数学教改几个论题

数学教改几种论题章建跃zhangjy1页第1页一、如何理解“新理念”?关键：以每一个学生全面、友好与可连续发展为本——教育中“科学发展观”教学目的——全面关注学生认知、能力和理性精神，以学生最近发展区为定向，增进学生全面、友好、可连续发展——数学育人。第2页第2页如何落实？——提升课堂教学立意许多教师“匠气”太浓，课堂上题型、技巧太多，弥漫着“功利”，缺乏思想、精神追求。数学“育人”功效如何表达？——挖掘数学知识蕴含价值观资源，在教学中将知识教学与价值观影响融为一体。关键：提升思想性。“技术”：加强“先行组织者”使用。第3页第3页例1四边形“先行组织者”概括三角形中研究问题、线索和基本办法：定义（构成元素、分类）—三角形性质（改变中不变性、规律性，从度量关系和位置关系入手）—三角形全等（拟定三角形条件）—特殊三角形研究（角特殊—直角三角形、边特殊—等腰三角形，性质、鉴定）—相同三角形（性质、鉴定）——……目的：给学生一个类比对象，使他们知道研究“基本套路”。第4页第4页引导学生类比，思考“四边形”研究问题、线索和办法等：普通四边形：构成元素、度量（内角和、外角和）；特殊四边形：从边特殊性和角特殊性入手；边特殊性——平行四边形：性质和鉴定；“性质”研究是在“平行四边形”条件下，它构成元素有什么普遍规律，如边大小关系、内角关系、对角线关系等；“鉴定”研究是具备什么条件四边形才是平行四边形；其它度量问题；第5页第5页特殊平行四边形：角特殊——矩形，边特殊——菱形，边角都特殊——正方形，都要研究性质和鉴定。研究办法：化归为三角形、平行线性质等已有知识；特殊平行四边形研究要注意特殊三角形知识：矩形——直角三角形；菱形——等腰三角形；梯形……第6页第6页教学要求——个性差别与统一要求辩证统一，但以个性差别为出发点和基础教学设计——不但从内容教学需要预设提问、讲授、训练等，并且尤其强调课堂“生成”，预设能引起学生独立思考、自主探究“开放性问题”，乃至强调“看过问题三百个，不会解题也会问”教学办法——讲授、问答、训练综合，不再是单一讲授或活动，是教师主导取向讲授式和学生自主取向活动式融合，强调“启发式讲授”主要性第7页第7页学习方式——接受与探究融合，强调学生学习积极性、积极性，独立思考和合作学习结合教学过程——知识发生发展过程（自然、水到渠成）为载体学生认知过程，以学生为主体数学活动过程，强调学生数学思维展开、深度参与（教学有效性）教学评价——教师依据教学进程进行教学反馈、调整，学生通过自我监控调整学习进程，注重形成性评价——发展眼光教学媒体——追求“必要性”“平衡性”“广泛性”“实践性”“有效性”，服务于数学概念、原理实质理解第8页第8页“新理念”新在对学生全面关注上，但社会功利化造成教育短期行为愈演愈烈，“全面关注”变成了“只关注分数”，并且为了分数能够不择手段——竭泽而渔。第9页第9页二、如何才算“教完了”？让学生经历概念发生发展过程——“这样能教完吗？”给学生吃“压缩饼干”：基础知识——“一个定义，三项注意”；解题教学——“题型教学”，解题技巧大杂烩，“一步到位”。第10页第10页问题在那里？不“准”——或者是没有围绕概念关键，或者教错了；不“简”——在细枝末节上下功夫，把简朴问题复杂化了；不“精”——让学生在知识外围重复训练，花费学生大量时间、精力却达不到对知识进一步理解。第11页第11页例2“代数式”概念一组练习已知|5x+3|+(4x2－8xy+3y－9)2=0，求5(4x2－8xy+3y－1)值；已知a2+a－1=0,则a+a1999－a1998=

；已知，求值；已知a:b=5:6，b:c=4:3，求值；……第12页第12页学生没有学百分比式、分式、指数等概念，如何理解题意？！在代数式学习之初，要求学生用“变量代换”“整体”等思想办法处理问题，也许吗？“教完了”应当以学生是否理解为准，尤其是学生达到数学双基理解和纯熟水平为原则（注意，双基包括由内容反应数学思想办法），而不是教师在课堂上有无把内容“讲完”。广种薄收是不负责任，习题针对性不强是水平不高表现。忙=心亡。第13页第13页三、如何才是抓“基础”我国“双基”优势正在丧失；现象：（1）数学教学＝题型教学＝刺激—反应（记忆、模范型学习）；（2）缺乏概念概括过程，以训练代替概念教学——应用能够增进理解，但没有理解应用是盲目的；（3）过度关注“题型”——与“题型”相应技巧是雕虫小技，无法穷尽，结果是“讲过练过不一定会，没讲没练一定不会”；等。第14页第14页如何改变？要强调知识及其蕴含思想办法教学主要性——无知者无能；不断回到概念去，从基本概念出发思考问题、处理问题；加强概念联系性，从概念联系中寻找处理问题新思绪。应追求处理问题“主线大法”——基本概念所蕴含思想办法，强调思想指导下操作。第15页第15页例3关于“配办法”概念：把二次（三项）式配成一个含二项式完全平方式子

ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+(4ac－b2)/4a依据：(a+b)2=a2+2ab+b2环节：（1）二次项系数变1；（2）加上并减去一次项系数二分之一平方。“配办法”是基本而主要，在“三个二次”中有广泛应用。第16页第16页一元二次方程求根公式从最简朴开始：x

2=a；变式：(x－p)

2=q，并分析“能解”原因（能够通过开方将方程“降次”）。对于ax2+bx+c=0，通过与“变式”比较，得到化归为(x－p)

2=q就能解思想办法，并让学生独立思考取得用“配办法”推导出求根公式。这里要让学生形成一个“基本套路”：从特殊到普通，将复杂问题化归为简朴问题，要注意化归条件（完备性——思维严谨性）第17页第17页二次函数y=ax2+bx+c性质沿用一元二次方程求根公式“套路”，从最简朴y=x2开始，到y=ax2，再到y=a(x－h)2+k，最后到y=ax2+bx+c。思想办法：“化归”到前一个情况。研究工具：配办法。研究问题：开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性（包括最大值、最小值）等。第18页第18页“配办法”灵活应用“配方”——“完全平方式”——非负性例：（1）无论m取何值，2x

2+(m－1)x+(m－4)=0都有两个不等实根。——判别式是不等于0“完全平方式”。（2）已知x2+4y2－2x+4y+2=0，求x，y值。——一个方程两个未知量，普通是不定，但特殊情况下能够，即实质是“方程组”，化归办法是“配方得到完全平方式”。……第19页第19页四、探究式教学天时地利人和天时：建设创新型社会，教育“以培养学生创新精神和实践能力为重点”；地利：教学内容是否适合于“探究”——有内容不宜，如公理、定义名称、要求等；但更多内容可采用探究式教学；第20页第20页例4不宜于探究内容举例概念名称，如“有理数”“无理数”“补角”“余角”等；定义，什么叫代数式、两条直线平行定义等；数学符号，如判别式Δ，全等≌，相同∽；一些复杂定理，如勾股定理，只要理解意义，会证实，能应用；为何用圆周角与圆心相对位置对圆周角进行分类？第21页第21页例5适宜探究内容举例实数运算律——从详细到抽象，归纳得出；乘法公式，平方差公式、完全平方公式等；各种几何性质原则上都是能够探究；……第22页第22页例6等腰三角形性质先行组织者：对于三角形，我们研究过它构成要素和相关要素（内角、边、外角、角平分线、中线、高等）度量关系；研究过两个三角形特殊关系——全等问题；等。这些研究从性质和鉴定两个角度入手。像研究直线特殊位置关系（垂直、平行）同样，三角形也有特殊（是什么？）需要研究——“角”为原则直角三角形，“边”为原则等腰三角形（特例是等边）。第23页第23页问题1你认为能够研究等腰三角形哪些问题？——性质与鉴定问题2等腰三角形性质能够从哪些角度入手？——角关系（两底角相等）、高、中线、角平分线特性；特殊等腰三角形特殊性；等。问题3前面学习过轴对称图形，知道角是以角平分线为对称轴轴对称图形。依据这些经验，请动手剪一个等腰三角形，并阐明你得到一定是等腰三角形。第24页第24页从“剪”过程看到，等腰三角形哪些元素是重叠？你能够得到哪些性质猜想？“剪”关键环节是什么？数学含义是什么？上述猜想是从一个等腰三角形得到，是否对所有等腰三角形都有这些性质呢？如何证实？——通过全等三角形，注意从操作中取得证实思绪启发。对特殊等腰三角形——等边三角形，有什么相应特殊结论？第25页第25页人和：师生共同营造“探究气氛”，有赖于学生“探究式学习心向”，也有赖于教师“探究型教学意识”。探究过程需要精心设计——围绕关键定向探究；数学思想办法在自主探究中相关键作用，需要教师启发引导——注意使用“先行组织者”。第26页第26页“我校生源差，重复讲还记不住，怎能让学生自主探究？”——学习是知与行统一，只“讲”必定不会；探究是深层次思维活动，是“心动”与“行动”融合。生源越差越要精心组织学生探究活动，如何铺设探究台阶是对教师考验。第27页第27页例7“找规律”平面上n条直线至多能够有多少个交点。归纳推理过程分析：n=2，1个交点；n=3，第3条直线与前2条直线各有一个交点，增长2个，为1+2；n=4时，第4条直线……，增长3个，为1

+

2

+

3；…；n条直线至多1+2+…+（n－1）。难点：（1）归纳思想不是自然产生；（2）保留中间值以便观测规律技能不容易；（3）1+2+…+（n－1）意义难理解。结论：这个题目不适合初中。第28页第28页五、概念教学要义是什么？概念教学关键——概括：将凝结在数学概念中数学家思维打开，以典型丰富实例为载体，引导学生展开观测、分析各事例属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念；“举一反三”与“举三反一”关系：（1）分化：用典型、丰富详细事例，分析、综合、比较而概括出共同本质属性——举三反一；第29页第29页（2）类化：把共同本质属性推广到同类事物中——举一反三；（3）纳入概念系统，与相关概念建立联系。对详细例证进行分化、类化是概念教学主要环节，教会学生自己分析材料、比较属性是教学主要任务；发觉关系能力是很主要。第30页第30页概念教学基本环节典型丰富详细例证——属性分析、比较、综合；概括共同本质特性得到概念本质属性；下定义（准确数学语言描述）；概念辨析——以实例（正例、反例）为载体分析关键词含义；用概念作判断详细事例——形成用概念作判断详细环节；概念“精致”——建立与相关概念联系。第31页第31页例8无理数概念教学第32页第32页六、如何理解循序渐进、螺旋上升？螺旋上升既有数学概念发展史依据，也有学生思维发展规律依据；螺旋上升应当表达“必要性”，如函数概念必须螺旋式学习，但平面几何螺旋不应当是“先试验几何，论证下次再说”；第33页第33页“螺旋式”也许产生问题是重复学习，比如统计与概率不适当重复问题；主要数学思想办法必须得到“螺旋上升地重复”——“隐性知识”，“能够意会不可言传”，要经历“渗入——概括——应用”学习阶段。第34页第34页例9概念多元联系表示中表达螺旋上升百分比关系：算术——比和百分比、百分数、百分比尺；代数——各种“率”，实际问题；平面几何——线段比和百分比、相同形等；解析几何——斜率、线性方程；统计与概率——统计图表、频率与概率。当利用基本几何概念（如相同）和代数概念（如线性关系）引入百分比概念时，学生对百分比关系理解就会更深刻。第35页第35页七、“不是教教材，是用教材教”？现象：脱离教材，大量使用教辅；原因：教材内容“简朴”，不足以应付中考；对“不是教教材，而是用教材教”、“创造性使用教材”意图有误解；有教师不善于或不愿意花大力气研究教材。第36页第36页我见解“不是教教材，而是用教材教”≠“脱离教材”，是针对“照本宣科”；教材“基础性”与中考“选拔性”有目的差别，但学好教材一定是中考取得好成绩前提，教师主要精力应当放在帮助学生纯熟掌握教材内容上。第37页第37页理解教材是当好数学教师前提，而“理解教材”第一要义是“理解数学”：理解数学概念背景，把握概念逻辑意义，理解内容所反应思想办法，挖掘知识所蕴含科学办法、理性思维过程和价值观资源，区别关键知识和非关键知识等。书本、书本，一科之本。课堂教学应“以书本为本”。教辅资料不能作为教学依据；布置教辅资料上题目时，教师自己应当先做一遍，题目不配套时，对学生学习会有大干扰。第38页第38页例10锐角三角函数概念概括过程设计目的：解直角三角形课题引入：从实际需要看（如比萨斜塔倾斜问题）；从数学内部看（以往讨论了直角三角形边与边关系、角与角关系，边与角有无拟定关系）。定性考察：从直角三角形全等鉴定可知，Rt△中，除直角外，任意给两个条件（至少一个是边），其余唯一拟定。第39页第39页“定量化”过程设计从最熟悉直角三角形开始：无论

Rt△大小如何，30°所正确边是斜边二分之一（本质特性）。思考：由这个比值能干什么？——当∠A

=

30°时，已知斜边可求∠A对边，反之也可。及时巩固：等腰直角三角形中，锐角A对边与斜边比是多少？由这个比值能干什么？推广到普通：给定锐角A，∠A对边与斜边比值是否为一个拟定值？（注意引导学生理解条件——什么不变、什么变）第40页第40页下定义，用符号表示。辨析定义：（1）∠A为Rt△ABC锐角，△ABC大小能够改变，但∠A对边与斜边比值不变，即对于每一个锐角A都有唯一拟定比值与之相应，这个比值叫做∠A正弦；（2）符号sinA理解——一个由A唯一拟定数，比如sin30°=0.5；（3）sinA取值范围；等。概念应用：给直角三角形边，求正弦值。——掌握用定义解题基本规范。第41页第41页教材编写意图如何提出数学问题——引导学生思考已经研究过什么，还能够研究什么；从定性到定量——数学普遍办法；从学生最熟悉问题开始；从另一个角度看问题——旧问题新解释，数学发展一个思绪；从特殊到普通、从详细到抽象研究办法；使学生经历概念形成完整过程。第42页第42页八、重结果轻过程危害是什么？数学是思维科学。数学思想办法孕育于知识发生发展过程中。“思想”是概念灵魂，是“数学素养”源泉，是从知识到能力桥梁；“过程”是“思想”载体，是领悟概念本质平台，是思维训练通道，是培养数学能力土壤。第43页第43页没有过程=没有思想；没有思想就难以理解概念实质；缺乏数学思想办法纽带，概念间关系无法结识、联系也难以建立，造成学生数学认知结构缺乏整体性，其可利用性、可区别性和稳定性等“功效指标”都会大打折扣。没有“过程”教学把“思维体操”降格为“刺激—反应”训练，是教育功利化在数学教学中集中表现。第44页第44页例11平行线鉴定

——过程中表达思想性复习：（1）在“相交线”中，我们是如何展开研究？研究线索：从定义（取得研究对象）——图形性质（同一类图形共同本质特性）——特例（垂直）研究内容：四个角位置关系、大小关系；特例“特殊性”——邻补角相等时两条直线位置关系，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（不垂直时有两条），垂线段最短。第45页第45页（2）“三线八角”研究过程是什么？其中关键是什么？与相交线研究思绪同样，对“两条直线AB、CD被第三条直线EF所截”构成八个角位置关系进行分类。位置关系分类关键是拟定分类原则（两个不共顶点角在AB、CD同一方，EF同一侧）。第46页第46页“平行线鉴定”过程构建问题一：类比相交线特例，在“三线八角”中，有哪些特例？（两条直线平行——平行公理；第三条直线与两条直线都垂直；等）先行组织者：对于几何图形，我们主要考察位置关系和大小度量。对于某种拟定图形（位置关系），我们普通从鉴定和性质两个角度进行研究。鉴定就是什么时候有这种位置关系；性质就是含有这种位置关系图形有什么特性。下面先学习“鉴定”。第47页第47页问题二：显然我们能够用定义来鉴定，但由于直线能够无限延伸，用定义判断不以便。从“三线八角”模型、画平行线过程等操作中，你能得到什么启发？——同位角相等，两直线平行（公理）。问题三：两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角，由同位角相等能够鉴定两条直线平行，能否利用内错角或同旁内角来鉴定呢？——通过内错角、同旁内角与同位角关系，注意训练推理条理性，渗入化归思想。第48页第48页课堂小结从运动改变观点看直线与直线位置关系（将相交线、垂线、平行线串起来）；研究问题基本思绪：平行是特殊位置关系