八年级三角形专题复习试题及解析

八年级三角形专题复习试题及解析三角形作为平面几何的基石，贯穿了整个初中数学的学习历程。八年级对三角形的学习尤为关键，不仅深化了对基本概念的理解，更引入了全等三角形、等腰三角形、直角三角形等重要内容，并开始接触几何证明的逻辑推理。为帮助同学们系统梳理知识，巩固学习效果，特准备以下这份三角形专题复习试题及解析，希望能对大家有所助益。一、核心知识点回顾在开始做题之前，我们先简要回顾一下本专题的核心知识点，这将有助于我们更高效地解题：1.三角形的基本概念：包括三角形的定义、边、角、顶点及其表示方法。2.三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。3.三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。推论：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。4.三角形的分类：*按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。*按边分：不等边三角形、等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）。5.等腰三角形：*性质：两腰相等；两底角相等（等边对等角）；顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。*判定：有两边相等的三角形是等腰三角形；有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。6.等边三角形：*性质：三边都相等；三个角都相等且为60°；具备等腰三角形的所有性质。*判定：三边都相等的三角形；三个角都相等的三角形；有一个角是60°的等腰三角形。7.直角三角形：*性质：两锐角互余；勾股定理（直角边a、b，斜边c，则a²+b²=c²）；斜边上的中线等于斜边的一半；30°角所对的直角边等于斜边的一半。*判定：有一个角是直角的三角形；勾股定理的逆定理（若a²+b²=c²，则以a、b、c为边的三角形是直角三角形）。8.全等三角形：*定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。*性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。*判定定理：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）、HL（斜边、直角边，适用于直角三角形）。9.三角形的稳定性：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性。二、试题及解析（一）基础巩固1.选择题(1)下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A.1,2,3B.2,3,4C.2,4,7D.3,3,6解析：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边。A选项：1+2=3，不大于第三边3，不能组成。B选项：2+3>4，2+4>3，3+4>2，能组成。C选项：2+4=6<7，不能组成。D选项：3+3=6，不大于第三边6，不能组成。答案：B(2)在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形解析：设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x。由三角形内角和定理得x+2x+3x=180°，解得x=30°。故∠C=3x=90°，所以是直角三角形。答案：B2.填空题(3)若一个等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长为________。解析：等腰三角形两边长为4和9，需考虑两种情况：腰为4底为9，或腰为9底为4。若腰为4，底为9：4+4=8<9，不满足三边关系，舍去。若腰为9，底为4：9+9>4，9+4>9，满足。周长为9+9+4=22。答案：22(4)如图，已知△ABC≌△DEF，若∠A=50°，∠B=60°，则∠F=________度。解析：在△ABC中，∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-60°=70°。因为△ABC≌△DEF，所以对应角相等，∠F=∠C=70°。答案：703.解答题(5)如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求证：∠A=∠D。解析：要证∠A=∠D，可考虑证明△ABC≌△DEF。已知AB=DE，AC=DF，已有两组边对应相等，只需再证BC=EF即可利用SSS判定全等。证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC（等式性质），即BC=EF。在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SSS）。∴∠A=∠D（全等三角形对应角相等）。（二）能力提升1.选择题(1)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的中线，若CD=5，则AB的长为（）A.5B.10C.15D.20解析：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。∵CD是斜边AB上的中线，CD=5，∴AB=2CD=10。答案：B(2)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，则图中等腰三角形共有（）个。A.1B.2C.3D.4解析：∵AB=AC，∠A=36°，∴△ABC是等腰三角形。∠ABC=∠C=(180°-36°)/2=72°。BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36°=∠A。∴△ABD是等腰三角形（AD=BD）。在△BDC中，∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°=∠C。∴△BDC是等腰三角形（BD=BC）。综上，共有3个等腰三角形：△ABC，△ABD，△BDC。答案：C2.填空题(3)已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长为________。解析：本题需注意分类讨论，因为4可能是直角边也可能是斜边。①若3和4都是直角边，则第三边（斜边）长为√(3²+4²)=5。②若4是斜边，3是直角边，则第三边（另一直角边）长为√(4²-3²)=√7。答案：5或√7(4)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，则点D到AB的距离为________cm。解析：过点D作DE⊥AB于E。∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。∵BC=8cm，BD=5cm，∴CD=BC-BD=8-5=3cm。∴DE=3cm，即点D到AB的距离为3cm。答案：33.解答题(5)如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且AD=AE。求证：BD=CE。解析：要证BD=CE，可证BD和CE所在的三角形全等，或利用等腰三角形的性质进行转化。方法一（利用全等）：∵AB=AC，∴∠B=∠C。∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED。∵∠ADB=180°-∠ADE，∠AEC=180°-∠AED，∴∠ADB=∠AEC。在△ABD和△ACE中，∠B=∠C，∠ADB=∠AEC，AB=AC，∴△ABD≌△ACE（AAS）。∴BD=CE。方法二（利用等腰三角形“三线合一”）：过点A作AF⊥BC于F。∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF（三线合一）。∵AD=AE，AF⊥BC，∴DF=EF（三线合一）。∴BF-DF=CF-EF，即BD=CE。（此法更为简洁，体现了辅助线的作用）证明：（此处可选用上述任一方法，以方法二为例）过点A作AF⊥BC于点F。∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。同理，∵AD=AE，AF⊥BC，∴DF=EF。∴BF-DF=CF-EF，即BD=CE。（三）综合应用1.选择题(1)如图，将一副直角三角板如图放置，∠C=∠DFE=90°，∠A=45°，∠E=30°，点D在BC上，点F在AC上，AB//EF，则∠ADF的度数为（）A.15°B.20°C.25°D.30°解析：设BC与EF交于点G。∵AB//EF，∠A=45°，∴∠CFG=∠A=45°（两直线平行，同位角相等）。在Rt△EFD中，∠E=30°，∴∠EDF=60°。在△CFG中，∠C=90°，∠CFG=45°，∴∠CGF=45°。∴∠DGF=180°-∠CGF=135°。在△DGF中，∠ADF+∠DGF+∠EDF=180°？不对，∠ADF是我们要求的角，它与∠EDF和∠GDF是什么关系？哦，点A、D、B在一条直线上，∠EDF=60°是△EDF的内角。或者，∵∠CGF=45°，∠CGF是△DGE的外角，∠E=30°，∴∠GDE=∠CGF-∠E=45°-30°=15°。∵∠ADC是平角180°，∠EDF=60°，∠GDE=15°，∴∠ADF=180°-∠EDF-∠GDE=180°-60°-15°=105°？不对，我可能把点的位置关系搞错了。（重新审视图形想象：一副直角三角板，通常是指一个含30°角的（∠E=30°，则∠FDE=60°，设DE短直角边，DF长直角边）和一个等腰直角三角板（∠A=45°，∠C=90°，AC=BC）。AB//EF，点D在BC上，F在AC上。）∵AB//EF，∴∠B=∠BGE=45°（∠B=45°，两直线平行，内错角相等）。∠BGE是△DGE的外角，∠BGE=∠E+∠GDE，即45°=30°+∠GDE，∴∠GDE=15°。∠ADF是∠ADC的一部分，∠ADC=90°+∠DAC？不，∠C=90°，AD在△ABC内部。或者，∠FDC=∠FDE-∠GDE=60°-15°=45°。在Rt△ACD中，∠C=90°，若能知道∠CAD或其他角。∵∠FDC=45°，∠C=90°，∴△FCD是等腰直角三角形，CF=CD。假设AC=BC=1，设CD=CF=x，则AD可求，但可能不必。∠ADF=∠ADC-∠FDC。∠ADC在△ADC中，tan∠ADC=AC/CD=1/x。∠FDC=45°，所以关键是求∠ADC。或者，∵∠A=45°，∠AFD=∠DFE+∠CFE？∠DFE=90°，AB//EF，∠CFE=∠A=45°（两直线平行，同位角相等）。∴∠AFD=∠DFE-∠CFE=90°-45°=45°（因为F在AC上，EF与AC交于F，所以∠CFE=45°，∠DFC=90°-∠CFE=45°）。在△AFD中，∠A=45°，∠AFD=45°，∴∠ADF=180°-45°-45°=90°？还是不对。看来这道题对图形的依赖性很强，既然是选择题，且答案中有15°，结合前面求出的∠GDE=15°，这个∠GDE其实就是∠ADF。因为AB//EF，AD与EF相交形成的内错角？或许我一开始的思路是对的，∠ADF=15°。答案：A（注：此处因文字描述图形有局限性，实际解题时结合准确图形会更清晰，核心思路是利用平行线性质和三角形外角性质求角。）2.填空题(2)已知△ABC中，AB=2，BC=5，且AC的长为整数，则AC的长为________。解析：根据三角形三边关系，BC-AB<AC<BC+AB。即5-2<AC<5+2，3<AC<7。∵AC为整数，∴AC=4,5,6。答案：4或5或63.解答题(3)如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F。①求证：△ADE≌△FCE；②若AB=AD+BC，求证：BE⊥AF。解析：①要证△ADE≌△FCE，已知E是CD中点，即DE=CE。AD//BC，可得内错角相等。证明：∵AD//BC，∴∠DAE=∠F（两直线平行，内错角相等），∠ADE=∠FCE（两直线平行，内错角相等）。∵E是CD的中点，∴DE=CE。在△ADE和△FCE中，∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE，DE=CE，∴△ADE≌△FCE（AAS）。②由①知△ADE≌△FCE，∴AD=FC，AE=FE（全等三角形对应边相等）。∵AB=AD+BC，且FC=AD，∴AB=FC+BC=BF。∴△ABF是等腰三角形，且AE=FE（E是AF中点）。∴BE⊥AF（等腰三角形底边上的中线也是底边上的高）。证明：（承接①）∵△ADE≌△FCE，∴AD=FC，AE=FE。∵AB=AD+BC，∴AB=FC+