六年级奥数比的实际应用专题讲义

——从份数入手，巧解应用题同学们，我们已经学习了比的基本概念。比，就像一座桥梁，连接起不同数量之间的关系。在我们的日常生活和数学问题中，比的应用非常广泛。今天，我们就一起来深入探讨“比的实际应用”，看看如何巧妙地运用比的知识来解决那些看似复杂的应用题。一、比的意义与基本性质回顾在开始之前，我们简单回顾一下比的意义和基本性质。两个数相除，又叫做这两个数的比。例如，男生有20人，女生有25人，男生与女生的人数比就是20:25，化简后为4:5。比的基本性质告诉我们，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这是我们进行比的化简和后续计算的重要依据。在解决比的实际应用问题时，最核心的思想是“份数思想”。一旦我们确定了两个量或多个量的比，就可以把它们分别看作几份和几份。比如，甲与乙的比是3:5，我们就可以把甲看作3份，乙看作5份。这种将抽象的比例关系转化为具体“份数”的方法，是解决比的应用问题的金钥匙。二、比的实际应用分类解析（一）按比例分配核心问题：已知几个量的比，以及它们的总和（或其中一个量），求每个量是多少。解题步骤：1.根据比确定总份数：将比的各项相加，得到总份数。2.求出一份量：用总量（或与总量相关的已知量）除以总份数，得到一份的数量。3.求出各部分量：用一份量分别乘以比中各项对应的份数，得到各个部分的具体数量。例题1：学校把一批图书按3:4:5的比例分给四、五、六年级，已知六年级比四年级多分到20本，这批图书共有多少本？分析与解答：*我们把四年级分到的图书看作3份，五年级4份，六年级5份。*六年级比四年级多的份数为：5-3=2份。*已知这2份对应的实际数量是20本，所以一份量为：20÷2=10本。*这批图书的总份数为：3+4+5=12份。*因此，这批图书共有：10×12=120本。方法点睛：按比例分配问题，关键在于找到“总量”与“总份数”的对应关系，或者“部分量的差（和）”与“部分份数的差（和）”的对应关系，从而求出一份量。（二）涉及总量不变的比的应用核心问题：两个或多个量的比发生变化，但它们的总和保持不变，求原来的量或变化后的量。解题关键：抓住“总量不变”这个核心，将变化前后的比的总份数统一成相同的份数（即找到前后总份数的最小公倍数），再进行比较和计算。例题2：一个书架，上层书与下层书的本数比是7:8。如果从下层拿8本放到上层，这时上层书与下层书的本数比是5:4。这个书架共有多少本书？分析与解答：*无论书如何移动，书架上书的总本数是不变的。*变化前：上层:下层=7:8，总份数为7+8=15份。*变化后：上层:下层=5:4，总份数为5+4=9份。*15和9的最小公倍数是45。我们将总份数统一为45份。*变化前：上层:下层=7:8=(7×3):(8×3)=21:24（21+24=45）*变化后：上层:下层=5:4=(5×5):(4×5)=25:20（25+20=45）*观察上层书的份数变化：从21份变成25份，增加了25-21=4份。*这4份对应的实际数量就是从下层拿到上层的8本书。*所以一份量为：8÷4=2本。*书架上书的总本数为：45×2=90本。方法点睛：当总量不变时，通过统一总份数，可以清晰地看出各部分量份数的变化，进而找到份数变化与实际数量变化的对应关系。（三）涉及部分量不变的比的应用核心问题：两个量的比发生变化，但其中一个量的具体数值保持不变，求另一个量的变化情况或原来的量。解题关键：抓住“不变的部分量”，将变化前后的比中这个不变量的份数统一，再进行计算。例题3：一杯盐水，盐与水的质量比是1:10。如果再加入2克盐，新盐水重35克。新盐水中盐与水的质量比是多少？分析与解答：*首先，新盐水重35克，是加入2克盐后的重量，所以原来盐水的重量是35-2=33克。*原来盐与水的质量比是1:10，总份数是1+10=11份。*因此，原来盐的质量为：33×(1/11)=3克。*原来水的质量为：33×(10/11)=30克。（水的质量在加盐过程中不变）*加入2克盐后，新盐水中盐的质量为：3+2=5克。*新盐水中水的质量仍为30克。*所以，新盐水中盐与水的质量比是5:30=1:6。方法点睛：当某个部分量不变时，以这个不变量为桥梁，先求出它的具体数量，再根据变化情况求出其他量，进而得到新的比例关系。（四）两个量的比与其中一个量的变化核心问题：已知两个量原来的比，以及其中一个量增加或减少后的新比，求原来的量或变化后的量。解题关键：通常可以设原来的两个量分别为比的份数所对应的数（如甲为a份，乙为b份），再根据变化后的数量关系列出等式求解。例题4：甲、乙两袋大米的质量比是3:2。如果从甲袋倒出5千克大米给乙袋，这时甲、乙两袋大米的质量比是5:4。甲袋原来有多少千克大米？分析与解答：*设甲袋原来有3x千克大米，乙袋原来有2x千克大米。（因为它们的比是3:2）*从甲袋倒出5千克给乙袋后，甲袋现在有(3x-5)千克，乙袋现在有(2x+5)千克。*根据现在的质量比是5:4，可列出比例式：(3x-5):(2x+5)=5:4*根据比例的基本性质“内项之积等于外项之积”，得到：4(3x-5)=5(2x+5)*展开：12x-20=10x+25*移项：12x-10x=25+20*计算：2x=45→x=22.5*所以，甲袋原来有大米：3x=3×22.5=67.5千克。方法点睛：对于有明显“原来比”和“变化后比”的问题，设份数为未知数（如ax和bx）是一种常用的代数方法，能清晰地表示出数量关系，再通过解方程求解。三、综合运用与拓展在实际解题中，有时会遇到更复杂的情况，需要综合运用以上几种方法，或者需要灵活转换思路。例题5：甲、乙、丙三人共有零花钱若干元，已知甲的钱数是乙、丙两人钱数之和的1/2，乙的钱数是甲、丙两人钱数之和的1/3。已知丙有12元，甲、乙各有多少元？分析与解答：*题目中给出了甲与（乙+丙）的比，乙与（甲+丙）的比，以及丙的具体钱数。我们需要将这些关系转化为甲、乙、丙三人钱数的连比。*“甲的钱数是乙、丙两人钱数之和的1/2”，说明甲:(乙+丙)=1:2，那么甲占三人总钱数的1/(1+2)=1/3。*“乙的钱数是甲、丙两人钱数之和的1/3”，说明乙:(甲+丙)=1:3，那么乙占三人总钱数的1/(1+3)=1/4。*因此，丙占三人总钱数的比例为：1-1/3-1/4=12/12-4/12-3/12=5/12。*已知丙有12元，且占总钱数的5/12，所以三人总钱数为：12÷(5/12)=12×(12/5)=144/5=28.8元？（这里出现了小数，说明我们可能需要调整思路，用份数来做，避免过早出现分数运算。）*换个思路：*由甲:(乙+丙)=1:2，可得甲:(甲+乙+丙)=1:3=4:12（总份数为12份，方便后续与乙的份数统一）*由乙:(甲+丙)=1:3，可得乙:(甲+乙+丙)=1:4=3:12（总份数也统一为12份）*所以，甲:乙:丙=4:3:(12-4-3)=4:3:5。*丙占5份，对应12元，那么一份量为12÷5=2.4元。*因此，甲有4份：4×2.4=9.6元，乙有3份：3×2.4=7.2元。*（虽然结果是小数，但在实际生活中钱数可以有角分，所以是合理的。此例题旨在说明如何根据部分与整体的关系求出连比。）方法点睛：当题目中出现“一个量是另外两个量之和的几分之几”时，可以先转化为这个量与总量的比，再通过统一总量的份数，求出三个量的连比，进而求解。四、解题技巧总结1.份数思想是核心：遇到比的问题，首先想到将比的各项看作具体的份数，化抽象为具体。2.寻找“不变量”是关键：题目中若存在总量不变、部分量不变的情况，要紧紧抓住这个不变量，以此为标准统一份数。3.统一份数是常用手段：通过求最小公倍数等方法，将不同比中相同量的份数或总量的份数统一，使份数具有可比性。4.对应关系要找准：明确哪部分份数对应哪部分具体数量，是求出“一份量”的前提。5.方程辅助很有效：对于一些复杂关系，可以设一份量为x，根据题意列出方程求解。五、巩固练习题1.基础巩固：*一个三角形三个内角度数的比是2:3:4，这三个内角分别是多少度？它是什么三角形？*甲、乙两人的速度比是4:5，他们同时从两地相向而行，相遇时甲走了200米，乙走了多少米？2.能力提升：*某工厂有三个车间，第一车间与第二车间人数的比是2:3，第二车间与第三车间人数的比是4:5。已知第一车间比第三车间少80人，三个车间各有多少人？*一杯糖水，糖占糖水的1/5，再加入10克