七年级数学有理数专题辅导讲义

七年级数学有理数专题辅导讲义绝对值的性质：1.非负性：任何一个数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。2.互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|-a|。3.若|a|=|b|，则a=b或a=-b。4.若a为正数，则|a|=a；若|a|=a，则a为非负数（a≥0）。若a为负数，则|a|=-a；若|a|=-a，则a为非正数（a≤0）。绝对值的意义：*绝对值是数轴上点到原点的距离，距离没有方向性，所以绝对值总是非负的。*绝对值常用来表示“误差范围”、“允许波动的幅度”等实际问题。二、有理数的运算2.1有理数的加法引入：在小学我们会算3+5=8。如果我们把向东走3米记为+3米，那么再向东走5米，一共向东走了8米，即(+3)+(+5)=+8。如果先向东走3米，再向西走5米，结果是向西走了2米，即(+3)+(-5)=-2。这就是有理数加法的实际背景。有理数加法法则：1.同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。*例如：(+5)+(+3)=+(5+3)=+8；(-4)+(-2)=-(4+2)=-6。2.异号两数相加：绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。*例如：(+5)+(-5)=0；(+7)+(-3)=+(7-3)=+4；(-6)+(+2)=-(6-2)=-4。3.一个数同0相加，仍得这个数。*例如：0+(-8)=-8；(+9)+0=+9。运算步骤：1.确定符号：根据法则判断和的正负号。2.计算绝对值：根据符号确定是绝对值相加还是相减。加法运算律：*加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a。*加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即(a+b)+c=a+(b+c)。运算律的应用：*可以把互为相反数的两个数先加（和为0）。*可以把几个正数或几个负数先分别相加。*可以把容易凑整的数先加。*例如：(-2)+(+3)+(+2)+(-1)=[(-2)+(+2)]+[(+3)+(-1)]=0+2=2。2.2有理数的减法引入：减法是加法的逆运算。例如，我们问“3比5少多少？”，即5-3=2。现在有了负数，(-2)比3少多少？即3-(-2)等于多少？有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。用式子表示为：a-b=a+(-b)理解：*这里的“减去一个数”，这个数可以是正数、负数或0。*减法运算的关键是将其转化为加法运算。*例如：3-5=3+(-5)=-2；3-(-2)=3+(+2)=5；(-4)-(-1)=(-4)+(+1)=-3；5-0=5+0=5；0-(-3)=0+(+3)=3。注意：*在进行减法运算时，要注意两个符号的变化：一是运算符号“-”变为“+”；二是减数的性质符号变为它的相反数。2.3有理数的加减混合运算方法：有理数的加减混合运算，可以统一成加法运算，写成省略加号和括号的形式（代数和形式），然后再进行计算。步骤：1.将减法转化为加法：利用减法法则a-b=a+(-b)，把所有的减号都转化为加号，并且将减数变为它的相反数。2.写成省略加号和括号的形式：例如，(-3)+(+5)-(-7)-(+2)可以写成-3+5+7-2。*这个式子读作“负3加5加7减2”，或读作“负3、正5、正7、负2的和”。3.运用加法运算律进行简便计算：可以运用加法交换律和结合律，将正数与正数相加，负数与负数相加，或者凑整相加等。例题：计算(-20)+(+3)-(-5)-(+7)解：原式=(-20)+(+3)+(+5)+(-7)（减法转化为加法）=-20+3+5-7（省略加号和括号）=(-20-7)+(3+5)（加法结合律，将负数、正数分别结合）=-27+8=-192.4有理数的乘法引入：我们知道2×3表示3个2相加，即2+2+2=6。那么，如果我们把向东走2米记为+2米，那么3次向东走2米，共向东走了6米，即(+2)×(+3)=+6。如果3次向西走2米，共向西走了6米，即(-2)×(+3)=-6。这是正数乘正数、负数乘正数的情况。如果是“-3次”，可以理解为“相反方向的3次”。有理数乘法法则：1.两数相乘：*同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。*任何数同0相乘，都得0。*例如：(+4)×(+3)=+(4×3)=+12；(-5)×(-2)=+(5×2)=+10；(+6)×(-1)=-(6×1)=-6；(-3)×(+4)=-(3×4)=-12；(-7)×0=0；0×(+5)=0。2.多个不为0的有理数相乘：*积的符号由负因数的个数决定：当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负。*再把各个因数的绝对值相乘。*例如：(-2)×(-3)×(-4)=-(2×3×4)=-24（3个负因数，积为负）(-1)×(-2)×(-3)×(-4)=+(1×2×3×4)=+24（4个负因数，积为正）3.几个数相乘，如果其中有一个因数为0，积就为0。*例如：(-2)×0×(-3)=0。乘法运算律：*乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b=b×a。*乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(a×b)×c=a×(b×c)。*乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即a×(b+c)=a×b+a×c。*乘法分配律也可以逆用：a×b+a×c=a×(b+c)。*分配律同样适用于减法：a×(b-c)=a×b-a×c。倒数：乘积是1的两个数互为倒数。*例如：3的倒数是1/3，因为3×(1/3)=1；-2的倒数是-1/2，因为(-2)×(-1/2)=1。*0没有倒数（因为0乘以任何数都为0，不可能得1）。*倒数等于它本身的数是1和-1。2.5有理数的除法引入：除法是乘法的逆运算。例如，6÷2=?，