人教版八年级数学上册《角平分线的性质》试题

人教版八年级数学上册《角平分线的性质》试题角平分线的性质是平面几何中的重要基础知识，它不仅揭示了角平分线上点的特殊位置关系，也为后续学习全等三角形、轴对称等内容奠定了坚实的基础。掌握角平分线的性质，并能灵活运用其解决相关的计算与证明问题，是八年级数学学习的重点之一。下面，我们将通过一系列试题，帮助同学们巩固和深化对这部分知识的理解与应用。一、核心知识回顾在开始解题之前，我们先简要回顾一下角平分线的性质定理及其逆定理，这是解决所有相关问题的基石：1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。简单来说，若OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，则PD=PE。2.角平分线的判定定理（逆定理）：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。也就是说，若点P到∠AOB的两边OA、OB的距离PD=PE（PD⊥OA，PE⊥OB），则点P在∠AOB的平分线上。这两个定理是互逆的，前者用于判断线段相等（当已知点在角平分线上时），后者用于判断点的位置或角平分线（当已知点到两边距离相等时）。二、典型试题解析（一）选择题例1：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若BC=10cm，BD=6cm，则点D到AB的距离为（）A.4cmB.5cmC.6cmD.10cm分析：本题直接考查角平分线的性质定理。因为AD是∠BAC的平分线，点D在AD上，所以点D到AC的距离与点D到AB的距离相等。我们已知∠C=90°，所以DC就是点D到AC的距离。BC=10cm，BD=6cm，因此DC=BC-BD=10-6=4cm。所以点D到AB的距离也是4cm。解答：A（二）填空题例2：已知点P在∠AOB的平分线上，点P到OA的距离为3，则点P到OB的距离为______。分析：本题是角平分线性质定理的直接应用。根据定理，角平分线上的点到角的两边距离相等。已知点P在∠AOB的平分线上，且到OA的距离为3，那么它到OB的距离必然也是3。解答：3（三）解答题例3：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且△ABC的面积为45cm²，AB=10cm，AC=8cm，求DE的长。分析：由AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质定理可知DE=DF。我们可以设DE=DF=xcm。△ABC的面积可以看作是△ABD和△ACD的面积之和。△ABD的面积为(1/2)×AB×DE，△ACD的面积为(1/2)×AC×DF。由此可以列出关于x的方程，解方程即可求出DE的长。解答：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边距离相等）。设DE=DF=xcm。∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴45=(1/2)×AB×DE+(1/2)×AC×DF即45=(1/2)×10×x+(1/2)×8×x化简得：45=5x+4x45=9x解得x=5。∴DE的长为5cm。（四）证明题例4：如图，已知：∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。求证：AM平分∠DAB。分析：要证明AM平分∠DAB，根据角平分线的判定定理，只需证明点M到AD的距离等于点M到AB的距离。已知∠B=∠C=90°，所以MB⊥AB，MC⊥CD。又M是BC中点，所以MB=MC。因为DM平分∠ADC，过点M作ME⊥AD于E，根据角平分线的性质定理，可得ME=MC。从而ME=MB。而MB是点M到AB的距离，ME是点M到AD的距离，所以AM平分∠DAB。证明：过点M作ME⊥AD于点E。∵∠C=90°，即MC⊥CD，DM平分∠ADC，ME⊥AD，∴ME=MC（角平分线上的点到角的两边距离相等）。∵M是BC的中点，∴MB=MC。∴ME=MB。∵∠B=90°，即MB⊥AB，ME⊥AD，∴点M在∠DAB的平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）。∴AM平分∠DAB。三、综合提升与思考角平分线的性质及其逆定理在几何证明和计算中有着广泛的应用。在解决问题时，我们要善于观察图形，准确识别角平分线，并能联想到向角的两边作垂线，构造出相等的垂线段，这往往是解决问题的关键。同时，要注意区分性质定理和判定定理的条件和结论，灵活选用。例如，在证明两条线段相等时，如果它们恰好是某个角平分线上一点到角两边的距离，那么直接应用性质定理即可。在证明某条射线是角平分线时，如果能证明射线上有一点到角两边的距离相等，那么应用判定定理就能解决问题。希望通过以上试题的练习与解析，同学们能对角平分线的性质有更深刻的理解和更熟练的运用。在后续的学习中，要多做练习，勤于思考，不断提升自己的几何推理能力。四、自我检测题1.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B。下列结论中不一定成立的是（）A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB垂直平分OP2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，AD=20，求BC的长。（*答案及解析将在下期公布或自行查阅教材配套练习*）提示：自我检测题旨在检验学习效果，第1题需综合运用角平分线性质和全等三角形知识；第2题则需要结合直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质以及角平分线性质。---通过对《角平分线的性质》这一知识点的梳理和典型试题的解析，我们可以看到，扎实掌握基本定理是解决复杂问题的前提。在几何