，d=2。所以通项公式an=a1+(n1)d=3+(n1)2=2n+1。

8.若函数y=f(x)在x=a处的切线斜率为k，则f'(a)的值为______。

答案：k

解析：函数y=f(x)在x=a处的切线斜率等于f'(a)，所以f'(a)=k。

三、解答题（每题20分，共40分）

1.已知函数f(x)=x^36x+9，求f(x)的单调区间和极值。

答案：单调递增区间为（∞，2），（2，+∞），单调递减区间为（2，3）。极小值为f(3)=12，极大值为f(2)=5。

解析：f'(x)=3x^26，令f'(x)=0得，x=1，x=2。当x<1或x>2时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当1<x<2时，f'(x)<0，f(x)单调递减。f(3)=3^363+9=12，f(2)=2^362+9=5，所以f(x)在x=3处取得极小值，f(x)在x=2处取得极大值。

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n^2