上海市宝山区2025-2026学年高三上学期期末教学质量监测（一模）数学试题（原卷版）

2025学年第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷考生注意：1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；4．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．1.若全集，集合，则___________．2.焦点为的抛物线的标准方程为___________．3.已知数列为等比数列，且，公比，则该数列的前4项的和等于___________．4.现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为___________（以下摘自随机数表第7行）．3983277639918535325911314046923504982212206712635.的展开式中的系数为___________．6.关于的方程的解集为___________．7.已知是偶函数，则的最大值为______.8.已知第一象限的点和经过直线，若直线的倾斜角为，则的最小值为___________．9.已知等腰中，分别为的中点，若，则___________．10.已知事件与事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则___________．11.如图，点在圆柱底面圆的圆周上，为圆的直径，与底面圆所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为___________．12.空间中，向量满足：，且的两两夹角都是，对于向量，若，则的最小值是___________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分）．13.如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是（）A. B. C. D.14.若，则是的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C充要条件 D.既非充分又非必要条件15.双曲线型自然冷却通风塔的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转一周所形成的曲面，如图所示．已知它的下口直径为米，上口直径为米，最小直径为20米，高为80米，则此双曲线的焦距为（）A. B. C. D.16.对任意正整数，数列满足，则称该数列“增长”数列．命题1：存在的等差数列为“增长”数列，且满足其前项和．命题2：存在各项均为正整数等比数列为“增长”数列且不是“增长”数列，使得为“增长”数列．（）A.①是真命题，②是真命题 B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题 D.①是假命题，②是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤）．17.如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，分别是的中点．（1）证明：平面；（2）若，求点到平面的距离．18.某场篮球比赛中，甲、乙两队各5名队员进行比赛，他们得分的茎叶图如图．已知，且．（1）若甲队队员得分极差为32，乙得分的平均值为24，求其中和的值；（2）从得分在20分及以上的队员中随机抽取2名，求至少有1名来自乙队的概率；（3）若甲乙两队的队员平均分相等，求的最大值，并写出此时和的值．19.如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为：．已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每12分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处．（1）根据条件具体写出关于的函数表达式：（2）在摩天轮转动的一圈内，点有多长时间距离地面超过？20.已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．（1）求双曲线的标准方程；（2）设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值；（3）如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上．若关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值．21.已知连续函数和，设，集合．（1）若指数函数