第五章晶体中电子能带理论1

第五章晶体中电子能带理论是目前研究固体中电子运动的主要理论基础，量子力学建立后逐渐发展起来。最初的成就在于对晶体中电子运动给出普遍性的结论。------说明固体何以有导体、半导体、绝缘体之分------晶体中电子的自由程为何远大于原子间距------为分析半导体提供了理论基础，推动了半导体技术的发展计算机的发展使能带理论发展到对具体材料复杂能带结构进行计算。能带理论是一个近似理论，固体中存在大量电子，对这种多电子系统严格求解是不可能的。引言:晶体最大的特点就是具有周期性结构，满足平移对称性。在考虑电子和离子实之间的相互作用的前提下，给出周期性结构中系统的哈密顿量，并考虑对哈密顿的近似处理

-------模型的建立

假定晶体体积，含有N个带正电荷Ze的离子实，

Z为单原子的价电子数目，晶体中有NZ个价电子。即：N个离子实，每个离子实带正电荷Ze，其位矢用表示；NZ个价电子，简称为电子，其位矢用表示。模型的建立系统的哈密顿为：NZ个电子的动能和库仑势

N个离子实的动能和库仑势

电子和离子实之间的库仑势

式中表示求和时i

j,½

源于考虑了两次相互作用描写体系的薛定谔方程为：（其中代表，代表）

上述问题是一个NZ+N的多体问题，无法直接求解薛定谔方程，为此进行如下假设和近似：1、绝热近似（玻恩—奥本海默近似）

认为离子实固定在其瞬时位置上，只关注电子体系的运动。此时，离子实的动能项和离子实之间的库仑势可不考虑。

为离子实的瞬时位置，是其中的一个参量。一般情况下，离子实是围绕其平衡位置作小振动（晶格振动）。绝热近似忽略晶格振动的影响，认为即是平衡位置的2、单电子近似(平均场近似)

哈密顿中的项，使电子的运动彼此关联，难于处理。为此，用一个平均场来代替项。(每个电子处于其他电子的平均场中)则电子体系的哈密顿进一步简化为：此式表明，晶体中总的是NZ个单电子的哈密顿之和，即多体问题简化为单体问题。单电子势能3、周期场近似单电子势能:周期场近似的内容是：假定具有和晶格同样的平移对称性，即：成立绝热近似单电子近似周期场近似将复杂的多粒子体系问题简化为周期场中单电子的运动单电子势能周期场中单电子薛定谔方程的本征函数（布洛赫波函数）。从两个极端情况出发（电子受原子核束缚强弱），近自由电子近似和紧束缚近似，了解晶体中电子能带结构的起源。周期场中电子的动力学行为。从能带论的角度讲述何以有导体、半导体和绝缘体之分。本章主要内容：§5.1布洛赫波函数一、布洛赫定理及证明（有关周期场中单电子薛定谔方程的本征函数）二、波矢k的取值与物理意义本节主要内容:布洛赫定理(Blochtheorem)及证明布洛赫定理：

对于周期性势场，即其中取布拉维格子的所有格矢，则单电子薛定谔方程:

的本征函数是按布拉维格子周期性调幅的平面波，即且对取布拉维格子的所有格矢成立。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。且布洛赫定理也可以表述为：对前述定理中薛定谔方程的每一本征解，存在一波矢，使得：对属于布拉维格子的所有格矢成立。布洛赫定理的证明(1)引入平移对称算符(2)说明:布洛赫电子(Blochelectron)

把遵从周期势单电子薛定谔方程的电子，或用布洛赫波函数描述的电子称为布洛赫电子，相应的描述晶体电子行为的这种波称为布洛赫波。对属于布拉维格子的所有格矢,只要证得即可。(3)证明思路(1)引入平移对称算符定义：性质：(2)证明：即平移对称算符与晶体中布洛赫电子的哈密顿算符对易所以晶体中单电子哈密顿量具有晶格周期性。微分算符与坐标原点的平移无关，比如在直角坐标系中：所以平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。

由于对易的算符有共同的本征函数，所以如果波函数是的本征函数，那么也一定是算符的本征函数。根据平移算符的性质：(3)证明：其中可得到：即周期性边界条件：同理可得：这样的本征值取下列形式为整数则：引入矢量：为整数式中为晶格三个倒格基矢，由于,---布洛赫定理得证。

可以看出平面波能满足上式：因此矢量具有波矢的意义。讨论的意义取分立值

为使与本征值一一对应，必须把波矢的取值限制在一个倒格子原胞区间内（第一布里渊区）为整数波矢k的取值与物理意义

在第一布里渊区内，电子的波矢数目等于晶体的原胞数目N=N1N2N3。在波矢空间内，由于N的数目很大，波矢点的分布是准连续的。电子的波矢密度为：

取值是量子化的，在空间均匀分布，一个值平均占据体积：为晶体的体积证明：根据布洛赫定理下面证明得证令：说明：在第六章描述的自由电子情形，由于波函数：对自由电子情形，动量算符有确定的本征值，代表电子的动量。

但是，对于布洛赫电子，由于布洛赫波函数：

所以，布洛赫波函数不再是动量算符的本征函数，不再代表布洛赫电子的动量。一般把称为晶体动量,而把理解为标志电子在具有平移对称性的周期场中不同状态的量子数。

例：一维周期场中电子的波函数应当满足布洛赫定理，若晶格常量为a，电子波函数为