5.2 时间序列的平稳性及其检验

§5.2时间序列的平稳性及其检验

一、问题的提出二、时间序列数据的平稳性三、平稳性的图示判断四、平稳性的单位根检验五、单整时间序列六、案例演示七、趋势平稳与差分平稳随机过程

一、问题的提出从经典计量经济学模型的方法论基础出发时间序列的平稳性可以替代随机抽样假定，采用平稳时间序列作为样本，建立经典计量经济学模型，在模型设定正确的前提下，模型随机扰动项仍然满足极限法则和经典模型的基本假设（序列无关假设除外），特别是正态性假设。采用平稳时间序列作为样本，首先需要进行平稳性检验。

采用平稳时间序列建立经典计量经济学结构模型，可以有效地避免虚假回归。虚假回归（spuriousregression）也称为伪回归，是由2003年诺贝尔经济学奖者格兰杰提出的。格兰杰通过模拟试验发现，完全无关的非平稳时间序列之间可以得到拟合很好但毫无道理的回归结果。这一发现说明，非平稳时间序列由于具有共同的变化趋势，即使它们之间在经济行为上并不存在因果关系，如果将它们分别作为计量经济学模型的被解释变量和解释变量，也能够显示较强的统计上的因果关系。

关于虚假回归的说明一种误解：只有非平稳时间序列之间才能出现虚假回归，平稳时间序列之间不会出现虚假回归。回归分析，是一种统计分析，所揭示的是数据之间的统计关系。数据之间的统计关系是经济行为关系的必要条件，不是经济关系的充分条件。古亚拉蒂：“从逻辑上说，一个统计关系式，不管多强或多么有启发性，本身不可能意味着任何因果关系。要谈因果关系，必须来自统计学之外，诉诸先验的或者理论上的思考。”虚假回归，不仅可能出现在非平稳时间序列之间，也可能出现在平稳时间序列之间和截面数据序列之间。非平稳时间序列之间出现虚假回归的可能性更大，因此，对时间序列进行平稳性检验，可以有效地减少虚假回归。在计量经济学模型研究中，杜绝虚假回归的最根本的方法，是正确的设定模型。二、时间序列的平稳性定义假定某个时间序列是由某一随机过程（stochasticprocess）生成的，即假定时间序列{Xt}（t=1,2,…）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：均值E(Xt)=

是与时间t无关的常数；方差Var(Xt)=

2是与时间t

无关的常数；协方差Cov(Xt,Xt+k)=

k

是只与时期间隔k有关，与时间t

无关的常数。则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该随机过程是一平稳随机过程（stationarystochasticprocess）。宽平稳、广义平稳白噪声（whitenoise）过程是平稳的：

Xt=

t

，

t~N(0,2)随机游走（randomwalk）过程是非平稳的：

Xt=Xt-1+

t，t~N(0,2)

Var(Xt)=t2随机游走的一阶差分（firstdifference）是平稳的：

Xt=Xt-Xt-1=t，

t~N(0,2)如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。三、平稳性的图示判断说明本节的概念是重要的，属于经典时间序列分析。在实际应用研究中，一般直接采用单位根检验，图示判断应用较少。建议作为自学内容。四、平稳性的单位根检验1、DF检验（Dicky-FullerTest）

通过上式判断Xt是否有单位根,就是时间序列平稳性的单位根检验。随机游走，非平稳对该式回归，如果确实发现ρ=1，则称随机变量Xt有一个单位根。

等价于通过该式判断是否存在δ=0。

一般的检验模型零假设H0：

=0备择假设H1：

<0在实际检验中，一个时间序列有可能是由带位移的随机游走过程(randomwalkwithdrift)产生的，甚至是由更复杂的带有确定性时间趋势的随机过程生成的，则需要检验带有截距项的1阶自回归模型、或者同时带有截距项与时间趋势项的1阶自回归模型。

或

或

可通过OLS法下的t检验完成。但是:在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下t统计量也是有偏误的（向下偏倚），通常的t检验无法使用。Dicky和Fuller于1976年提出了这一情形下t统计量服从的分布（这时的t统计量称为

统计量），即DF分布。由于t统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零均值的偏态分布。

如果t<临界值，则拒绝零假设H0：

=0，认为时间序列不存在单位根，是平稳的。单尾检验2、ADF检验（AugmentDickey-Fullertest）

为什么将DF检验扩展为ADF检验？DF检验假定时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程AR(1)生成的。但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成，如果仍用AR(1)模型来检验，则模型中的随机干扰项存在自相关，导致统计量的渐近分布随之改变，从而使得DF检验无效。ADF检验模型零假设H0：

=0

备择假设H1：

<0模型1

模型2模型3检验过程实际检验时从模型3开始，然后模型2、模型1。何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根，为平稳序列，何时停止检验。否则，就要继续检验，直到检验完模型1为止。检验原理与DF检验相同，只是对模型1、2、3进行检验时，有各自相应的临界值表。检验模型滞后项阶数的确定：以随机项不存在序列相关为准则。五、单整序列如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的，就称原序列是一阶单整（integratedof1）序列，记为I(1)。一般地，如果一个时间序列经过d次差分后变成平稳序列，则称原序列是d阶单整（integratedofd）序列，记为I(d)。I(0)代表一平稳时间序列。现实经济生活中只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的，如利率等;大多数指标的时间序列是非平稳的，例如，以当年价表示的消费额、收入等常是2阶单整的，以不变价格表示的消费额、收入等常表现为1阶单整。大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或多次差分的形式变为平稳的。但也有一些时间序列，无论经过多少次差分，都不能变为平稳的。这种序列被称为非单整的（non-integrated）。六、案例演示检验1980~2023年间中国居民实际总消费序列（Y）、对数序列（lnY）、增长率序列（GY）的平稳性。

ADF检验在Eviews中的实现选中Y并打开，单击“View\UnitRootTest”检验Y，模型3检验Y，模型3从Y(-1)的参数值看，其t统计量的值大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。趋势项不显著(5%显著性水平下和临界值为2.81)，转向估计模型2注意：需要手工估计模型3，并采用LM检验以检验残差项的序列相关性（详见《计量经济学(第六版)指南与练习》）。LM(2)的检验检验结果：残差项不存在直到2阶的序列相关性检验Y，模型2检验Y，模型2从Y(-1)的参数值看，其t统计量的值大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。同时，由于常数项的t统计量也小于ADF分布表中的临界值2.56，因此不能拒绝不存在常数项的零假设。需进一步检验模型1。检验Y，模型1检验Y，模型1从Y(-1)的参数值看，其t统计量的值大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。至此，可断定中国居民总消费序列是非平稳的。如果仅需要检验该时间序列是否是平稳的，检验到此结束。如果需要检验该时间序列的单整性，即它是多少阶的单整序列，则需要对其一次差分序列、二次差分序列等进行单位根检验。

检验ΔY，模型3检验ΔY，模型3从△Y(-1)的参数值看，其t统计量的值小于5%显著性水平下的临界值，拒绝存在单位根的零假设。同时，时间项T的t统计量也大于AFD分布表中的临界值2.81，因此拒绝不存在趋势项的零假设。无需进一步检验模型2。检验增长率序列GY

趋势项不显著，转向估计模型2自动选择检验模型滞后项，确定滞后阶数为0，得到模型3的估计结果结论：中国实际居民消费总量增长率序列GY是平稳的。模型2的估计检验对数序列lnY

首先对lnY的水平序列进行检验，三个模型中参数估计值的统计量的值均大于各自的临界值，因此不能拒绝存在单位根的零假设，即中国实际居民消费总量的对数序列是非平稳的。再对lnY的1阶差分序列进行检验，自动选择检验模型滞后项，确定滞后阶数为0，得到模型3的估计结果：

虽然，D(lnY(-1))的参数的t统计量的值小于5%下的临界值，但趋势项不显著，转向估计模型2模型3的估计结论：中国居民消费的对数序列lnY是1阶单整序列

模型2的估计例题结论中国实际居民消费总量序列Y~I(1)。中国实际居民消费总量对数序列lnY~I(1)。中国实际居民消费总量增长率序列GY~I(0)。同样，对于中国实际居民收入总量序列X：X~I(1)lnX~I(1)GX~I(0)4、关于ADF检验的几点讨论

关于检验模型中滞后项的确定模型（1）、（2）、（3）中都含有滞后项，其目的是为了消除模型随机项的序列相关，保证随机项是白噪声。一般采用LM检验确定滞后阶数，也可采用其它数据依赖方法（如信息准则法：AIC、BIC等）。在软件中一般采用信息准则（例如AIC、BIC等）确定滞