微分流形的一般定义

微分流形的一般定义作者：鲍祥平埃格先生微分流形简介二微分流形的核心定义设M是一个Hausdorff拓扑空间，若存在一个正整数n，以及一个由开集族{Uα}α∈A和映射族{φα:Uα覆盖性：α∈AUα=M，即开集族{局部欧氏性：对每个α∈A，映射φα:Uα→Hausdorff分离性：拓扑空间M本身满足Hausdorff公理，即对M中任意两个不同的点p,q∈M，存在不相交的开集U,V⊆M，使得p∈U且q∈V。若在此基础上，集合A还满足以下两个条件，则称A为M上的一个微分结构，此时M与微分结构A一起构成一个n维微分流形（或光滑流形），记为(M,A相容性：对任意两个坐标系(Uα,φα)和(Uβ,极大性：若存在M上的一个坐标系(U,φ)，使得(U,φ)与A中的每一个坐标系都相容，则(U,φ)∈A，即A定义核心要素的详细解读1.拓扑空间的基础条件Hausdorff分离性是微分流形定义中的关键拓扑条件，它确保流形上任意两个不同的点都有不相交的开邻域。这一条件排除了诸如"线相交于一点"的非Hausdorff空间，保证了流形的局部结构足够"良好"，使得分析学中的极限、连续等概念可以自然地推广到流形上。例如，实数轴ℝ、单位圆周S12.局部欧氏性与坐标系局部欧氏性是微分流形的核心特征，它要求流形上每一点都有一个开邻域与欧氏空间ℝn中的某个开集同胚。这样的开邻域Uα称为坐标邻域，同胚映射φα:Uα→ℝn称为坐标映射，而(Uα例如，单位圆周S1={(x,y)∈ℝ2∣x2+y2=1}是一个1维微分流形：取四个坐标邻域U1=3.相容性与光滑结构相容性条件保证了不同坐标系之间的"无缝衔接"。当两个坐标邻域Uα和Uβ相交时，坐标变换φβ∘φα−1是从ℝ例如，在单位圆周S1上，取U1=S1∖{(1,0)}上的极角坐标θ，以及U2=S1∖{(−1,0)}上的极角坐标ϕ（其中−π<4.极大性的意义极大性条件要求微分结构A是所有与自身相容的坐标系组成的集合。这一条件是为了避免微分结构的"不完备性"，即确保不会存在某个坐标系与A中的所有坐标系都相容，但却不在A中。实际上，任何一个满足覆盖性、局部欧氏性和相容性的坐标系族A0，都可以通过添加所有与A0相容的坐标系，唯一地扩展为一个极大的微分结构。因此，在实际构造微分流形时，我们通常只需要给出一个微分流形的等价定义与推广1.光滑流形的等价定义在一些教材中，微分流形也被定义为满足以下条件的拓扑流形：存在一个坐标系族A0={(Uα,φα2.不同光滑程度的流形如果将相容性条件中的C∞光滑映射替换为Ck映射（即k次连续可微映射，k≥1），则得到的流形称为Ck流形。当k=03.复流形的推广如果将定义中的欧氏空间ℝn替换为复欧氏空间ℂn，并且要求坐标变换是全纯映射（即复可微映射），则得到的流形称为复流形。复流形是微分流形的一个重要推广，它在复分析、代数几何等领域有着广泛的应用。例如，复平面ℂ、单位圆盘D={z∈微分流形的基本例子欧氏空间：n维欧氏空间ℝn是最基本的微分流形，它的微分结构由单个坐标系(ℝn单位球面：n维单位球面Sn={x∈ℝn+1∣‖x‖=1}是一个n维紧微分流形。可以通过2(n+1)个坐标邻域来构造它的微分结构：对于每个i=1,2,…,n+1，取Ui+={x∈Sn∣实射影空间：n维实射影空间ℝℙn定义为ℝn+1∖{0}中等价类的集合，其中等价关系为x∼λx（λ∈ℝ∖{0}）。它是一个n维紧微分流形，可以通过n+1个坐标邻域来构造微分结构：对于每个i=1,2,…,n+1上面是由AI生成的微分流形的定义，用来和下面将要介绍的微分流形的一般定义（内蕴定义做比较）。在介绍微分流形之前，讲一下读书心得。有句名言：读书百遍，其义自见。——《三国志魏志董遇传》。这句话说的凡事多揣摩，对数学书而言，就是要多读几遍，懂了之后还要看自己怎么写这本书，并且要自己动手写出来，这才能提高认知水平。上一讲介绍了ℝm回顾：拓扑结构设X是一个非空集合，τ是X的一个子集族，如果∅∈τ若Uα:若U1，⋯，U则称X,τ是一个拓扑空间，或者X是一个拓扑空间，τ是X上的拓扑；τ中的每一个成员称为X中的开集。此外X\U:U∈τ中的元素称为设M,τ∗存在一个正整数n，使得对于任意x∈M，存在M中的开集U，使得x∈U，且U同胚于ℝn∗M满足Hausdorff可分性和第二可数性，从而可嵌入到某个欧式空间ℝm则称M是一个拓扑流形或流形，n是其维数。区图，局部坐标系假设流形M上某开集U到ℝn某开集φU的同胚映射是φ，那么我们称有序对U，φ是x上的区图。记qix是φx的第i个分量，则我们把U,φ,q问题：可不可以在一般的拓扑流形M上定义一个函数f:M⟶ℝ的⋇连续性：在ℝ上取欧氏拓扑，则M⟶ℝ的⋇可微性，光滑性：无法定义。∗如果U是M上的开集，U,φ1和U,φ2是两个不同的区图，则∗除非φ2∘φ1−1和它的逆映射φ1∘f∘f∘设M是n维流形，如果其上两个区图U,φ和V,ψ在它们相交的部分U∩V和ψU∩Vψφ作为ℝn上的开集到ℝn上的开集的映射都是光滑映射，则称这两个区图是相容性意味着转换函数ψ∘φ−1比方说f:x⟼x3，它是ℝ⟶ℝ的同胚，但不是光滑同胚，因为更具体来说，转换函数ψ∘φ−1及φ∘ψ−1的Jacobi矩阵Jψ∘φ−1C∞若有一M上区图构成的集合A，使得⋇A中的任意两个区图U,φ和V,ψ是⋇A中的区图的坐标区域全体能够覆盖整个M，即U,则可以把f的可微性，光滑性等定义为f在A中任何一个区图上的可微性，光滑性。⋇此定义不能扩展到M的任意区图上⋇但如果一个M上的区图V,ψ与A中每一个区图都C∞相容，则定义可扩展到设A是一个M上的区图的集合，如果A中任意两个区图C∞相容，并且A中的所有区图构成MU,则称A是M上的一个C∞如果一个光滑图册包含所有与其中所有元素之容的区图，即对于任何M上的区图V,ψ，只要V,ψ与任意U,φ∈A相容，则必有V,光滑流形设M,τ是一个n维拓扑流形，A是其上一个光滑结构，则称二元组M,A或三元组⋇称A中的区图（局部坐标系）是光滑流形M,τ⋇今后默认在光滑流形上选取的坐标系都是光滑局部坐标系⋇光滑流形的定义，实质上是规定了一种在拓扑流形上选取区图（坐标系）的方式。C∞一般来讲，要想确定一个流形上的光滑结构，只需要确定其上一个光滑图册A，然后将其光滑结构取为A这样构造的光滑结构A称为图册A的极大化扩充。⋇构造流形时，不可能把所有的同胚都写出来⋇一般定义光滑结构，都是先出一个C∞对于球面SnU两个球极投影映射φ1:Uφφ则U1,φ1和U2,φ2是Snφ都是ℝ2\0到自身的光滑同胚，因此U1，φ1欧式空间ℝn上，ℝn，ℝx,y等都是一个光滑结构中的ℝn如果M是光滑流形，U是M上的开集，A是M上的光滑结构，则A是U上的光滑结构，我们把这样定义的光滑流形U,AU称为⋇我们默认一个光滑流形上的开集的光滑结构就是相应开子流形的光滑结构。ℝm回顾：设V是ℝn上的开集，g是V⟶ℝm−n的Cr映射（即g的每一个分量都是Cr函数）π是1x为g的一个图像。设M⊆ℝm的一个点集，n是不大于m的正整数，r是正整数或∞，如果对于任意一个x∈M，存在一个x在ℝm上的开邻域U∋x，使得U∩M是某个ℝn上的开集V到ℝm−n的光滑映射的图像，则称M是一个C全体形如U,π:U是如上所描述的M上的开集，π是U⟶V的投影映射的区图组成的集合构成U上的一个C∞图册。我们默认ℝm上的子流形总是以这一图册的极大化扩充作为光滑结构。这样⋇事实上，前面分析过，这类特例不具有一般性（g代表不了ℝm空间中所有的n维流形），但是ℝ积流形M,N分别是m维，n维光滑流形，光滑结构分别为AM和AN，考虑集合A构成M×N上的一个光滑图册，其中φx,y我们把AM×N这个光滑图册的极大化扩充定义为M×N上的光滑结构，这样M×N也成为了一个光滑流形，称为M微分流形之间的映射设M是n维光滑流形，x⊆M，f是M⟶ℝ的函数，如果存在一个包含x的区图U,f∘作为ℝn的开集上定义的函数在φx∈ℝn处光滑（任意阶可微），则称f在x处光滑。对于M上的任意子集A，若f在A中的任意一点处光滑，则称f在A上光滑，或f是A上的光滑函数。特别地A=M光滑函数如果f在x处光滑，那么在某包含x的区图U,φ下，f∘φ−1在φx处光滑。事实上，任意取另一个包含x的区图f∘按照光滑流形中局部坐标（区图）选取方式的约定，φ∘ψ−1是光滑函数，因此3告诉我们：f∘ψ−1在ψx处的光滑性等价于f光滑映射设M是m维光滑流形，N是n光滑流形x⊆M，f是M⟶N的函数，如果存在一个M的包含x的区图V,φ及一个N的包含fx的区图ψ作为ℝm的开集到ℝn子集的映射φx∈ℝn处光滑（任意阶可微），则称f在x处光滑。对于M上的任意子集A，若f在A中的任意一点处光滑，则称f在A上光滑，或f是A上的光滑函数⋇M上的光滑函数即M⟶ℝ的类似地，如果我们另取两个满足上述条件的M上的区图U,φ和N上的区图V，ψ按照光滑流形中局部坐标选取方式的约定，ψ∘ψ−1和φ∘φ−1都是光滑函数，因此ψ∘f∘φ−1在φf4中的三个括号里的映射分别是ℝnJ⋇ψ∘ψ−1和φ∘φ⋇从而两个Jacobi矩阵Jψ∘f由于ψ，ψ，φ，φ是任意的，这个秩rankJψ∘f∘φ−1φx只取决于f:ℝ⟶ℝ,x,y解：不难得到J因此该矩阵的秩在x,≠0时为2，在x=0时为光滑浸入，光滑嵌入设f:M⟶N是光滑流形间的光滑映射，如果f在M的每一点处的秩都等于dimM，则称f是一个光滑浸入。特别地，如果f还是M⟶N的（拓扑）嵌入，则称f是一个光滑嵌入。光滑浸入但不是单射的例子：f:ℝ⟶x⟼光滑浸入，单射但不是光滑嵌入的例子：f:ℝ⟶x⟼光滑嵌入的例子：f:ℝ⟶x光滑淹没设f:M⟶N是光滑流形间的光滑映射，如果f在M的每一点处的秩都等于dimN，则称f是一个光滑淹没。例：柱面S1×ℝ到f:练习：M,N是两个光滑流形，请证明：积流形M×N上的两个自然投影映射π都是光滑淹没。光滑同胚设f:M⟶N是光滑流形间的光滑映射，如果f是双射，并且f−1也是光滑映射，则称f是M⟶N光滑同胚建立了两个流形上光滑结构的一一对应：f:M⟶N是光滑同胚，则对于M中的任一光滑区图U,φ，fU，此外，f:M⟶N是光滑嵌入，意味着f:M⟶fM我们在“拓扑学知识补充”部分介绍的所有同胚，实际上都是光滑同胚（因为都是用初等表达式定义的）。比如⋇通过坐标伸缩定义的球面到椭球面的同胚⋇通过球极投影定义的S∗2与Whitney嵌入定理Whitney嵌入定理：n维光滑流形总是可以光滑嵌入到ℝ2n+1中，即对于任意一个n维流形M，存在一个ℝ2n+1中的光滑子流形M'⊆ℝ⋇这说明我们上一讲介绍的ℝm中的光滑流形也是具有一般性的：ℝ⋇HermannWeylgaveanintrinsicdeɦnitionforDifferentiablemanifoldsinhislecturecourseonRiemannSurfacesin1911-1912.⋇Duringthe1930sHasslerWhitneyandothersclarifiedtheFoundationalaspectsofthesudject,andthusintuitionsDatingbacktothelatterhalfofthe19thcenturybecamePercise,anddevelopedthroughdifferentialgeometryandLiegrouptheory.Weyl和Whitney用拓扑语言给出的微分流形定义，如今是所有国内外微分流形教材所采纳的标准定义。然而⋯这就是我们为什么首先介绍ℝm但Weyl和Whitney定义对我们而言仍然是有意义的：从最基础的定义层面上给出了分析力学中“广义坐标”的数学概念。强调了空间的内蕴性：流形内的问题不应该受流形外的因素（比如流形的高维欧氏空间中的嵌入方式）的影响，个人认为比彭加莱的嵌入式定义要完善。事实上，Arnold也没有反对Weyl和Whitney对流形的定义方式，他只是反对把这种定义填鸭式地灌输给学生，在《经典力学的数学方法》中，他也忠实地用这种方式给出了流形的定义。关于流形定义的历史：中文译名Riemann在研究曲面几何时创造了最初的德文术语Mannig-faltigkeit，该词被译为manifold。中译名“流形”的由来：文天祥《正气歌》开篇天地有正气，杂然赋流形中国数学家江泽涵先生取其中“流形”二字，意译了“manifold”所表的“多变”之意。⋇日译：多样体，是该词的直译，⋇江泽涵先生的另一个著名