一次函数的应用课件2025-2026学年冀教版八年级数学下册

20.4一次函数的应用第二十章

一次函数20.4课时1一次函数的应用第二十章

一次函数能根据题目条件确定正比函数或一次函数关系式.能把实际问题抽象成一次函数模型，解决相关问题.一辆客车，准乘20人（包括一名司机和一名乘务员）.这辆客车由A地驶到B地，运营总成本为180元，乘客票价为25元/人.活动1

从文字信息中探究一次函数的应用问题1：(1)这个问题中的变量是什么？票价总收入和客车运营盈利是变量.(2)这个问题中有什么数量关系？客车运营盈利=票价总收入－运营总成本.(3)如果设乘客人数为x时,客车运营盈利y元，求y与x之间的函数关系式.y与x之间的函数关系式为y=25x－180.用关系式法求表达式一辆客车，准乘20人（包括一名司机和一名乘务员）.这辆客车由A地驶到B地，运营总成本为180元，乘客票价为25元/人.问题2：当客车运营盈利120元时,求乘客人数.

当客车运营盈利120元时,有120=25x－180,解得x=12.

要想使客车运营盈利超过170元,只要使25x－180>170即可.

解得x>14.所以，乘客人数至少为15.问题3：要想使客车运营盈利超过170元,则乘客人数至少为多少?由问题1知，客车运营盈利y与乘客人数x之间的函数关系式为y=25x－180，尝试解决下列问题:把函数的问题转化成方程、不等式解决.转化的数学思想利用一次函数解决实际问题，关键是找到题目中的两个变量之间的数量关系，把实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用一次函数的相关性质解决实际问题.常见类型如下：1.题目中已知一次函数的表达式，可直接运用一次函数的性质求解；2.题目中没有给出一次函数的解析式，需要先根据题目给出的信息求出一次函数的解析式，再利用一次函数的性质解决实际问题.某种称量体重的台秤,最大称量是150kg.称体重时,体重x(kg)与指针按顺时针方向转过的角y(°)有如下一些对应数值:活动2

从图表信息中探究一次函数的应用x/kg015405560y/°03696132144y15304560x3672108144O75问题1：请在平面直角坐标系中,分别以上表中的每对对应数值为横坐标和纵坐标，描点连线，画出图象.问题2：求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.问题3：当体重为多少千克时,台秤的指针恰好转到180°的位置?当体重为50kg时,台秤的指针转过的角度是多少度?

要注意结合实际，确定自变量的取值范围.问题2：求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.x/kg015405560y/°03696132144y15304560x3672108144O75问题3：当体重为多少千克时,台秤的指针恰好转到180°的位置?当体重为50kg时,台秤的指针转过的角度是多少度?

已知y的值求x的值

已知x的值求y的值

要求某一函数值的对应的自变量的值时，就是解该函数值所对应的自变量的方程一次函数模型要点：1.学会读表：①看明白x与y之间的对应关系；②从表格中看出y对于x是“匀速”变化的，从而确定是一次函数.2.可以用待定系数法确定该一次函数表达式.3.一次函数表达式确定后，由自变量的值求其对应的函数值，就是求“代数值的值”;由函数值求对应到它的自变量的值，就是要解方程.注意：应用一次函数解决实际问题的关键是建立一次函数模型，同时注意实际问题中自变量的取值范围要使实际问题有意义.1.秤是我国传统的计重工具，其秤砣到秤纽的水平距离y(cm)与秤钩所挂物重x(kg)之间满足一次函数关系.若不挂重物时秤砣到秤纽的水平距离为2.5cm，挂1kg重物时秤砣到秤纽的水平距离为8cm，则当秤砣到秤纽的水平距离为30cm时，秤钩所挂物重为多少千克？

2.春节来临之际，某超市购进一批春联进行销售，经调查发现：在一段时间内，某种春联的日销售量y（副）与售价x（元/副）成一次函数关系，其部分对应值如表所示，请根据表中信息，解答下列问题：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当日销售量为66副时，求这种春联每副的售价为多少元？解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，把（12，60）和（15，54）代入得

解得

所以，y与x之间的函数关系式为y=-2x+84.(2)当y=66时，-2x+84=66，解得x=9.即这种春联每副的售价为9元．

类型文字表述型图表信息型关键找到两个变量之间的数量关系,建立一次函数模型一次函数的应用20.4课时2一次函数的应用第二十章

一次函数能利用一次函数的图象分析、解决简单的实际问题，发展几何直观.初步体会函数与方程的联系.活动1

从图象中获取信息探究一次函数的应用1.某航班托运行李的费用y(元)与托运行李的质量x(kg)之间的关系如图所示.问题1：求y与x之间的函数关系式.问题2：依据（1）中求得的函数关系式，确定该航班可以免费携带行李的质量最多是多少千克.

此时y为多少？2.一森林警察驾驶警车沿公路巡逻，在公路旁的某加油站加满油后，以40km/h的速度匀速行驶.已知警车加满油后，油箱内的余油量y（L)与时间x(h)之间的关系图象是如图所示的直线l的一部分.问题1：求直线l的函数表达式.问题2：警车加满油时，邮箱中的油量是多少升？问题3：已知警车往返的耗油量相同.若要求警车按原路返回加油站时邮箱中的余油量不少于10L，则其巡逻的最远路程是多少千米？2.一森林警察驾驶警车沿公路巡逻，在公路旁的某加油站加满油后，以40km/h的速度匀速行驶.已知警车加满油后，油箱内的余油量y（L)与时间x(h)之间的关系图象是如图所示的直线l的一部分.问题1：求直线l的函数表达式.

2.一森林警察驾驶警车沿公路巡逻，在公路旁的某加油站加满油后，以40km/h的速度匀速行驶.已知警车加满油后，油箱内的余油量y（L)与时间x(h)之间的关系图象是如图所示的直线l的一部分.问题2：警车加满油时，邮箱中的油量是多少升？

2.一森林警察驾驶警车沿公路巡逻，在公路旁的某加油站加满油后，以40km/h的速度匀速行驶.已知警车加满油后，油箱内的余油量y（L)与时间x(h)之间的关系图象是如图所示的直线l的一部分.问题3：已知警车往返的耗油量相同.若要求警车按原路返回加油站时邮箱中的余油量不少于10L，则其巡逻的最远路程是多少千米？

交流讨论：1.第2题中的函数图象与x轴是否相交？说说理由.不相交.当函数图象与x轴相交时，则余油量为0，但是题目中要求警车按原路返回加油站时邮箱中的余油量不少于10L，所以函数图象不能与x轴相交.

利用一次函数图象解决实际问题的方法：1.先看横轴、纵轴分别代表什么变量，从x轴或y轴的实际意义去理解函数图象；再看图象与两坐标轴的交点的实际意义.2.分析已知条件，通过作

x轴或y轴的垂线，在图象上找对一个的点，由点的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值.

3.利用数形结合思想：将“数”转化为“形”由“形”定“数”活动2

认识分段函数及其图象某市出租车的计费方法如图所示，x(km)表示出租车行驶的里程，y(元)表示打车的费用.问题1：若某乘客的乘车里程为2.5km，则他需要付的打车费是多少元?问题1：观察图象可知，当乘客的乘车里程x≤3时，打车的费用均为8元，所以若某乘客的乘车里程为2.5km，则他需要付的打车费是8元.问题2：当x≥3时，求y与x之间的函数关系式.问题3：若某乘客一次打车付费36元，求这位乘客的乘车里程.某市出租车的计费方法如图所示，x(km)表示出租车行驶的里程，y(元)表示打车的费用.问题2：当x≥3时，求y与x之间的函数关系式.当x≥3时,y与x之间的函数关系式为y=kx+b.∵点(3，8)，(5，12)在该函数的图象上，∴解得

∴当x≥3时，y与x之间的函数关系式为y=2x+2.某市出租车的计费方法如图所示，x(km)表示出租车行驶的里程，y(元)表示打车的费用.问题3：若某乘客一次打车付费36元，求这位乘客的乘车里程.∵32元＞8元，∴当y=32时，32=2x+2，解得x=15.

所以，这位乘客的乘车里程是15km.思考：上述问题中的函数由几段组成？你能写出该函数的函数关系式吗？由两段组成，一条水平线段和一条射线.注意写出自变量的取值范围分两段讨论：

当0＜x≤3时，y=8；当x≥3时，y=2x+2.所以，1.分段函数要根据自变量的取值范围分段描述.2.分段函数是一个函数而不是多个函数，求出的分段函数解析式必须写出自变量的取值范围.1.小王从家骑车到公园，她到公园的距离y(km)与骑行时间x(min)的关系如图所示.(1)写出小王到公园的距离y(km)与骑行时间x(min)之间的函数关系式.(2)小王从家到公园用了多长时间？(3)出发8min后，小王离公园还有多远？

2.一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻起开始的4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图，则第8

min时容器内的水量为多少？

3.为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元.（1）求出y关于x的函数解析式.（2）该市一户某月若用水x=10立方米时，求应缴水费.（3）该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量.解：（1）y关于x的函数解析式为：(0≤x≤8)(x＞8)（2）当x=10时，y=2.7×10-11.2=15.8.答：应缴水费为15.8元.3.为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元.（1）求出y关于x的函数解析式.（2）该市一户某月若用水x=10立方米时，求应缴水费.（3）该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量.（3）∵1.3×8=10.4<26.6，∴该用户用水量超过8立方米.∴2.7x-11.2=26.6，解得x=14.答：该户这月用水量为14立方米.3.为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元.（1）求出y关于x的函数解析式.（2）该市一户某月若用水x=10立方米时，求应缴水费.（3）该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量.类型图象型分段函数关键读懂函数图象表示的实际意义一次函数的应用20.4课时3一次函数的应用第二十章

一次函数理解一元一次方程、一元一次不等式与一次函数问题的转化关系.学会根据一次函数的图象解决一元一次方程、不等式的求解问题.甲骑自行车以10km/h的速度沿公路行驶,出发3h后,乙骑摩托车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶,速度为25km/h.由公式s=vt,得①甲离开出发地的路程y甲与x的函数关系式为y甲=10x.自变量x的取值范围为x≥0.②乙离开出发地的路程y乙与x的函数关系式为y乙=25(x-3),即y乙=25x-75.自变量x的取值范围为x≥3.问题1：设甲离开出发地的时间为x(h)，求:①甲离开出发地的路程y甲(km)与x(h)之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.②乙离开出发地的路程y乙(km)与x(h)之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.问题2：在同一平面直角坐标系中，画出(1)中两个函数的图象,并结合实际问题,解释两图象交点的意义.甲骑自行车以10km/h的速度沿公路行驶,出发3h后,乙骑摩托车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶,速度为25km/h.①甲离开出发地的路程y甲(km)与x(h)之间的函数关系式：y甲=10x（x≥0）②乙离开出发地的路程y乙(km)与x(h)之间的函数关系式：y乙=25x-75（x≥3）问题2：在同一平面直角坐标系中，画出问题1中两个函数的图象,并结合实际问题,解释两图象交点的意义.问题1中两个函数的图象如图所示.两个函数图象的交点坐标是(5，50)，即甲出发5h后被乙追上(或乙出发2h后追上甲).此时,两人距离出发地50km.思考：对于题中甲、乙行驶的情况,你能借助图片解释“乙出发多长时间后可以超过甲”这一问题吗?还有其他方法解答这个问题吗?图象法：由图可知，当x>5时，乙的函数图象在甲的图象之上，说明乙超过了甲，此时乙出发2h.代数法：由题意，可得25x-75>10x，解得x>5，所以5小时后乙可以超过甲，此时乙出发2h.y甲=10x（x≥0）y乙=25x-75（x≥3）有些一元一次方程和一元一次不等式问题,可以借助一次函数来考虑.借助一次函数的图象,往往能使方程和不等式的意义更加直观和形象.某电脑工程师张先生准备开一家小型电脑公司,欲租一处临街房屋,现有甲、乙两家出租屋,甲家已经装修好,每月租金为3000元；乙家未装修，每月租金为2000元，但若装修成与甲家房屋同样的规格,则需要花装修费4万元.解:(1)租用甲家房屋时，y甲=3000x；

租用乙家房屋时，y乙=2000x+40000.问题1：设租用时间为x个月,承租房屋所付租金为y元，分别求租用甲、乙两家的租金y与租用时间x之间的函数关系式.问题2：根据求出的两个函数表达式，试判断租用哪家的房屋更合算.解法1:①要使y甲=y乙,就是要使3000x=2000x+40000,解得x=40,即当x=40时,无论租用哪一家，租金都相同.②要使y甲>y乙,就是要使3000x>2000x+40000,解得x>40,即当x>40时,租乙家的房屋更合算.③要使y甲<y乙,就是要使3000x<2000x+40000,解得x<40,即当x<40时,租甲家的房屋更合算.某电脑工程师张先生准备开一家小型电脑公司,欲租一处临街房屋,现有甲、乙两家出租屋,甲家已经装修好,每月租金为3000元；乙家未装修，每月租金为2000元，但若装修成与甲家房屋同样的规格,则需要花装修费4万元.问题2：根据求出的两个函数表达式（y甲=3000x；y乙=2000x+40000），试判断租用哪家的房屋更合算.解法2:在同一平面直角坐标系中，分别画出：y甲=3000x

，y乙=2000x+40000这两个函数的图象.观察图象可知，当租用40个月时，甲、乙两家的租金相同；当租用时间超过40个月时，租乙家的房屋更合算；当租用时间少于40个月时，租甲家的房屋更合算.某电脑工程师张先生准备开一家小型电脑公司,欲租一处临街房屋,现有甲、乙两家出租屋,甲家已经装修好,每月租金为3000元；乙家未装修，每月租金为2000元，但若装修成与甲家房屋同样的规格,则需要花装修费4万元.问题2：根据求出的两个函数表达式（y甲=3000x；y乙=2000x+40000），试判断租用哪家的房屋更合算.一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系：1.从“数”看一次函数y1=k1x+b1,y2=k2x+b2(1)函数值y1=y2时x的值

一元一次方程k1x+b1=k2x+b2的解；(2)函数值y1＞y2时x的值

一元一次不等式k1x+b1＞k2x+b2的解集；(3)函数值y1＜y2时x的值

一元一次不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集.2.从“形”看一次函数y1=k1x+b1（直线l1），y2=k2x+b2（直线l2）(1)直线l1与l2交点的横坐标

一元一次方程k1x+b1=k2x+b2的解；(2)直线l1在l2上方部分的点的横坐标

一元一次不等式k1x+b1＞k2x+b2的解集；(3)直线l1在l2下方部分的点的横坐标

一元一次不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集.1.某单位需租一辆45座大客车，咨询了甲，乙两家出租车公司．甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米15元．乙公司的计费标准：除了每千米10元的里程费外，另有服务费200元（不足1km按1km计算）．设该单位用车里程为xkm,租用甲公司客车的费用为y1元，租用乙公司客车的费用为y2元．（1）y1与x的函数关系式为

；y2与x的函数关系式为

；

（2）假设该单位用车里程为30km,你建议租用哪家公司的客车？请说明理由．（3）用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同？y1=15xy2=10x+200

解：（2）由题意，结合（1）可知，当x=30时，y1=15×30=450，y2=10×30+200=500，∵500＞450，∴建议租用甲公司的客车.（3）由题意，结合（1），令y1=y2，∴15x=10x+200，∴x=40．答：当用车里程为40千米时，两家出租车公司的费用相同．2.在一条笔直的公路上有A,B,C三地,C地位于A,B两地之间,甲、乙两车分别从A,B两地出发,沿这条公路匀速行驶至C地停止.从甲车出发至甲车到达C地的过程,甲、乙两车各自与C地的距离y(km)与甲车行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示,当甲车出发

h时