《初中数学中考复习圆专题》课件

专题五圆类型清单类型一

静态圆型问题类型二动态圆型问题静态圆型问题是以圆为背景,与平行线、三角形、四边形、函数、方程等知识结合,考查圆的有关性质、垂径定理、切线的性质、扇形的计算等内容.圆可构成内容丰富、题型新颖、构思精巧的综合性试题,考查的题型主要是以计算题和证明题的形式出现,培养了学生的几何直观和空间观念的核心素养.题型讲解类型一静态圆型问题例题1231解决静态圆型问题需要熟练掌握弦、弧、圆心角三者之间关系并能灵活转化,运用三角形全等、相似三角形、锐角三角函数、勾股定理等知识进行证明与计算.解题时需要先分析题目中的已知条件,再观察图形,从中挖掘出隐含条件,最后综合分析信息解决问题.方法点拨例题1231解题技巧以圆为背景的证明与计算题,利用半径构造等腰三角形,利用直径构造直角三角形,从圆心角或圆周角看弧、从弧找角进行等角转移,经常作为隐含条件.最常用的辅助线:作弦心距、作过切点的半径.例题1231如图,CD为☉O的直径,AD,AB,BC分别与☉O相切于点D,E,C(AD<BC).连接DE并延长与直线BC相交于点P,连接OA,OB.例题1例题1231(1)求证:OA⊥OB;(1)连接OE,根据切线长定理及切线的性质可得OD⊥AD,OE⊥AB,OC⊥BC,即可得出点A在∠DOE的平分线上,点B在∠COE的平分线上,根据平角的定义即可得结论;思路指导例题1231(1)证明:如图1,连接OE,∵CD为☉O的直径,AD,AB,BC分别与☉O相切于点D,E,C(AD<BC).∴AD=AE,BE=BC,OD⊥AD,OE⊥AB,OC⊥BC,∴点A在∠DOE的平分线上,点B在∠COE的平分线上,∴∠DOA=∠EOA,∠COB=∠EOB,∴∠EOA+∠BOE=∠DOA+∠COB=90°,即∠AOB=90°,∴OA⊥OB.例题1231

(2)连接CE,根据等腰三角形的性质、直径所对圆周角是直角,即可证明∠P=∠PEB,可得BE=BP,即可得出BC=PB;思路指导(2)求证:BC=BP;(2)证明:如图2,连接CE,∵BC=BE,∴∠BCE=∠BEC.∵CD是直径,∴∠CED=90°,∴∠PEB+∠BEC=90°,∠P+∠BCE=90°,

∴∠P=∠PEB,∴BE=BP,∴BC=BP.例题1231

思路指导(3)若OA=3,OB=4,求AD·BC的值.

例题1231

例题1231

当堂检测

D例题12312.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A,D的圆O分别交AB,AC于点E,F,连接EF.

例题1231

(1)求证:BC是圆O的切线;(1)证明:如图1,连接OD,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.∵OA=OD,∴∠BAD=∠ODA,∴∠CAD=∠ODA,∴OD∥AC,∴∠ODB=∠C=90°,∴BC⊥OD.又∵OD是圆O的半径,∴BC是圆O的切线.例题1231

(2)证明:如图2,连接DF,∵AE是圆O的直径,∴∠AFE=90°,∴∠AFE=∠C=90°,∴EF∥BC,∴∠AEF=∠B.∵∠AEF=∠ADF,∴∠B=∠ADF.又∵∠BAD=∠CAD,∴△ABD∽△ADF,∴AB:AD=AD:AF,∴AD2=AF·AB.(2)求证:AD2=AF·AB;例题1231

例题1231

3.(河北一模)如图,已知A,B,C分别是☉O上的点,∠B=60°,P是直径CD的延长线上的一点,且AP=AC.例题1231

(1)证明:如图,连接OA,AD,∵CD为直径,∴∠CAD=90°.∵∠ADC=∠B=60°,∴∠ACD=30°.∵AP=AC,∴∠P=∠ACD=30°.∵∠AOD=2∠ACD=60°,∴∠OAP=180°-60°-30°=90°,∴OA⊥PA,∵OA是☉O的半径,∴AP与☉O相切.(1)求证:AP与☉O相切;例题1231

(2)如果AC=3,求PD的长.例题1231类型二动态圆型问题题型讲解动态圆型问题是关于圆知识考查的热点类型,常以综合题的形式出现,涉及解直角三角形、四边形、函数基本性质、直线与圆的位置关系、圆的切线的性质、图形变换等知识,解题的关键是灵活运用数形结合、分类讨论、转化等数学思想思考问题.例题367例题245方法点拨动态圆型问题要用运动的眼光去观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的数量关系,并特别关注一些特别的量、不变的关系或特殊关系,善于化动为静,由特殊情形(特殊点、特殊位置、特殊值、特殊图形)逐步过渡到一般情形,再综合运用各种相关的数学知识、数学思想加以解决.例题367例题245解题技巧画出符合题意的示意图,分析运动过程,先定临界状态,再定范围;建构三角形(直角三角形)或特殊四边形,并利用其性质解决问题.例题367例题245(石家庄桥西区模拟)已知,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,O为对角线BD的中点,P为AD上一点,连接PO,以O为圆心,OP为半径画圆O.(1)如图①,当点P为AD中点时,圆O与AD的位置关系为

,OP的长为

;

(1)利用三角形中位线性质和切线的判定定理得出答案;思路指导相切例题367模型一圆心不动,半径变化例题23例题245(2)如图②,当圆O与AB相切,且AP＜PD时,求PD的长;

(2)连接经过切点的半径,过点O作AD的垂线,利用三角形的中位线和勾股定理,可以求出PD的长;思路指导(2)解:如图1,作OE⊥AB于E,OF⊥AD于F,∵圆O与AB相切,∴OE=OP.∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°.例题367例题245

例题367例题245(3)延长BA到E,使得AE=AB,连接DE,当圆O与△BDE有4个交点时,直接写出圆O的半径r的取值范围.

(3)分情况讨论,利用临界状态,求出特殊值,即可求出r的取值范围.思路指导

例题367例题245

例题367例题245

例题367例题245当堂检测4.(原创题)已知:在平面直角坐标系xOy中,△ABC的顶点均在坐标轴上,且A(-3,0),点B(0,4),点C在x轴正半轴上,且AC=10,点P从点C出发,沿着射线CA方向以2个单位长度/s的速度匀速运动,以点C为圆心,CP为半径作☉C.例题367例题245(1)求直线AB的表达式;

例题367例题245(2)若☉C与直线AB相切,求点P的运动时间t(s)的值;

例题367例题245

例题367例题245(3)若☉C与线段AB有交点,求点P的运动时间t(s)的取值范围.

例题367例题245

例题367例题245

例题367例题245(1)求k的值及点N的坐标;

例题367例题245(2)若☉P与线段MN有公共点,试求☉P半径r的取值范围.

例题367例题245

例题367例题245

D模型二圆心在动,半径不变例题3例题367例题245思路指导如图,圆心O移动的路径长即线段EN的长度,而EN=AB-AE-BN,所以只需求AE,BN的长度即可.分别可根据AE和BN所在的直角三角形,利用三角函数进行计算即可.例题367例题245当堂检测6.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,点D在边BC上,CD=5,BD=13.点P是线段AD上一动点,当半径为6的☉P与△ABC的一边相切时,AP的长为

.

例题367例题245当堂检测7.(邯郸武安一模)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=45°,BC=12cm,半圆O的直径DE=12cm,点E与点C重合,半圆O以2cm/s的速度从左向右移动,在运动过程中,点D,E始终在BC所在的直线上.设运动时间为x(s),半圆O与△ABC的重叠部分面积为S(cm2).例题367例题245当堂检测(1)当x=0时,设点M是半圆O上一点,点N是线段AB上一点,则MN最大为

cm;MN最小为

cm.

(2)在平移过程中,当点O与BC的中点重合时,求半圆O与△ABC重叠部分的面积S.24

(2)解:当点O与BC的中点重合时,如图2,点O移动了12cm,设半圆O与AB交于点H,连接OH,CH,

∵BC为直径,例题367例题245当堂检测

例题367例题245当堂检测(3)当x为何值时,半圆O与△ABC的边所在的直线相切?请直接写出结果.

例题367例题245当堂检测

例题367例题245类型清单类型一

静态圆型问题类型二动态圆型问题类型一静态圆型问题

B76543212.(唐山丰润二模)如图,四边形ABCD内接于☉O,点P为边AD上任意一点(点P不与点A,D重合)连接CP.若∠B=120°,则∠APC的度数可能为(

)A.30°

B.45°

C.50°

D.65°D3.(石家庄四十一中模拟)老师在黑板上出了这样的练习题:如图1所示,四边形ABCD是☉O内接四边形,连接AC,BD.BC是☉O的直径,AB=AC.请说明线段AD,BD,CD之间的数量关系.下面是王林解答该问题的思路片段，如图2,过点A作AM⊥AD交BD于点M,∵★,∴∠ABM=∠ACD,……

B4.已知,如图,在Rt△ADE中,∠ADE=90°,点O为AE上一点,以O为圆心,OA为半径作半圆与DE相切于点C,与AE相交于点B.(1)求证:AC平分∠DAE;证明:如图,连接OC,∵DE是半圆的切线,∴C为切点,∴OC⊥DE,∴∠OCE=∠ADE=90°,∴AD∥OC,∴∠DAC=∠ACO,∵AO=CO,∴∠CAO=∠ACO,∴∠DAC=∠CAO,∴AC平分∠DAE;

②求图中阴影部分的面积.

5.(石家庄四十一中模拟)如图,AB是☉O的直径,点D,E在☉O上,点C在AB延长线上,∠BAD=2∠BDE,∠C=∠ABD.(1)求证:CE是☉O的切线;证明:如图1,连接OE,

∵∠COE=2∠BDE,∠BAD=2∠BDE,∴∠COE=∠BAD.又∵∠C=∠ABD,在△ABD和△COE中,∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD,∠OEC=180°-∠C-∠COE,∴∠ADB=∠OEC.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.∴∠OEC=90°.又∵OE为☉O的半径,∴CE是☉O的切线;(2)判断△ADF的形状并证明;解:△ADF是等腰三角形,证明:设∠BDE=α,∠ADF=90°-α,∠A=2α,在△ADF中,∠DFA=180°-2α-(90°-α)=90°-α,∴∠ADF=∠DFA,∴AD=AF,∴△ADF是等腰三角形;(3)若☉O的半径为3,AD=4.8,直接写出EF的长.

6.如图,D是以AB为直径的☉O上一点,过点D的切线DE交AB的延长线于点E,过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C,垂足为点F.(1)求证:AB=BC;证明:如图,连接OD,∵DE是☉O的切线,∴OD⊥DE,∴∠ODE=90°,∵BC⊥DE,∴∠CFD=∠ODE=90°,∴OD∥BC,∴∠ODA=∠C,∵OA=OD,∴∠ODA=∠A,∴∠A=∠C,∴AB=BC;

②求线段BE的长.

7.如图,D为☉O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.(1)求证:CD是☉O的切线;证明:如图,连接OD.∵OB=OD,∴∠OBD=∠BDO.∵∠CDA=∠CBD,∴∠CDA=∠ODB.又∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠ADO+∠ODB=90°,∴∠ADO+∠CDA=90°,即∠CDO=90°,

∴OD⊥CD.∵OD是☉O的半径,∴CD是☉O的切线;

类型二动态圆型问题题型讲解

4321题型讲解

题型讲解

题型讲解

题型讲解(3)如图2,当△APD的外心Q在△APM的内部时(包括边界),求在点M移动过程中,点Q经过的路径的长;解:如图3所示,设AD的中点为Q1,当点D与M重合时,设AP的中点为Q2,连接Q1Q2.

∵△APD的外心Q在AD的垂直平分线上,∴△APD的外心Q在△AMP内部的运动轨迹(包括边界)为一条线段,且起点为AD的中点Q1,终点为点D与M重合时AP的中点Q2.题型讲解

题型讲解

题型讲解

题型讲解

题型讲解(1)边AB=

cm,DC=

cm;

(2)求当t为何