利用完全平方公式因式分解课件2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版八年级下册第2课时利用完全平方公式因式分解学习目标1.掌握利用完全平方公式进行分解因式。2.灵活运用公式法或已学过的提公因式法进行因式分解，正确判断因式分解是否彻底。复习回顾在括号里填上适当的式子，使等式成立：(1)(a+b)2=____________；(2)(a–b)2=_____________；(3)a2+______+1=(a+1)2；(4)

a2–______+1=(a–1)2。

a2+2ab+b2a2

–2ab+b22a2a整式乘法因式分解推进新课这两个式子有什么特点？a2+2ab+b2a2–2ab+b2首平方尾平方2倍乘积放中央完全平方式完全平方式的特点：①必须是三项式(或可以看成三项的)；②有两个数或式的平方和；③有两底数之积的±2倍。现在我们把完全平方公式反过来，就得到两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。完全平方公式：(a

+

b)2=a2+2ab+b2(a

–

b)2=a2–2ab+b2a2+2ab+b2=(a

+

b)2a2–2ab+b2=(a

–

b)2练一练1.下列多项式能否用完全平方公式来因式分解？为什么？（1）a2–12a+36（2）x2+4x+4y2

（4）a2–

ab+b2（6）a2+a+0.25a2622·a·6x2(2y)22·x·2(2a)2

a2

a20.522·a·0.5（5）x2–6x

–9b2a2+2ab+b2=(a

+

b)2a2–2ab+b2=(a

–

b)2a2–b2=(a+b)(a–b)(a

+

b)2=a2+2ab+b2(a

–

b)2=a2–2ab+b2(a+b)(a–b)=a2–b2

整式乘法因式分解根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法。归纳例3

把下列各式因式分解：（1）x2+14x+49；（2）(m+n)2–6(m+n)

+9。解（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=(x+7)2；

（2）(m+n)2–6(m+n)+9

=(m+n)2–2×3(m+n)+32

=[(m+n)–3]2=(m+n–3)2。例4

把下列各式因式分解：（1）3ax2+6axy+3ay2；（2）–x2–4y2+4xy。解（1）3ax2+6axy+3ay2

=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；（2）–x2–4y2+4xy=–(x2+4y2–4xy)=–(x2–4xy+4y2)=–[x2–2·x·2y+(2y)2]=–(x–2y)2。首项有“-”号要先提出来运用完全平方公式分解因式应注意什么？（1）先找平方项，再运用公式；（2）平方项可以是单项式，也可以是多项式；（3）若平方项前面有负号，先把负号提到括号前面，再考虑用完全平方公式。练一练2.把下列各式因式分解：（1）1+6(x–y)+9(x–y)2；（2）3ax3–30ax2+75ax。解：(1)1+6(x–y)+9(x–y)2

=[1+3(x–y)]2

=(1+3x–3y)2(2)3ax3–30ax2+75ax=3ax(x2–10x+25)=3ax(x–5)2x-y看作整体提公因式后，出现完全平方式，继续分解回顾·反思（1）回顾从整式乘法到因式分解的探索过程，你有哪些感悟？（2）在解决哪些问题时，用因式分解的方法更加便利？请举例说明。随堂演练1.如果100x2+kxy+y2可以分解为(10x-y)2，那么k的值是（）A.20

B.-20C.10D.-10B【教材P120随堂练习T1】2.下列多项式中，哪些可以用公式法因式分解？你是怎样分解的？

（2）9a2b2-3ab+1；

（4）x6-10x3-25。

(3ab)2

123.把下列各式因式分解：【教材P120随堂练习T2】（1）x²-12xy+36y²；（2）16a4+24a²b²+9b4；解：(1)原式=(x-6y)²(2)原式=(4a²+3b²)²（3）-2xy-x²-y²；（4）4-12(x-y)+9(x-y)²。(3)原式=-(x+y)²(4)原式=(2-3x+3y)²4.已知△ABC的三边长a，b，c满足a²+b²+c²+50=6a+8b+10c，求三角形的周长。解：∵a²+b²+c²+50=6a+8b+10c，∴a²-6a+9+b²-8b+16+c²-10c+25=0，即(a-3)²+(b-4)²+(c-5)²=0。∴a=3，b=4，c=5。∵3+4＞5，∴能组成三角形。∴a+b+c=3+4+5=12，即三角形的周长为12。课堂小结a2–b2