数据、模型与决策第9章项目安排：计划评审法关键路径法

第9章项目安排：计划评审法/关键路径法

很多情况下，项目的计划、安排和控制工作都是由管理人员负责的，这些活动包括大量独立的工作或由许多部门和个人负责的任务，通常这些项目都非常庞大而复杂，管理人员不太可能记住与项目相关的计划、安排以及进展的所有信息。此时，计划评审法（PERT）和关键路径法（CPM）就显得至关重要。

计划评审法和关键路径法可用来对大量项目进行计划、安排和控制：新产品及工艺的研发；工厂、建筑物及高速公路的建造；大型复杂设备的维护；新系统的设计与安装。在诸如此类的项目中，为使整个项目按时完成，项目经理必须对众多的工作或活动进行适当的安排协调。在执行这些任务的过程中，一个复杂的因素就是这些活动的相互依赖性。例如，有些活动只有在其他一些活动完成之后才能开始。由于很多项目可能包含数以千计的活动，项目经理就必须找出一些能够帮助他们回答下列问题的方法：完成该项目总共需要多少事件？每一特定活动的开始和完成日期？为了保证项目按计划进行，哪些活动是“极为重要的”，必须严格按计划完成？“不重要”的活动最多可延时多长时间完成，而不致影响整个项目的完成时间？计划评审法和关键路径法可以帮助回答这些问题。

尽管计划评审法和关键路径法的目的大致相同且运用了很多相似的术语，但两种技术的发展确实是相互独立的。计划评审法是20世纪50年代后期特别为北极星导弹项目而设计的，这个项目中的很多活动之前从没有尝试过，所以人们设计了计划评审法来解决活动时间的不确定性。关键路径法主要为活动时间已知的工业项目而设计。运用关键路径法允许通过增加员工或资源来减少活动时间，但通常都会导致成本上升。因此，关键路径法一个最显著的特点就是可以帮助平衡不同项目的活动时间和成本。

如今，电子版本的计划评审法和关键路径法已经综合了这两种方法的优点。因此，也就没有必要对这两种方法进行区分了，这也正是我们在本章中将计划评审法和关键路径法这两种技术看做一个整体来讨论项目安排过程的原因。在进行深入的讨论之前，我们先来考虑一下西山购物中心扩张这个项目。在第9.1节末尾，我们描述了Seasongood&Mayer证券投资公司是如何运用计划评审法和关键路径法来安排3100万美元医院收入债券承销项目的。9.1活动时间已知的项目安排

西山购物中心的所有者正在计划对现有的32个商业中心进行现代化改革并扩张规模,该项目预计能为8~10个新的商业购物中心提供空间.通过私人投资,资金已安排到位,所有者要做的只是计划\安排和完成这个扩张项目.让我们看看计划评审法和关键路径法能够帮助我们做些什么.

计划评审法和关键路径法的第一步就是要为项目的所有活动列出清单,表9-1给出了西山购物中心扩张项目的活动清单.为了便于以后参考,表9-1对9项活动进行了描述,并注明了各项活动的紧前活动和活动时间（周）。活动活动描述紧前活动活动时间A画出建筑图

—5B识别潜在新客户

—6C为客户写计划书

A4D选承包商

A3E准备建筑许可

A1F获得建筑许可

E4G施工

D,F14H招商

B,C12I客户进住

G,H2总计

51

表9-1的最后一栏列出了完成每项活动需要的时间。例如，活动A需要5周，活动B需要6周，等等。完成所有活动共需51周，因此，你可能会认为完成项目的时间就是51周。但是，我们知道，由于存在两项或多项活动可以同时进行，因此可以缩短整个项目的完成时间。计划评审法和关键路径法将为我们提供一份详细的活动安排，使得项目能够在可能的最短时间内完成。

根据表9-1中给出的紧前活动信息，我们可以构造一个项目图，也称为项目网络图。图9-1就是西山购物中心的项目网络图。网络中的节点代表明每项活动（用长方形表示），弧（用箭线表示）代表各项活动之间的优先顺序。此外，网络中还添加了两个节点，表示项目的开始和结束。项目网络图能够形象地表示各活动之间的关系，是管理人员执行计划评审法和关键路径法的估算基础。开始A画建筑图B识别新客户C写计划书D选承包商E准备建筑许可F获得建筑许可G施工H招商I客户进住完成

图9-1西山购物中心项目网络图9.1.1关键路径的概念为了易化计划评审法和关键路径法的估算，我们对项目网络图做了一些改动，如图9-2所示。注意，在每个节点左上方单元格中都给出了该活动的字符代码，而在其下方单元格中则列出了完成活动需要的时间。为了确定完成项目需要的时间，我们必须对项目网络进行分析，并找出网络中所谓的关键路径。然而，在这之前，我们需要对通过网络的路径下个定义。路径就是从起点到终点之间相连节点的序列。

例如，图9-2中的节点序列A—E—F—G—I就可以被定义为该网络中的一条路径。观察一下，我们还可以找出其他一些可行的路径，如A—D—G—I、A—C—H—I和B—H—I。为了完成整个项目，网络中的所有路径都必须相互横越，因此我们需要找出其中的最长路径。由于其他路径持续时间都相对较短，因而最长路径就决定了完成项目所需的全部时间。如果最长路径上的活动被延误，那么整个活动完成的时间就会被延误，因此这条最长路径就是我们要找的关键路径。关键路径上的活动称做项目的关键活动。接下来，我们将讨论如何在项目网络中找到关键路径。A5G14C4B6D3E1F4I2H12开始完成

图9-2带活动时间的西山购物中心项目网络图9.1.2确定关键路径首先，我们找出网络中具有最早开始时间和最晚开始时间的活动。设：

ES——一项活动的最早开始时间；

EF——一项活动的最早完成时间；

t——活动时间。对于任何活动，最早完成时间为：

EF=ES+t（9-1）因为活动A可与项目一同开始，所以我们设活动A的最早完成时间为0。而完成活动A需要5周时间，所以活动A的最早完成时间为EF=ES+t=0+5=5。

我们将每项活动的最早开始时间和最早完成时间写到节点处的右侧单元格中。以活动A为例，我们有：

A055最早开始时间最早完成时间

由于每一活动在其紧前活动没有完成的情况下是不能够开始的，所以我们可以利用如下规则确定每项活动的最早开始时间。每项活动的最早开始时间等于所有紧前活动最早完成时间的最大值。

我们为图中所有的活动建立最早开始时间和最早完成时间。图9-5显示了西山购物中心项目网络结构图中所有活动的最早开始时间和最早完成时间。注意，图中的最后一项活动I的最早完成时间是26，因此我们知道整个项目的完成时间就是26周。

A05505G1024141024C594812B066612D583710E56156F6104610I242622426H921121224开始完成图9-5显示所有活动最早开始时间和最早完成时间的西山购物中心项目网络图

现在我们通过在项目网络图中向后逆推（也叫反推法）找出关键路径。因为项目的总完成时间为26周，那么我们就应从具有最晚完成时间（26周）的活动I开始向后逆推。一旦知道了某项活动的最晚完成时间，我们就可以通过下述公式计算其最晚开始时间。设：LS—每项活动的最晚开始时间；LF—每项活动的最晚完成时间得LS=LF-t（9-2）向后逆推时，我们先从活动I入手。我们知道活动I的最晚完成时间是LF=26，活动时间是t=2。因此，活动I的最晚开始时间就应该为LS=LF-t=26-2=24。我们将得到的最晚开始时间LS和最晚完成时间LF直接写在节点I最早开始时间（ES）和最晚完成时间（EF）下面的空格中。故，对于节点I，我们有:如下规则可以用来确定网络中每项活动的最晚完成时间。一项活动的最晚完成时间等于其所有紧后活动最晚开始时间的最小值。从逻辑上来说，这个规则说明了一项活动的最晚完成时间应等于所有随后发生活动的最小的最晚完成时间。

I242622426最晚开始时间最晚完成时间

按照向前逆推的方法对每项活动计算最晚开始时间（LS）和最晚完成时间（LF），可得到如图9-6所示的完整网络。我们可以运用上述最晚完成时间规则对活动H的LS和LF值进行验证。活动H的最晚完成时间必然等于活动I的最晚开始时间。因此我们得到活动H的最晚完成时间LF=24。由式（9-2）可知，活动H的最晚开始时间LS=LF-t=24-12=12。与图9-6中节点H的值比较，可验证其结果的正确性。A05505G1024141024C594812B066612D583710E56156F6104610I242622426H921121224开始完成

图9-6节点中显示最晚开始时间和最晚完成时间的西山购物中心网络图

活动A对于最晚开始时间规则的应用更为复杂。首先，活动A有3个紧后活动（C、D和E）。由图9-6可知，活动C、D和E的最晚开始时间分别为LS=8，LS=7，LS=5.根据最晚完成时间规则，我们知道活动A的最晚完成时间就应该是活动C、D和E最晚开始时间的最小值。因为活动E具有最小的最晚开始时间5，我们得到活动A的最晚开始时间为LF=5。下面来对活动A及图9-6其他各项活动最晚开始时间和最晚完成时间进行验证。

再向前推进和向后逆推的工作之后，我们就可以确定每项活动相关松弛的量了。松弛是指延误某项活动的活动时间而又不会影响项目整体完工时间的时间长度。每项活动松弛的量可以用如下公式计算：松弛=LS-ES=LF-EF例如活动C的松弛为LS-ES=8-5=3（周）。因此，活动C最多可延误3周完成，而又不会影响整个项目的计划完成时间。就这个意义来说，活动C对于项目能否按期完成并不重要。下面我们来考虑一下活动E。根据图9-6提供的信息，我们可以很容易得到活动E的松弛为LS-ES=5-5=0。因此，我们说活动E的松弛为0。也可以说活动E没有松弛。为哦了不增加整个项目的完成时间，活动E是不能被延误的。换句话说，按照计划完成活动E对于按预定计划完成整个项目是重要的。一般而言，重要活动就是指没有松弛的活动。

根据图9-6提供的每项活动的开始时间和完成时间，我们可以为所有活动的开始时间和完成时间制定具体的安排。将有关活动安排的所有信息以表格的形式列出，如表9-2所示。从松弛栏可以看出，活动A、E、F、G和I没有松弛，因此这些活动是项目的重要活动，而由这些节点构成的路径A-E-F-G-I就是西山购物中心项目网络的关键路径。图9-2中的详细活动安排表明，这些关键活动之前的非关键活动所能容忍的最大松弛或延误时间会增加整体项目的完工时间。

表9-2西山购物中心项目活动安排活动最早开始时间（ES）最晚开始时间（LS）最早完成时间（EF）最晚完成时间（LF）松弛（LS-ES）

关键路径？ABCDEFGHI0055561092406875610122456986102421265121210610242426063200030是---是是是-是9.1.3PERT/CPM的作用前文中我们提到项目经理需要找到能够回答与项目的计划、安排及控制有关问题的方法。现在，我们根据在关键路径的计算中获取的信息重新考虑这些问题。1.项目需要多长时间完成？答：如果每项活动都能够按计划完成那么完成这个项目需要26周的时间。2.如何安排每项活动的开始时间和完成时间？答：活动安排（见表9-2）说明了每项活动的最早开始时间、最晚开始时间、最早完成时间和最晚完成时间。3．为了按计划完成整个项目，哪些活动是重要的，需按时完成？答：A、E、F、G和I是关键活动。4.在不重要的活动引起项目整体完成时间延迟之前，它们最多能被延误多长时间？答：活动安排（见表9-2）说明了每项活动的松弛。对任何项目的管理，这些信息都是非常重要的。虽然更为大型的项目可能需要投入更多的努力去发现活动的紧前活动关系和评估活动时间，但计划评审法和关键路径法的过程及作业应用于更大型的项目时，和西山购物中心扩张项目完全一样。专栏9-1描述了一项由23项活动组成的，关于承销3100万美元医院收入债券的项目。运用计划评审法和关键路径法可以识别出所有关键活动，识别出完成项目需时29周，以及整个项目按时完成每项活动必要的开始时间和完成时间。★★★ACTIVITYSCHEDULE

★★★ACTIVITYEARLIEST

STARTLATESTSTARTEARLIESTFINISHLATESTFINISHSLACKCRITICALACTIVITYABCDEFGHI0055561092406875610122456986102421265121210610242426063200030YESYESYESYESYES

CRITICALPATH:A-E-F-G-IPROJECTCOMPLETIONTIME=26图9-7使用管理科学家软件对西山购物中心问题求解

最后，计算机软件包可以用来执行计划评审法和关键路径法的所需步骤。图9-7描述了用管理科学家软件包求出西山购物中心扩张项目的活动安排。我们需要做的就是输入所有的活动、紧前活动信息和预计完成时间。输入这些信息并求出关键路径和活动安排，只需几分钟时间。9.1.4PERT/CPM关键路径程序小结在结束这部分内容之前，我们先来总结一下PERT/CPM关键路径程序。第1步：列出组成项目的活动清单。第2步：确定每项活动的紧前活动。第3步：估计每项活动的完成时间。第4步：画出项目网络图，描述在第1步和第2步中列出的活动及紧前活动。第5步：利用项目网络图和活动时间估计，通过向前推进的方法，确定每项活动的最早开始时间和最早完成时间。最后一项活动的最早完成时间也就是项目完成的的时间。第6步：将在第5步中求出的项目项目完成时间最为最后一项活动的最晚完成时间，利用向后逆推得方法，确定每项活动的最晚开始时间和最晚完成时间。第7步：比较每项活动的最早开始时间和最晚开始时间，确定松弛。第8步：找出所有松弛为0的活动，这些活动就是关键活动。第9步：利用第5步和第6步中获取的信息作为项目设计活动安排。9.2活动时间不确定的项目安排

在这一部分，我们将考虑涉及新产品研发问题的项目安排。因为在项目进行过程中会有很多不可预测的活动发生，所以项目经理就必须将活动时间中的不确定请纳入考虑范围。现在让我们来看看在活动时间不确定的情况下如何安排项目。

9.2.1道特公司的Porta-Vac项目多年以来，道特公司一直从事于工业真空吸尘器清洁系统的制造。最近，新产品开发小组中的一名组员提交了一份报告，建议公司制造无绳吸尘器。这种被称为Porta-Vac的产品可以帮助道特公司进入家用产品市场。公司管理层希望能够以合理的成本生产这种产品，并且希望凭借其可携带性和无绳的方便性而能够得到广大消费者的青睐。

道特公司管理层希望最这种产品制造的可行性进行研究，以便决定是否生产该产品。为了完成可行性研究，公司需要从研发部、产品测试部、生产部、成本估计部和市场调查部获取足够的信息。可行性研究需要多长时间？下面，我们将对该问题进行讨论并绘制项目的时间安排表。活动时间估计的准确性随活动安排具有重要影响。如果活动时间具有不确定性，那么如下3种时间估计——乐观、最可能和悲欢时间——就迫使在确定关键活动和活动安排是将不确定性考虑在内。这个方法是PERT的设计者设计的。和前面一样，项目计划进程的第1步仍然是识别组成项目的所有活动，并为每项活动指定紧前活动。Porta-Vac的相关数据见表9-3。

表9-3Porta-Vac

项目活动列表活动描述紧前活动活动描述紧前活动ABCDE设计产品市场调查计划安排(生产工程)建造原型模型准备营销说明书--AAAFGHIJ准备成本估算(工业工程)初步产品测试市场调查准备定价和预测报告准备最终报告CDB、EHF、G、I开始A产品设计B市场调查计划E营销说明书D建造原型模型C安排F成本结算G初步产品测试H市场调查I定价和预测完成图9-8Porta-Vac

无绳真空吸尘器项目网络图

J最终报告9.2.2不确定的活动时间在设计了项目网络图之后，我们现在需要获取有关完成每项活动所需时间的信息。这些信息会帮助我们设计完成项目所需的总时间和安排特定活动。对于重复性活动，如建造和维护项目，项目经理一般都拥有这方面的经验和历史数据，因此可以准确估计活动时间。然而，对于一些新项目或较独特的项目，要确定这些活动的完成时间就会变得非常困难。事实上，很多情况下，活动时间都不是确定的，对于这些项目最好能够用一个适当的值域来描述，而不是一个具体的预计值。这时，不确定的活动时间常被看做与概率分布相关的任意变量。因此，我们需要对满足特定项目完成时间的能力进行概率描述。

为了对不确定活动时间进行分析，我们需要获取每项活动的三个估算时间：乐观时间a——每项活动都能顺利进行的最小活动时间；最可能时间m——一般状态下最可能的活动时间；悲观时间b——遭遇重大延误时的最大活动时间。为了说明不确定活动时间项目的PERT/CPM程序，我们假设Porta-Vac项目中各项活动的乐观时间、最可能时间和悲观时间如表9-4所示。例如活动A，我们可以看到其最可能时间为5周，而活动A的实际活动时间将在乐观时间（4周）和悲欢活动时间（12周）之间波动。如果活动A将要重复很多遍，那么活动的平均时间会是多少呢？活动的平均时间或期望时间为：对于活动A，其平均时间或期望时间为：对于时间不确定的活动，我们可以用方差来描述活动时间值的差异或变更。活动时间的方差可以用下式表示：

（9-5）

（9-5）悲观时间（b）和乐观时间（a）估计的差异大大影响了方差的值，两者之间的差异越大，说明活动时间的不确定性越大。利用式（9-5），我们可以测量一项活动的不确定性，即活动A的时间方差可以表示为σA2：

式（9-4）和式（9-5）是建立在活动时间服从β概率分布二的基础上。基于这种假设，完成活动A所需时间的概率分布如图9-9所示。利用式（9-4）和式（9-5）以及表9-4中的数据，我们可以计算Porta-Vac项目网络图。表9-4

Porta-Vac项目的乐观，最悲观和悲观时间（周）活动乐观时间（a）最可能时间（m）悲观时间（b）活动乐观时间（a）最可能时间（m）悲观时间（b）A４５１２Ｆ１.５２２.５B１１.５５Ｇ１．５３４.５Ｃ２３４Ｈ２.５３.５７.５Ｄ３４１１Ｉ１.５２２.５Ｅ２３４Ｊ１２３表９-5Porta-Vac项目活动的期望时间和方差活动期望时间（周）方差活动期望时间（周）方差Ａ６１.７８Ｆ２０.０３Ｂ２０.４４Ｇ３０.２５Ｃ３０.１１Ｈ４０.６９Ｄ５１.７８Ｉ２０.０３Ｅ３０.１１Ｊ２０.１１合计３２9.2.3关键路径当我们知道了项目网络图和每项活动的期望活动时间之后，就可以开始确定项目的关键路径，以便确定完成整个项目的期望活动和活动时间表。在进行计算时，我们将表9-5中的期望活动时间视为固定值或已知量。因此，我们可以用第9.1节介绍的求解关键路径的方法来确定Porta-Vac项目的关键路径。在确定了关键活动和项目期望时间之后，我们要分析活动时间方差的影响。A06606G111431215E69469B02279D6113712C6911013F91121315I131521315H91312913开始完成

图9-10J1517141517在图9-10中，利用向前推进法，我们可以求出每项活动的最早开始时间（ES）和最早完成时间（EF），ES和EF的值如图9-11所示。需要注意的是，最后一项活动J的最早完成时间是17周。因此，项目的期望完成时间就是17周。然后，我们再利用向后逆推法，求出每项活动的最晚开始时间（LS）和最晚完成时间（LF），结果如图9-12所示。

A06606G111431215E69469B02279D6113712C6911013F91121315I131521315H91312913开始完成图9-11附最早开始时间和最早完成时间的Porta-Vac项目网络图J1517141517A06606G111431215E69469B02279D6113712C6911013F91121315I131521315H91312913开始完成

图9-12附最小最早开始时间和最早完成时间的Porta-Vac项目网络图J1517141517Porta-Vac项目的活动时间安排如表9-6所示。需要注意的是，表9-6还列出了每项活动的松弛时间（LS-ES）。松弛为0的活动（A，E，H，I和J）构成了Porta-Vac项目网络的关键路径。活动最早开始时间（LS）最晚开始时间（ES）最早完成时间（EF）最晚完成时间（LF）松弛（LS-ES）关键路径？A00660是B07297—C6109134—D6711121—E66990是F91311154—G111214151—H9913130是I131315150是J151517170是表9-69.2.4项目完成时间的方差我们知道Porta-Vac项目的关键路径A—E—H—I—J决定了项目的总体期望完成时间为17周。但是，关键路径上活动时间的方差可能会导致项目总体完成时间的方差。非关键路径上的活动即使有方差也不会影响项目的总体完成时间，因为这些活动都具有松弛。然而，当非关键路径上的活动被延误的时间过长就会导致其松弛增加，这项活动就可能成为项目新的关键路径活动，并因此使整个项目的期望完成时间增加。如果关键路径活动的整体完成时间超过了期望完成时间，那么就会导致项目的总体的完成时间增加，反之，如果关键路径活动的整体完成时间比预计时间要短，那么就会相应缩短项目总体的完成时间，除非其他活动成为新的关键活动。下面，我们用关键路径活动的时间方差来却低估项目总体完成时间的方差。

用T来表示完成整个项目所需的总时间，则T的期望值就是所有关键活动期望完成时间之和，可以用下式表示：

E(T)=tA+tE+tH+tI+tJ=6+3+4+2+2=17（周）项目完成时间的方差就等于所有关键路径活动方差时间之和。因此，项目Poeta-Vac完成时间的方差可以表示为：

σ

2=σ

A2+σ

E2+σ

H2+σ

I2+σ

J2=1.78+0.11+0.69+0.03+0.11=2.72其中，σ

A2

、σ

E2

、σ

H2

、σ

I2

和σ

J2

是关键活动的方差值。

上式假设所有活动的时间是相互独立的，如果存在两项或多项活动，其时间是相互影响的，那么上式只是提供了项目完成时间的大概值。我们都知道，标准方差等于偏差的平方根，因此，我们可以通过如下公式计算Porta-Vac项目的标准方差：

假设项目完成时间T服从正态分布（钟形分布），那么我们可以绘制如图9-13所示的分布图。利用这个分布图，我们可以计算满足特定项目完成时间的概率。例如，管理层计划在20周之内完成Porta-Vac项目，那么满足这个20周期限的概率是多少呢？利用9-14所示的正态概率分布图，我们可以很容易的求出T的概率，如图中阴影部分所示。T=20时，正态分布图的z值为：17时间（周）T17时间（周）期望完成时间Tσ=1.65周20利用z值和正态分布表（见附录A），我们查表可知，项目在20周期限内完成的概率为0.4656+0.5000=0.9656.因此，尽管活动时间的方差可能使项目的完成时间扩展到17周，但计算结果表明，我们仍然极大的把握在20周之内完成整个项目。同样的概率计算也可以应用于其他项目完成期限的判断。9.3时间与成本抉择CPM的初始设计者们为项目经理提供了增加资源以减少项目完成时间的方法。增加的资源（如员工，加班）一般都会增加项目的成本，所以在作出减少项目时间的决策时必须将额外的成本考虑在内。事实上，项目经理不得不在减少活动时间和额外增加项目的成本之间做出抉择。表9-7描述了一项由5项活动构成的双机器维修项目。由于管理人员拥有类似项目的大量经验，我们可以假设维修活动的时间已知，因此我们可以给出每项活动的单一估算时间。该项目的网络图如图9-15所示。表9-7双机器维修项目活动列表活动描述紧前活动期望时间（天）A大修机器Ⅰ—7B调节机器ⅠA3C大修机器Ⅱ—6D调节机器ⅡC3E测试系统B，D2A7C6B3E2D3开始完成图9-15双机器维修项目网络图

计算该维修项目网络图关键路径的步骤与我们在西山购物中心扩张项目和Porta-Vac项目中应用的方法完全一样。通过对图9-15中的项目网络图运用向前推进法和向后逆推法进行计算，我们可以得到表9-8所示的活动安排表。活动A，B和E的松弛为0，因此这3项活动就构成了该项目的关键路径。关键路径的长度，也就是完成项目共需要的时间为12天。活动最早开始时间（LS）最晚开始时间（ES）最早完成时间（EF）最晚完成时间（LF）松弛（LS-ES）关键路径？A00770是B7710100是C01671—D679101—E101012120是表9-89.3.1紧缩活动时间我们假设当前的生产水平要求该项目必须在10天之内完成。考虑到项目网络的关键路径长度为12天，我们认识到除非能够缩短活动的已知时间，否则要满足期望的项目完成时间是不可能的。这种通常可以靠增加资源来缩短活动时间的方法就是所谓的紧缩。但是，要增加额外的资源缩短活动时间，通常会导致项目成本的增加，所以我们希望能够找出只需最少的资源就可以紧缩活动时间的活动，然后对这些活动的活动时间进行必要的紧缩，使我们能够在期望的时间内完成项目。为了找出哪些活动可以紧缩时间以及这些活动可以紧缩多少时间，我们需要得到每项活动能被紧缩多少时间以及需要耗费所少资源等相关信息。因而我们需要得到以下信息：

·正常或期望时间下的活动成本。

·在最大紧缩时间内完成活动的时间（如：最短可能活动时间）

·最大紧缩时间下的活动成本。设

Тi——活动i的期望时间

Тi′,——达到最大紧缩时间时，活动i的活动时间

Mi——紧缩活动时间后，活动i可能最少的最大时间

给定Тi和Тí′，我们可以计算Mi：

Mi=Тi-Тi′,（9-6）接下来，我们用Ci表示正常或期望活动时间下活动i的成本，用Ci′

，表示最大紧缩时间下活动i的成本。因此每项活动单位时间的紧缩成本Ki就可以表示为：

Ki=(Ci′

-Ci)/Mi

（9-7）例如，在正常或期望活动时间下，完成活动A需要7天时间，其成本为CA=500美元；而在最大紧缩状态下，完成活动A只需4天时间，但成本将上升到CA=800美元，将上述值代入式（9-6）和式（9-7），我们可以得出活动A的最大可能缩减时间为：

MA=7-4=3（天）紧缩成本为：我们假设紧缩活动时间需要付出相应比例的成本。例如，我们要将完成活动A的时间减少0.5天，那么我们只需要付出1.5*100=150美元的额外成本，因此项目的总成本将变为500+150=650（美元）。图9-16描述了活动A的时间—成本关系。双机器维修项目全部的正常活动和紧缩活动数据如表9-9所示。表9-9双机器维修项目的正常和紧缩活动数据活动时间（天）总成本（美元）最大可紧缩时间（天）（Mi）每天的紧缩成本（Ki=(Ci′

-Ci)/Mi）(美元)正常紧缩正常（Ci）紧缩（Ci′）ABCDE总计74326431215008002003505009002005003005501700310030221100150200150250

为了以最小的成本在10天期限内完成整个项目，哪些活动应该被紧缩？紧缩多少时间？你对这个问题的第一反映很可能是考虑关键路径上的活动——A，B或E。活动A在这3项活动中具有最低的单位紧缩成本，因此讲活动A紧缩两天可以使路径A-B-E的完成时间缩减到期望的10天。然而一定要记住，当你对现在的关键活动进行紧缩时，有可能使其他的路径