上海市徐汇区2025-2026学年高三上学期学习能力诊断卷（一模）数学试卷（解析版）

2025学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学试卷2025.12考生注意：1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分．2．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等相关信息．3．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分．一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1.设复数（其中为虚数单位），则__________．【答案】【解析】【分析】利用复数模的计算公式求解即可.【详解】复数（其中为虚数单位），所以；故答案为：2.设集合，则__________．【答案】【解析】【分析】利用集合交集的定义求解即可.【详解】由于集合，则;故答案为：3.函数值域为___________.【答案】【解析】【分析】化简得，即得解.【详解】由题得，所以当时，；当时，.所以函数的值域为.故答案为：4.若幂函数的图象经过，则此幂函数的表达式为___________.【答案】【解析】【分析】将点的坐标代入函数表达式算出参数即可得解.【详解】由题意得，所以，解得，所以此幂函数的表达式为.故答案为：.5.设向量，则在上的数量投影为__________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用数量投影的意义求解即得.【详解】由向量，得，，所以在上的数量投影为.故答案为：6.相关部门在上海市随机调查了10户居民六月份的用电量（单位：kW·h），从小到大排列依次为31、74、78、99、101、107、127、131、208、223，则这10户居民用电量的第75百分位数为__________．【答案】131【解析】【分析】由百分位数的计算公式即可求解.【详解】因为，所以第8个数131是第75百分位数，故答案为：1317.已知，则__________．【答案】【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式求解即可.【详解】二项式展开式的通项公式为：，由于，则当时，；故答案为：8.一个底面积为的正四棱柱的所有顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正四棱柱的高为__________．【答案】【解析】【分析】求出正四棱柱底边边长以及外接球半径，分析可知该正四棱柱的外接球直径即为该正四棱柱的体对角线长，即可得解.【详解】设该正四棱柱底边的边长为，高为，则，可得，设该正四棱柱的外接球的半径为，则，解得，由题意可知，该正四棱柱的外接球直径即为该正四棱柱的体对角线长，即，解得，因此该正四棱柱的高为.故答案为：9.从20名男生和18名女生中选取5人组成一个宣传小组，其中男生和女生都不少于2人的选法有__________种．【答案】329460【解析】【分析】从男女共38中选出5人组成一个宣传小组，要求男生和女生均不少于2人，分选出的5人为2男3女，和3男2女两种情况讨论即可.【详解】从男女共38中选出5人组成一个宣传小组，要求女生和男生均不少于2人，分为以下两类情况：当选出的5人为2男3女时，不同选法共为种，当选出的5人为3男2女时，不同选法共为种，即从中选出5人组成一个宣传小组，要求女生和男生均不少于2人的选法共有种，故答案为：329460.10.设，若实数满足，且，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】根据题目条件，令，用替换，构造函数结合基本不等式求值.详解】已知分段函数，且实数满足，令,对于，由，，对于，，因，故，，否则不满足，，故，设，令，等价于求的最大值，，当且仅当即时取等号,此时，故,综上，的最小值为.故答案为：11.某城市核心区域可看作一个平面，市中心为点，城市有两个交通枢纽站点、，其中站点在市中心的正东方向，距离点4公里，站点在市中心的正北方向，距离点也是4公里．为了动态调整交通信号，相关部门计划在距离中心点2公里的位置，设置一个移动数据采集点，通过监测的大小来优化信号．当最大时，__________．（结果精确到）【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设出点，利用直线的夹角公式，表示出直线与的夹角的正切，再利用换元法令以及直线与圆的位置关系，求出的范围，再结合函数单调性，得到当最大时点的坐标，再根据向量夹角公式，求出，再利用同角三角函数的基本关系，计算出，即可得解.【详解】不妨以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则：，，设是圆上的点，设.，，结合图象，易知当最大时，点位于第一象限，且为钝角，设，则两直线夹角的正切值公式为：则：，，又因为在圆上，故，因此，，令，则，因为在圆上，因此可认为直线与圆有交点，即圆心到直线的距离，解得.由于点在第一象限的圆上，易知，因此，故.由于是关于的减函数(分母增大，整体减小)，因此当时，取得最小，即最小，此时对应最大.当时，结合，解得，即.，，又因为，解得，故答案为：.12.已知数列满足：，对任意的正整数均有，若存在正整数，使得所有数列均满足，则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】根据题目条件列出到，要使不等式恒成立，的最大值小于等于的最小值，验证即可.【详解】由题可知：，则：，，，，要使不等式恒成立，的最大值小于等于的最小值，当时，取，，，符合；当时，取，，此时：，，符合；当时，取，，此时：，，不符；故当时，不符；当时，取，，此时：，，不符；当时，取，，此时：，，不符；综上：的最大值为.故答案为：二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题卷的相应编号上，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知为实数，则“是有理数”是“是有理数”的（）条件．A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.既非充分又非必要【答案】B【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合特殊值法判断可得出结论.【详解】若是有理数，不妨取，则，但是无理数，即“是有理数”不能推出“是有理数”，若为有理数，则存在、且，使得，则为有理数，故“是有理数”“是有理数”，所以“是有理数”是“是有理数”的必要非充分条件，故选：B.14.用简单随机抽样的方法抽取某个品种的小麦样本株，测得麦穗长度（单位：），以其整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”绘制茎叶图如图所示．用该样本数据估计此品种小麦麦穗长度平均为（）（结果精确到）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平均数公式可求得结果.【详解】由题意可知，抽取的株小麦的麦穗长度分别为：、、、、、、、、、、、、，单位：，用该样本数据估计此品种小麦麦穗长度平均为.故选：B.15.设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题可得两个圆心恰好是椭圆的焦点，结合椭圆的定义，再根据圆外一点到圆上点的距离最小值为点到圆心距离减半径，圆外一点到圆上点的距离最大值为点到圆心距离加半径，求出的取值范围，即可得到答案.【详解】椭圆的两个焦点坐标为，，恰好为两个圆的圆心坐标，圆的半径，圆的半径，由椭圆的定义可得，当椭圆上动点与焦点连线与圆相交于时，最小，最小值为，当椭圆上动点与焦点连线的反向延长线与圆相交于时，最大，最大值为，所以.故选：D.16.已知，集合（为维向量）若，其中，定义，设满足的的个数为．关于下列两个命题的判断：①当时，则；②当，是正整数时，则．说法正确的是（）A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题【答案】C【解析】【分析】先通过的全1结构，确定对应中1的个数，得；验证命题①时代入满足和为8，命题②利用二项式定理计算和并举例验证其不成立.【详解】由，得，即的值为向量中分量1的个数，故为中分量1的个数为的向量个数，即.对于命题①：当时，.故命题①成立.对于命题②：当（为正整数）时，.由二项式定理，，故.而，取（即），左边，右边，，故命题②不成立.故选：C三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.在中，角、、的对边分别为、、，已知，．（1）若，求的面积；（2）若内角的对边，求角的正弦值及外接圆的半径．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）利用二倍角的余弦公式求出的值，再结合三角形的面积公式可求得结果；（2）利用余弦定理结合同角三角函数的平方关系可得出的值，再利用正弦定理可求得的值.【小问1详解】由二倍角余弦公式可得，可得，因为，所以，故，故的面积为.【小问2详解】在中，，，，由余弦定理可得，故为锐角，且，由正弦定理可得，故.18.某校高三年级学生参加了一次时政知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从所有答卷中随机抽取份作为样本进行统计，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：、、、得到如图所示的频率分布直方图．（1）求实数的值；若年级准备选取分及以上的学生进入下一轮竞赛，已知该校高三年级有名学生，估计该校高三年级参加下一轮竞赛的人数；（2）王老师抽取了名参加竞赛的学生，他们的分数为：、、、、．已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和这个分数，求剩余个分数的平均数与方差．【答案】（1）；人（2）平均数为，方差为【解析】【分析】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为，可求得的值；结合频率分布直方图可计算得出该校高三年级参加下一轮竞赛的人数；（2）利用平均数和方差公式可求得剩余个分数的平均数与方差.【小问1详解】在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为，即，解得，分及以上的学生所占的比例为，故估计该校高三年级参加下一轮竞赛的人数为人.【小问2详解】不妨设，，根据题意可得，故剩余个分数的平均数为，因为原数据的方差为，所以，故剩余个分数的方差为.19.如图，已知是的直径，点是上异于、的一点．设过点的直线垂直于所在的平面，且．（1）若为中点，为线段的中点，为线段上一点，且平面．求证：为线段中点，并求三棱锥的体积；（2）记二面角的平面角为，求的最小值，并指出其取得最小值时点的位置．【答案】（1）证明见解析，（2），为中点.【解析】【分析】（1）由线面平行的性质定理得到，即可求证，由平面，得到到平面的距离即为到平面的距离，结合体积公式即可求解；（2）过作，垂足为，确定即为二面角的平面角，结合，通过确定最大值即可求解.【小问1详解】平面，在平面内，所以没有交点，又都在平面内，所以，在三角形中，因为为线段的中点，所以为线段中点，因为平面，所以到平面的距离即为到平面的距离，又平面，，所以到平面的距离为1，又为等腰直角三角形，所以，所以三棱锥的体积;【小问2详解】过作，垂足为，因为平面，在平面内，所以，又为平面内两条相交直线，所以平面，又在平面内，所以，所以即为二面角的平面角，在直角三角形中，，又为到距离，所以，当为中点时取得最大值，所以，当为中点时取得最小值，即，当且仅当为中点时取得最小值.20.已知抛物线的焦点为，准线为．（1）若点在抛物线上，求所在直线的斜率；（2）若准线，点为抛物线准线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、．若两条切线、与轴分别交于点、，求的最小值；（3）若点到准线的距离为，过抛物线的准线上一点作圆的两条切线、，且、分别与交于、两点和、两点．问：是否存在某个圆，使得当点运动时，为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，且定值为【解析】【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可得出该抛物线的标准方程，可求出其焦点的坐标，再利用斜率的斜率公式可求出直线的斜率；（2）设点，由题意可知，切线、的斜率都存在，设这两条切线的斜率分别为、，设过点的切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径得出，结合韦达定理得出，，求出、的坐标，结合韦达定理可求出的最小值；（3）设点，设过点的切线的方程为，因为圆心到切线的距离为，可得出，设切线、的斜率分别为、，则、为该方程的两根，利用韦达定理得出，，将直线的方程与抛物线的方程联立，可得出，同理可得出，化简的表达式，根据韦达定理结合为定值可求得的值，即可得出结论.【小问1详解】将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得，故抛物线的标准方程为，其焦点为，故直线的斜率为.【小问2详解】圆的标准方程为，则圆心为，半径为，因为抛物线的准线方程为，即，可得，故抛物线的方程为，设点，由题意可知，切线、的斜率都存在，设它们的斜率分别为、，不妨设过点的切线方程为，即，由题意知，圆心到直线的距离为，即，整理可得，依题意，、是关于的方程的两根，所以，且，，易知直线的方程为，令可得，即得点，同理点，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.【小问3详解】若点到准线的距离为，即，故抛物线的方程为，其准线的方程为，设点，圆的圆心为，半径为，由题意可知，过点的切线的斜率存在，设过点的切线方程为，即，因为圆心到切线的距离为，则，整理可得，设切线、的斜率分别为、，则、为关于的方程的两根，故，，将直线的方程与抛物线的方程联立，可得，由韦达定理可得，同理可得，故为定值，则，因为，解得，故当时，即存在定圆，使得当点运动时，为定值.21.已知函数的定义域为，若其导函数在上是严格减函数，则称是一个“函数”．（1）设，，分别判断、是否为“函数”，并说明理由；（2）已知数列是公差为的等差数列，且的各项都为正数，若定义在上的函数是“函数”，求证：．（3）已知“函数”的定义域为，不等式的解集为．证明：函数在上是严格减函数．【答案】（