科学基础技术历史 21

数学前沿-大脑结构-

与人类文明中的缺陷如果认为只有在几何证明或者在感觉的证据里才有必然，那会是一个严重的错误。

柯西----转引自M.克莱因《古今数学思想》人类思维中的基本问题：直观与逻辑人类大脑的基本结构：右脑与左脑人类文明中的缺陷：各个领域的悖论和问题欧几里得几何学古代埃及的尼罗河，每年7月泛滥，冲毁界限，牵绳者每年丈量土地。积累了大量几何学知识。古希腊人学习了埃及人的几何学知识，以及建筑风格。欧几里得是生活在埃及的希腊人，是希腊化时代的埃及人。非欧几何学非欧几里得几何是19世纪产生的，它的产生从根本上改变了数学家对几何性质的理解，也改变了数学家甚至常人对几何学同物质世界之间关系的理解。非欧几里得几何的产生同数学家们长期企图解除对欧氏几何第五公设的怀疑有关。这条公设是说，如果两条直线被一条直线所截，其同侧内角的和小于180°，则这两条直线向该侧无限延长后必然会相交。历史上曾有人企图用其他公设和命题来证明这条公设，也有人证明了它和“过已知直线外的一个已知点，只能作一条直线和已知直线平行”这条命题等价。然而，人们在证明第五公设的时候所使用的论据都是以假设它成立为前提的，因而犯了循环论证的错误。1826-1830年间，俄国喀山大学的罗巴契夫斯基(1792-1856)独辟蹊径，提出了一个与欧几里得第五公设矛盾的公理：“过线外一点，至少可以引两条直线与已知直线平行。”以此取代欧几里得的第五公设，便在原来的公设和命题系统中推出了一系列逻辑上无矛盾的新定理，形成了一个严密的新几何学体系。在罗氏几何学中，过直线外一点可以作不止一条直线与已知直线平行，三角形的三个内角和小于180°，……等等。可以用一个例子来形象地说明：

画一个圆及一条与圆相交的直线L,圆内还有一个不在已知直线上的点A，过点A而与直线L在已知圆内不相交的线有许多条，如果点A与直线L不动，让圆的半径增大一些，这时，在已知圆内与L不相交的直线仍有许多条。如果让圆的半径继续增大，则过A而与L在已知圆内不相交的直线始终不止一条。当圆的半径大到要多大有多大时，可以想象，过A

而与直线L

在这无限大的圆内不相交的直线仍有不止一条。

这个例子在形象上给了罗氏几何的相应公理作了说明。罗巴契夫斯基创立的几何理论，标志自欧几里得创立几何学以来，人们关于几何学的观念已开始动摇。这种动摇,导向了一场空间观念的变革。右图：月球表面以他的名字命名的陨石坑地区。（详细情况见本图注释）"Thereisnobranchofmathematics,howeverabstract,whichmaynotsomedaybeappliedtophenomenaoftherealworld."-Lobachevsky

在罗氏几何基础上，德国人黎曼(1826-1866)提出n维几何的概念，“把n维空间叫做一个流形。n维流形中的一个点，可以用n个可变参数

X1，X2，…，Xn的一组指定的特定值来表示，而所有这种可能的点的总体便构成n维流形本身，正如在一个曲面上的点构成曲面本身一样。这n个可变参数就叫做流形的坐标。当这些Xi连续变化时，对应的点就历遍这个流形”。另外，黎曼还提出了流形(空间)曲率的概念，并用曲率来刻画欧氏空间和更一般的空间的性质。实际上，黎曼空间的维数超出了三维，空间的曲率也是一个变量，这个变量不是一个数量，而是一个张量，这种几何属于微分几何的范围。ARiemannsurfaceforthecomplexfunctionf(z)=sqrt(z)在这个一般的基础上，当考虑n=3时，若曲率a>0，就得到一类球面空间，a=0，便得到欧几里得空间，a<0时便得到包括罗巴契夫斯基空间(双曲面)在内的负曲率曲面空间。在欧几里得空间的平面上，三角形内角和为180°，在球面上大于180°，在双曲面上小于180°。由此可见几何公理的相对性花瓶上的几何学欧几里得几何：三角形的内角和=180°罗氏几何：三角形的内角和﹤180°黎曼几何：三角形的内角和﹥180°此外，黎曼指出，物理空间是一种特殊的流形，欧氏几何的公理只是物理空间的近似写照，在曲率逐点变化、而且物质的运动也随点变化的空间中，欧氏几何的法则是不成立的。黎曼和罗巴契夫斯基一样，相信天文学将判定哪种几何符合于真实的空间。黎曼认为，要确定物理空间的真理，需要把物质和空间结合起来。这个思路自然会把人引向相对论。"akindofhelicalramp"PossiblyareferencetotheRiemannSphere,whichisbuiltinlargepartuponcomplexnumbersandwhichlooksomethinglikeahelix.

人类空间概念是相对的几何学的基础：从直观到逻辑在非欧几何提出后，数学家们开始更严格地检查欧几里得的几何公理系统，发现欧几里得的公理并非不证自明的真理。另外，他还的确假设了大量前提而没有特别地指出来。在看清欧氏几何的全部缺陷之后，数学家中有人力图把点、线、面等作为不定义的概念，再加上一些描述性的术语，严格地推导出数学的整个结构。这便是所谓的公理化理论。这方面的工作在19世纪末由意大利人皮亚诺

(1858-1932)和德国人希尔伯特(1862-1943)

完成了。其中希尔伯特在他1899年出版的

《几何原理》一书中首次提出了令人满意的几何公理系统。显然，欧几里得几何学的出发点是无须证明的公设，公设是靠经验启示的，它的基础是直观。但在数学家们认识到欧几里得几何的缺陷之后，希尔伯特已不再诉诸以经验直观为基础的公设，而仅仅从没有矛盾的出发点开始，按照逻辑方法来建立几何公理体系了。这样，就把欧氏几何的基础从直观转移到逻辑上了。按照希尔伯特的方法，希尔伯特的公理系统并非惟一可能的，实际上，只要从没有矛盾的出发点出发，就可以发展出一种数学结构。这种数学结构(不管是欧几里得几何，还是非欧几何)并不依赖于现实，但如果它有用的话，就必然同现实世界有某种联系事实上，希尔伯特的这个原则和方法后来成了量子力学的重要工具。

希尔伯特空间的建构：想象不出来，但可以用逻辑做出来鸟巢（左）与希尔伯特空间（右），中国技术传统和西方科学逻辑超越直观----集合论康托(1845-1920)生于俄国，后来到德国

1879-1897年间建立集合论。康托的集合论引入了震撼知识界的无穷概念，这是从古希腊人芝诺的时代起就曾使数学家感到困惑和无能为力的难题。例如，他把无穷整数集合1，2，3，4，…和无穷偶数集合2，4，6，8，…配起来，使第一个集合的每个数对应于第二个集合中等于它二倍的偶数，即建立所谓的一一对应关系，这样就能合理地论证偶数的数目等于所有整数的数目。在康托之前，伽利略已论证了整数平方的数目等于所有整数的数目，但只是康托才建立了一套完整的逻辑结构，设定了一整套超限数以代表不同的无穷大的阶，从而证明所有有理数和所有整数可以相对应；所有实数可以和直线上的点相对应。这一点是由康托和德国人戴德金(1831-1916)共同证明的。显然，直观使人觉得整数的数目等于偶数数目的二倍，但无穷的算术却与有穷的算术不同，也不能用常识去处理。1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，，2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，，逻辑在这里又战胜了直观和常识。Settheory逻辑并不能通过逻辑

来证明自己符合逻辑罗素悖论到哥德尔定理数学是科学的皇冠，它向来追求精确性和逻辑性。但20世纪一批数学家对于数学基础的探讨却告诉我们：数学的基础并不能完全严格地建立在精确性和逻辑的基础上。数学的大厦原来矗立在理性和感性混合的沙滩上，而不是建造在纯理性的岩石上。罗素悖论

德国人弗雷格(1848-1925)1893年出版了《算术基本法则》第1卷，

1903年出了第2卷，企图把数学结构，甚至数的概念建立在一个严格的、无矛盾的基础上。在第2卷还在校清样的时候，年轻的英国人罗素(1872-1970)写信向他提出一个问题--如何处理一个特殊的悖论。这个悖论的通俗化形式是所谓“理发师悖论”。一个乡村的理发师宣称：他给而且只给本村所有那些不给自己理发的人理发。按照这条原则，他应该给自己理发，但如果他这样做了，就又违背了这条原则。弗雷格在考虑过罗素的问题后觉得他无能力解决这个问题，并在自己著作的结尾承认了这一点，从而也承认了他的数理逻辑体系并不完整严密。罗素悖论的实质可以归结为这样一个问题：“一切不包含自身的集合构成的集合是否包含自身?”关于这一点，康托实际上早在1899年给戴德金的信中就指出，人们要想不陷于矛盾的话，就不能谈论由一切集合构成的集合，而这也正是罗素悖论的内容。也就是说，这个理发师不能说给“所有”那些不给自己理发的人理发。1908年，德国人策墨罗(1871-1953)提出了一种不会产生悖论的集合论。在策墨罗看来，罗素悖论的问题在于一个要定义的东西是要用包含这个东西在内的一类东西来定义的。他只允许那些不会产生矛盾的类进入集合论。也就是劝说那个理发师把自己除外，然后再“给全村所有不给自己理发的人理发”，如此而已。关于这个问题，当时法国的大数学家彭加莱曾评论道：“为了防备狼，羊群已用篱笆圈起来了，但却不知道在圈内有没有狼。”而数学史表明，羊圈里确实还有狼。哥德尔不完备性定理

1931年，奥地利人哥德尔(1906-1976)

发表了一篇文章，提出了著名的不完备性定理。他证明：如果人们只限于运用数学系统中的形式化概念和方法，便不可能确立这个系统(包含着逻辑和数学)的无矛盾性。这也就是说，数学系统的相容性是不能用狭义的逻辑来确立的。他指出，在一套公理系统中总是存在着这样的命题：它在这套公理的基础上既不能证明，又不能否定；如果把公理修改一下，使得这个命题能被证明或被否定，便会在这个被修改后的公理系统中制造出另外的既不能证明也不能否定的命题。哥德尔定理揭示了这样一个问题：整个数学不可能井然有序地安置在任何公理系统上，每一个数学系统，不管它多么复杂，总包含着不能消除的悖论，就像罗素用来推翻弗雷格系统的那种悖论一样。这一点的含意是很深刻的。尽管康托对无穷集合的演算表明逻辑的证明和方法可以超越直观，哥德尔不完备性定理却向人们表明：可证明和正确是不相同的，直观上的正确会超越逻辑和数学上的证明。歌德尔定理-----对20世纪人类思想影响最深刻的数学成就。爱因斯坦和歌德尔—相互欣赏。歌德尔不完备性定理的生理基础美国人斯佩雷(August20,1913—April17,1994.)，1981诺贝尔生理学及医学奖)和加扎尼加在20世纪60年代对癫痫病人作脑两半球割裂治疗时观察到：两半球有不同的分工，但各自又为一个独立的脑；每一个脑都有高级智慧机能；但语言机能主要在左侧，动作机能主要在右侧。斯佩雷设计了一个实验：裂脑人正视时，右脑处理左侧信号，左脑处理右侧信号。把一个女郎和男人的照片以鼻子为中线，拼成一幅，让女郎的一半置于“裂脑人”的左视野，由右脑处理；男人的一半置于右视野，由左脑处理。（右脑中有女郎，左脑中有男人）这时问“裂脑人”看见了什么，回答是“男人”（语言功能在左脑）；但让他用手指看到的对象时，却指向了“女郎”（右脑中有女郎）。这个实验说明，由于裂脑左右部分独立处理信息，右脑中形成了一个女郎形象，但语言功能在左脑，所以说不出口，却能指出来。在另一个男性“裂脑人”左半视野里放几张照片，当他看到年轻姑娘时就拇指朝上表示喜欢，看到希特勒时就拇指朝下表示不喜欢，看到尼克松时拇指平向表示中立，看到自己的照片时也拇指朝下，表示有病不好。这说明大脑的右半球有自我意识和社会意识。参阅夏禹龙主编：《科林小史·现代篇》，190～195页，上海，上海科学技术出版社，1985。这个研究成果改变了以往认为脑两半球对称的概念。左脑长于数学、逻辑和语言功能等抽象思维；右脑长于综合、直觉、想象等形象思维。哥德尔定理：人类不可能仅靠左脑来获得对世界得完整而确定的认识。哥德尔定理可帮助我们理解其他文明成果的特质。例如，如果联系到脑科学的成果，可以看出，我们无法仅用大脑的左半部分（逻辑、数学和语言）或者右半部分（形象、综合、音乐图画）完整而无矛盾地认识世界。只有整个大脑的两半部分加在一起，才能给我们以正确的结论或信念。或者说，如果没有了信念，结论也可能是靠不住的。科学在这里真正显示出了其属人的特质。文明的缺陷计算机软件：不可能要求一种计算机程序是绝对完美的和从不出问题的。政治：三个人的竞选，没有绝对的公平。1948年美国《数学月刊》提出的3人博弈模型，两强手相互攻击，最弱的的渔翁得利。台湾2000年选举，国亲分裂，陈水扁胜出。司法：囚徒困境。两人被抓，偷东西证据不足。审判者开出条件：甲招乙不招，甲释放乙判10年。甲乙都招，每人判5年。甲乙都不招，每人一年，因为事出有因，查无实据。法律：美国法律史上的一个判例---信用与公正的矛盾：一个美国人好赌博，输后，便将其家一幅油画以700$卖与图书馆看门人。此人请专家鉴定后认为，此画值700万$.此管理员当即惊喜的晕了过去！好赌者闻知，十分后悔，索之，不得，去法院告之。法庭上，原告律师援一判例---一农夫之母牛不生，贱卖与人，却生下7个牛犊。判返回原主人。原则：公平。认定原判有违公平原则。被告律师援另一判例----一妇人之宝石，以贱价卖出后，得知其价值连城，法院判决不予归还。原则：信用。应该自我负责。环境：

牧民困境--有限草场，公共拥有。牧民多养牛，最后草场负载过重，某春天羊大量死亡，牧民