【《频变耦合滤波器综合理论基础概述》5200字】

频变耦合滤波器综合理论基础概述目录TOC\o"1-3"\h\u32183频变耦合滤波器综合理论基础概述 193001.1广义切比雪夫滤波器综合 1120271.2频变耦合滤波器耦合矩阵综合理论 3103021.2.1具有频变耦合的交叉耦合滤波器综合 3293751.2.2具有频变耦合的直线型拓扑滤波器综合 6108971.1.3频变耦合系数提取 11201071.3耦合矩阵的优化提取 1230721.3.1基于耦合矩阵中非零元素的优化 12298001.3.2基于耦合矩阵的特征值的优化 13169031.3.3基于相似变换中耦合矩阵旋转角度的优化 14耦合矩阵作为建立物理结构与理论之间的重要参数，在设计和优化谐振腔滤波器的时候都需要先求得相关耦合矩阵。经典的耦合矩阵综合方法由Cameron在1999年提出[3]，其次Amari首先提出的优化技术[6]也经过后人的研究不断地丰富。本章首先介绍经典的矩阵综合方法。以此为基础，将频变耦合考虑到滤波器综合过程，阐述具有频变耦合的滤波器耦合矩阵综合理论。接着总结目前所有针对耦合矩阵的计算机优化算法，并利用直接优化的方法简化综合步骤。相关综合理论均通过MATLAB编写程序实现，并给出实例验证。1.1广义切比雪夫滤波器综合对于广义切比雪夫滤波器传输函数： (2.1)其中，为广义切比雪夫函数，，ε是带内波纹系数，ω为归一化实频率变量，ωk是第k个传输零点，N为滤波器的阶数。对于广义切比雪夫函数，当，；当，；当，。当所有传输零点ωk→∞时，将退化成传统的切比雪夫滤波器。图2.1无耗二端口滤波网络对于任意N阶二端口滤波网络，如图2.1所示，传输函数和反射函数可以用多项式的比值表示： ， (1.2)E(ω)、F(ω)、P(ω)是对最高项系数归一化后的多项式，最高项系数都为1。F(ω)的根表示反射零点，P(ω)的根表示有限传输零点，E(ω)的根表示滤波器的极点。P(ω)的幂次小于等于E(ω)。如果用复频率变量s表示，则归一化实频率变量ω存在关系s=jω。ε是波纹系数，由带内回波损耗(ReturnLoss，RL)定义如下： (1.3)εr是一个常数，当有限传输零点个数小于N时，εr=1；当有限传输零点个数等于N时，同ε存在以下关系，其值大于等于1： (2.4)根据已知有限传输零点、滤波器阶数和回波损耗，通过递归的方法[3]推导出广义切比雪夫函数滤波器P(ω)、F(ω)、E(ω)多项式，继而求得传输和反射函数，得到S21和S11的特性。相关理论均已通过MATLAB实现，后面1.2、1.3节将给出具体实例。微波滤波器综合就是求取网络中元件参数值，利用微波结构实现。耦合矩阵中的元素都与滤波器物理结构关系一一对应，耦合矩阵的大小一般是N×N阶(不包含源和负载)和(N+2)×(N+2)阶(包含源和负载)。N+2阶相比N阶矩阵，包含了源和负载的耦合，其次传输零点的个数最多可为N个，而N阶矩阵最多为N-2个。N+2阶可以退化到N阶耦合矩阵，所以这里只需讨论N+2阶耦合矩阵即可。综合滤波器网络导纳函数Y对于求解参数至关重要。一般地，可以通过多项式和等效电路同时确定导纳函数Y，两种方法确定的Y相等。通过对比，可以确定构造N+2阶横向耦合矩阵的3N+1个元素，包括留数r21k、r22k，特征值λk以及源和负载端的耦合MSL。下面直接给出确定耦合矩阵的方法，推导过程可以查阅文献[5]，这里不再赘述。 ，，, ，(k=1,2,…N). (2.5)图1.2N+2阶横向耦合矩阵获得如图1.2所示初始横向矩阵后，通过矩阵相似变换或优化技术，可以实现物理拓扑对应的耦合矩阵。至此耦合矩阵的综合过程完成。1.2频变耦合滤波器耦合矩阵综合理论1.2.1具有频变耦合的交叉耦合滤波器综合S.Amari最早通过使用经典的逆变器理论近似设计，然后对其进行优化，设计符合要求的频率相关耦合部分，生成有限频率的衰减极点。2008年，S.Amari等人建立了不包含源和负载耦合的N阶滤波器的等效电路和N+2阶耦合矩阵。假设相邻谐振器间存在线性频变耦合，则两个相邻谐振器中原来不随频率变化的耦合系数M0ij转换为随频率变化的线性耦合系数Mij，表达式为：Mij=aijω+M0ij。 (2.6)其中ω是归一化频率变量，M0ij和aij为常数，Mii+ω为谐振器频率偏移，Mij代表谐振器间线性频率耦合系数。S.Amari等人给出了频变耦合的线性函数表达形式，但是却没有给出具体的综合方法。L.Szydlowski在传统的滤波器综合基础上，提出了通用的综合方法[43]，利用预先定义的拓扑结构，综合得到频变耦合矩阵。 (2.7) (2.8)公式(2.7)-(2.8)给出了耦合矩阵与散射参数S之间的关系。以上初始矩阵M、R和I均为N阶，其中M为耦合矩阵，矩阵R的R11=R1和RNN=RN其余部分为0，I是单位矩阵。M′是删除M最后一行和列的上对角子矩阵，I′为N-1阶的单位阵。M′′、R′′和I′′删除了M′、R′和I′的第一行和最后一列。考虑电路中频变耦合部分，则上述式子变成以下形式： (2.9) (2.10)其中，M1是对称的N阶矩阵，如式(2.6)在主对角线元素表示谐振器频率偏移，非对角线上的元素表示谐振器之间线性频变耦合分量。M1′和M1′′的变换与上面方法相同。 (2.11) (2.12)定义线性约束条件(2.11)-(2.12)提取优化所需广义特征值，散射参数的极点对应式(2.11)的特征值，传输零点的位置对应式(2.12)的特征值。L(λ)对应线性矩阵方程(A-λB)，其中A、B均为方阵，λ是det(A-λB)=0的广义特征值。用S11的零点来补充特征值集合，可以将公式(2.9)-(2.10)转换成： (2.13) (2.14)所以，耦合矩阵的综合就是求解带有预期传输零点的多项式F和G。得到频变耦合矩阵解析式后，可以通过特征值逼近优化(1.3.2节)得到特征向量，求解出满足指标的耦合矩阵。耦合矩阵也可以通过矩阵非零元素和旋转角度逼近优化，具体后续优化方法将在1.3小结给出。实例1：阶数N=5；实频率下的传输零点TZs=[-1.3,-1.6,1.4,1.9]；回波损耗RL=20。根据上述理论求得多项式如下，S参数响应曲线如图1.3：耦合矩阵为：(a) (b)图1.3三阶交叉耦合滤波器(a)拓扑结构(b)S参数响应曲线1.2.2具有频变耦合的直线型拓扑滤波器综合相比于交叉耦合和非谐振节点方法，具有频变耦合的直线型拓扑滤波器，只包含谐振单元之间的耦合，与相同阶数滤波器对比，直线型的耦合数量是最少的。同时引入的频率相关耦合变量具有独立可控性，由其产生的传输零点亦可独立控制。因此在实现滤波器小型化、后期调优、物理电路实现等方面具有很大优势。2018年，何鱼行提出了具有频变耦合的直线型拓扑滤波器综合，实现非相邻耦合单元间的频变，并在2019年将此过程推广到相邻耦合单元频变耦合。相邻与非相邻频变耦合综合步骤相似。其不同点在于：初始拓扑结构不同(从横向拓扑出发综合非相邻频变，从轮状拓扑出发综合相邻频变)；缩放前拓扑结构不同(级联三角形结构个数不同)。如图2.4所示，为非相邻频变耦合单元间的综合过程。本文作者对这两种综合步骤都进行了编程实现，相邻频变是在非相邻频变的综合基础上改进，故这里给出基础的直线型拓扑综合方法，对相邻频变不再赘述，可查阅文献[49]。对于N阶滤波原型内部低通频率ω下的导纳矩阵A，可以写成： (2.15)其中，矩阵M是耦合矩阵，M1,1=MN+2,N+2=0，其余元素一般为非零常数；C是频率变量矩阵，主对角线元素C1,1=CN+2,N+2=0，主对角线元素为1，对应位置为谐振器；主对角线元素为0表示非谐振；非对角线元素为非零常数，表示频变耦合；非对角线元素为零，表示常数耦合。G是终端导纳矩阵，负载归一化下，G1,1=GN+2,N+2=1，其余元素为零。综合具有频变耦合的直线型拓扑滤波器，首先根据2.1节得到N+2阶横向耦合矩阵，如图2.4(a)。接着利用相似变换依次得到图2.4(b)多个级联三角形(CT)元件的电路和图2.4(c)格型拓扑电路。当然也可以通过1.3节优化的方法直接优化得到缩放前图2.4(c)的格型拓扑耦合矩阵，极大简化综合过程。图2.4非相邻频变耦合直线型拓扑综合步骤对于相似变换，引入定义为图2.5的旋转矩阵R。初始导纳矩阵A0的相似变化就是在左右两端分别乘以R和RT，表示为(2.16)，显然耦合矩阵M发生了变化，而G和C没有改变。 (2.16)图2.5七阶旋转矩阵，支点[3,5]，旋转角度θr设定不同的旋转角度θr，通过特定的顺序便可以消除矩阵中不同的元素，多次旋转后可以得到特定的拓扑，以[i,j]为轴，旋转角度如下： ,消除Mik (2.17a) ,消除Mjk (2.17b) ,消除Mki (2.17c) ,消除Mkj (2.17d) ,消除Mii或Mjj (2.17e) ,消除Mij (2.17f)接下来对每个格型结构进行频率变量缩放。传统的谐振单元频率变量均为1，通过缩放，频率变量C和耦合矩阵M均会发生变化。这里定义缩放因子αk，缩放矩阵为U。对于第k个谐振单元，缩放因子为： (2.18) (2.19)缩放后得到的新的导纳矩阵A2，经过缩放的C1对应某些频率变量部分不再是1： (1.20)最后再次进行相似变换，通过一次变换消除掉两个格型交叉耦合，最终得到图1.3(e)的频变直线型拓扑，箭头部分表示频变耦合。此步的旋转变换以[i,j]为轴，旋转角度为θb。经过综合过程的频率变量矩阵C2不再是一个对角阵，主对角线外的非零元素对应频变耦合斜率参数。可以通过归一化使C2变成对角阵，相应的M3也要归一化。此时，便得到所求耦合矩阵。 (1.21) (1.22)实例2：阶数N=5；实频率下的传输零点TZs=[-1.5,2.1]；回波损耗RL=22。根据上述理论求得多项式与耦合矩阵结果如下，S参数响应曲线如图所示。特殊的，综合过程中初始CT拓扑不同，则会得到不同的耦合矩阵，但S参数响应一致。多项式如下： (a) (b)图2.6初始级联CT拓扑结构(a)拓扑结构1(b)拓扑结构2拓扑结构1对应耦合矩阵：拓扑结构2对应耦合矩阵：图2.7五阶直线型滤波器拓扑结构由拓扑结构1综合得到的直线型拓扑耦合矩阵：由拓扑结构2综合得到的直线型拓扑耦合矩阵：图2.8五阶直线型滤波器S参数响应1.1.3频变耦合系数提取通过以上两小节的综合过程，得到归一化低通滤波原型对应的耦合矩阵。在进行等效电路综合设计之前，需要对其进行反归一化(将耦合系数对应到实际的电路耦合)，提取出电路耦合系数。以中心频率为f0，绝对带宽为BW的带通滤波器为例，低通原型反归一过程如下。其中Kij表示耦合系数，Mij对应耦合矩阵中第i行第j列数值。低通原型中第k个谐振单元可以由(ck,bk)表示，ck代表谐振器电容值(值为1)，bk是与频率无关的电纳。非谐振节点的电容值为0，可表示为(0,bk)。当i，j为谐振单元： (1.23)当i为谐振单元，j为非谐振节点： (1.24)当i，j为非谐振节点： (1.25)反归一化后低通谐振单元对应的频率： (1.26)考虑负载的反归一化，源和负载导纳为，有载Q值可以表示为，其中i表示与源或负载相连的单元： ，i为谐振器 (1.27) ，i为非谐振节点 (1.28)1.3耦合矩阵的优化提取在得到滤波器响应的多项式后，确定滤波器的拓扑结构，便可以通过优化求解耦合矩阵。优化一般分为局部最优和全局最优。局部最优，就是在函数值空间的一个有限区域内寻找最小值；而全局最优，是在函数值空间整个区域寻找最小值问题。函数局部最小点是指函数值小于或等于附近的点，但有可能是较远距离的点。全局最小点是指函数值小于或等于所有的可行点。1.3.1基于耦合矩阵中非零元素的优化考虑广义切比雪夫原型是频率的有理函数，所以可由其极点和零点的位置以及一个额外的缩放常数唯一指定。由于滤波函数的零点与S11零点相同，其极点与S21的零点相同，在对应的频率点上是相等的。因此，定义目标函数： (1.29)其中，ω′zi和ω′zi分别是滤波函数的零点和极点。在这个优化过程中，由于频率变量的引入，耦合矩阵的某些非零元素随频率变化，对文献中优化变量改进可得到一次频变耦合系数的偏导数公式。对于N阶矩阵，R1和RN代表了其终端值，因子中均为Mpq和Cpq均为常数，相关梯度定义如下。本文提取的耦合矩阵均为一次频变，对于含高次频变耦合系数的耦合矩阵需要对下列公式进行改进，如三次频变因子部分应为形式。 (1.30) (1.31) (1.32) (1.33)1.3.2基于耦合矩阵的特征值的优化基于矩阵特征值逼近优化耦合矩阵，就是求解其满足指标的特征向量。将求解频率相关耦合矩阵等效为非线性最小二乘优化问题，其目标函数定义为： (1.34)λ0为散射参数根的集合或初始横向矩阵特征值，λ为优化过程中矩阵的特征值，H代表Hermitian转置。定义线性约束条件(1.35)-(1.37)，可以发现多项式E的根(传输奇点或散射参数极值点)是式(1.35)的特征值，多项式P的根(传输零点或传输函数零点)对应式(1.37)的特征值。定义由（1.35）的特征值构成新型多项式D，多项式F的根(反射零点或反射函数零点)对应多项式G=D-E的根。 (1.35) (1.36) (1.37)优化算法的梯度可以加快优化速度。求解广义特征值中对耦合矩阵元素微小变化的灵敏度，第i个特征值对应矩阵M1的第j行和k列元素的灵敏度(特征值与耦合矩阵元素之间的关系式)： (1.38) (1.39)其中T和T1是(N-1×N-1)矩阵，(j，k)元素为1，其它都为0。wi和xi左右向量。矩阵R′′的灵敏度和上式相似，不同之处是要乘以-j。1.3.3基于相似变换中耦合矩阵旋转角度的优化得到初始耦合矩阵后，使用1.2.2节中的相似变换，消除变换前耦合矩阵中不需要的元素，同时保持矩阵的相似性与对