数中自有黄金屋的数学问题

『數』中自有黃金屋七個總值七百萬美元數學問題數學新浪潮公開講座第1页第1页伯努利(JohnBernoulli)說：經驗告訴我們，正是擺在面前那些困難而同時也是有用問題，引導著有才智人們為豐富人類知識而奮鬥。第2页第2页『有名』數學問題:難！能推動數學發展。 例：費馬大定理─近代代數數論 三體問題─動力系統 最速降線問題─變分學第3页第3页數學問題普通由下列原因而提出。檢驗或發展數學理論─數學本身發展所需要(內部問題)實在應用─其它學科發展所需要 (現象世界所提出「外在問題」)第4页第4页外在問題(經驗)數學理論內部問題新外在問題理論提升解決辦法(部份或所有)第5页第5页歷史：Hilbert23問題發表於一九○○年八月八日，國際數學家大會(InternationalCongressofMathematicians)演講影響了整個二十世紀數學發展。

第6页第6页18題是提網結領，無所謂完滿解決。在其餘15題，有12題已完滿解決。 (已解決：1,2,3,5,9,10,13,14,17,19, 21,22) (未解決：8,11,15)*數學史譯文集，上海科學技術出版社，1981年，60-84頁。或： DavidHilbert,Mathematicalproblems,BulletinoftheAmerican MathematicalSociety,Vol.37,No.4(),407-436.第7页第7页二○○○年五月廿四日

ClayMathematicsInstitute在巴黎宣佈設立7個“MillenniumPrizeProblems”，每個問題懸紅一百萬美元以徵求解答。第8页第8页TheRiemannHypothesis(也是Hilbert23問題之一)TheBirchandSwinnerton-DyerConjectureThePoincaréConjectureTheHodgeConjectureYang-MillsTheoryNavier-StokesEquationsThePversusNPproblem第9页第9页TheRiemannHypothesis

(黎曼假設)RiemannZeta函數非平凡零點實部均為。與素數分佈密切相關。第10页第10页其它相關發展 -解析數論 -L-函數理論 -PrimalityTest -模函數理論群論第11页第11页證據：機率分析：40%正確。代數幾何。數值計算：前15億個非平凡零點實部 都是。第12页第12页Birch及Swinnerton-Dyer猜想變化形式： 有無窮多有理數解 沒有有趣有理數解問題：找通用判別办法 (Hilbert第十問題)答案：否(Matiyaserich)背景：代數方程整數解

例： 有無窮多整數解 沒有有趣整數解第13页第13页猜想：在特殊情況下

（「阿貝耳簇」上有理點）相對應Zeta函數無窮多解有限多解第14页第14页Poincaré猜想理論： 代數拓撲學(AlgebraicTopology)背景：幾何形狀分類

幾何物體

群(Group) （基本群）第15页第15页問題：

幾何物體

群？猜想

如一個三維「緊致流形」基本群只有一個元素，則此流形「拓撲」等價於三維球面。第16页第16页Hodge猜想背景：幾何現象G=數學理論=T（射影代數簇）無幾何解釋純數學部份H=(HodgeCycles)第17页第17页猜想：（不能在此詳細解釋，此猜想是有關代數幾何學）

H＝事實上也是有幾何解釋。第18页第18页Yang-Mills理論基本粒子物理學

幾何物體“MassGap”假設─數學証明?重粒子Yang-Mills方程解。第19页第19页Navier-Stokes方程：

（流體力學）解：初始條件：其中：第20页第20页P對NP問題(Computation)背景－例：素數分解驗証整數n是否素數，是一個「很難」問題「很難」＝诸多“Computertime”=很慢驗証：素數p是否n因子是一個「容易」問題「容易」＝很少“Computertime”=快第21页第21页NP問題：(Non-deterministicpolynomial)(

Non-P)檢驗「準答案」是否真是解是

P問題。但要找出「解」來，看起來就難诸多。P問題：很少“Computertime”問題(Polynomialtime)第22页第22页NP完備(NP-complete)問題：─問題是NP完備，假如它是P，就所有其它NP問題都是P。因此要証明P=NP，只需找出一個是PNP-complete問題。P對NP問題:P=NP?註：「掃地雷」(Minesweeper)遊戲是─ NP-complete問題。第23