九年级数学相似三角形专项训练卷

九年级数学相似三角形专项训练卷相似三角形是九年级几何的核心内容之一，它不仅是全等三角形知识的延伸与拓展，更是解决复杂几何问题、培养逻辑推理能力和空间想象能力的重要载体。本专项训练卷旨在帮助同学们系统梳理相似三角形的知识点，强化基本技能，提升综合运用能力，为后续学习打下坚实基础。一、核心知识回顾与梳理在进入专项训练之前，我们先来回顾一下相似三角形的关键知识点，确保我们的“武器库”储备充足。1.相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。*注意：相似比具有顺序性，若△ABC与△A'B'C'的相似比为k，则△A'B'C'与△ABC的相似比为1/k。2.相似三角形的判定方法：*预备定理（平行线法）：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。*判定定理1（AA或AAA）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。*判定定理2（SAS）：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。*判定定理3（SSS）：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。*直角三角形相似的特殊判定：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（可视为“HL”的相似版本）3.相似三角形的性质：*对应角相等。*对应边成比例。*对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。*周长的比等于相似比。*面积的比等于相似比的平方。*外接圆半径比、内切圆半径比都等于相似比。二、典型例题精析掌握了基本知识点，我们通过几道典型例题来深化理解，学习解题思路与技巧。例题1（基础判定与性质综合）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC。（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，DB=2，BC=6，求DE的长；（3）若△ADE的面积为4，求△ABC的面积。分析：（1）要证△ADE∽△ABC，已知DE∥BC，根据相似三角形的预备定理（平行线法）即可直接判定。（2）根据相似三角形对应边成比例，可得AD/AB=DE/BC。其中AB=AD+DB，代入数据即可求出DE。（3）根据相似三角形面积比等于相似比的平方，先求出相似比AD/AB，再平方后即可得到面积比，进而求出△ABC的面积。解答：（1）证明：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似）。（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴AD/AB=DE/BC。∵AD=3，DB=2，∴AB=AD+DB=3+2=5。∴3/5=DE/6，解得DE=18/5=3.6。（3）解：∵△ADE∽△ABC，相似比k=AD/AB=3/5，∴S△ADE/S△ABC=k²=(3/5)²=9/25。∵S△ADE=4，∴4/S△ABC=9/25，解得S△ABC=100/9。例题2（利用SAS判定相似与比例线段）已知：如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠A=∠A'，AB/A'B'=AC/A'C'=2/3。（1）求证：△ABC∽△A'B'C'；（2）若BC=4，求B'C'的长；（3）若△A'B'C'的周长为18，求△ABC的周长。分析：（1）已知一组对应角相等（∠A=∠A'），且夹这个角的两边对应成比例（AB/A'B'=AC/A'C'=2/3），直接应用SAS判定定理即可。（2）利用相似三角形对应边成比例，已知相似比为2/3，则BC/B'C'=2/3，代入BC的长度可求B'C'。（3）相似三角形周长比等于相似比，故△ABC的周长/△A'B'C'的周长=2/3，代入△A'B'C'的周长可求△ABC的周长。解答：（1）证明：在△ABC与△A'B'C'中，∵∠A=∠A'，AB/A'B'=AC/A'C'=2/3，∴△ABC∽△A'B'C'（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。（2）解：∵△ABC∽△A'B'C'，相似比k=2/3，∴BC/B'C'=k=2/3。∵BC=4，∴4/B'C'=2/3，解得B'C'=6。（3）解：∵相似三角形周长的比等于相似比，∴C△ABC/C△A'B'C'=k=2/3。∵C△A'B'C'=18，∴C△ABC=(2/3)×18=12。例题3（综合应用与辅助线添加）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高。求证：（1）△ACD∽△ABC∽△CBD；（2）CD²=AD·BD；（3）AC²=AD·AB；BC²=BD·AB。（此为射影定理，可作为相似的重要应用）分析：（1）要证三个三角形两两相似，均为直角三角形，可通过寻找另一组对应锐角相等来判定（AA）。例如在△ACD和△ABC中，∠A为公共角，且都有一个直角，故相似。同理可证其他组合。（2）、（3）要证等积式，通常先将其转化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。解答：（1）证明：∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°。在△ACD和△ABC中，∠A=∠A（公共角），∠ADC=∠ACB=90°，∴△ACD∽△ABC（有两个角对应相等的两个三角形相似）。在△CBD和△ABC中，∠B=∠B（公共角），∠CDB=∠ACB=90°，∴△CBD∽△ABC。∴△ACD∽△ABC∽△CBD。（2）证明：∵△ACD∽△CBD，∴AD/CD=CD/BD（相似三角形对应边成比例），∴CD²=AD·BD。（3）证明：∵△ACD∽△ABC，∴AD/AC=AC/AB（相似三角形对应边成比例），∴AC²=AD·AB。同理，∵△CBD∽△ABC，∴BD/BC=BC/AB，∴BC²=BD·AB。三、专项练习题（一）基础巩固1.下列说法中，正确的是（）A.两个等腰三角形一定相似B.两个等边三角形一定相似C.两个直角三角形一定相似D.两个等腰直角三角形一定不相似2.若△ABC∽△DEF，且相似比为3:2，已知△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A.12B.27C.6D.363.如图，△ABC中，DE∥BC，若AD=2，DB=3，AE=4，则EC的长为（）（图形描述：△ABC，D在AB上，E在AC上，DE连接）4.已知△ABC∽△A'B'C'，且相似比为k，若△ABC的面积为S，则△A'B'C'的面积为（）（用含S和k的代数式表示）5.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥BC于E。求证：△BDE∽△BAC。（图形描述：直角△ABC，∠C=90°，D为AB中点，DE⊥BC，垂足为E）（二）能力提升6.如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AO=2，OD=4，BO=3，则BC的长为（）（图形描述：两条平行线AB和CD被AD、BC所截，交点为O）7.在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别在AB、AC上，且DE将△ABC的面积分成相等的两部分，DE∥BC，则AD的长为（）8.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE，作AF⊥AE交CD的延长线于F。求证：△ABE∽△ADF。（图形描述：正方形ABCD，E在BC上，F在CD延长线上，AF⊥AE）9.已知：如图，△ABC中，点D在AC上，且AB²=AD·AC。求证：∠ABD=∠C。（图形描述：△ABC，D在AC上，连接BD）（三）拓展延伸10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为2cm/s。设运动时间为t秒（0<t<4）。连接PQ。（1）当t为何值时，△PCQ与△ACB相似？（2）设△PCQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式。（图形描述：Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8。P在AC上从A向C运动，Q在BC上从C向B运动）11.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12。点D在边BC上（不与B、C重合），DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F。设BD=x，四边形AEDF的面积为y。（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，四边形AEDF的面积最大？最大面积是多少？（图形描述：等腰△ABC，AB=AC=10，BC=12，D在BC上，DE∥AC，DF∥AB，E在AB，F在AC）四、解题策略与温馨提示1.找相似，看条件：拿到题目，先观察已知条件，看是否有平行线、等角、比例线段等，联想相应的判定方法。2.证相似，记定理：熟练掌握并灵活运用相似三角形的判定定理（AA,SAS,SSS,预备定理）。AA是最常用的判定方法，尤其在有公共角、对顶角、同角的余角（补角）等条件时。3.用性质，想比例：相似三角形的性质主要体现在“对应”上，对应角相等，对应边成比例。涉及到周长、面积、高、中线、角平分线等，要准确运用其与相似比的关系。4.遇等积，化比例：证明线段的等积式（如ab=cd），通常先将其转化为比例式（如a/c=d/b或a/d=c/b），再通过证明包含这些线段的两个三角形相似来解决。5.作