相似三角形判定专项练习题

相似三角形判定专项练习题相似三角形是平面几何中的核心内容之一，其判定方法的灵活运用是解决几何问题的重要工具。掌握相似三角形的判定，不仅需要对定理有深刻的理解，更需要通过适量的练习来融会贯通，形成解题思路。本文将提供一系列专项练习题，并附详细解析，旨在帮助同学们巩固所学，提升解题能力。一、相似三角形判定定理回顾在开始练习之前，我们先简要回顾相似三角形的主要判定定理，这是解决问题的基础：1.平行线法（预备定理）：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。2.两角分别相等的两个三角形相似。3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。4.三边成比例的两个三角形相似。5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。（此为直角三角形特有的判定方法，可视为“SSS”或“SAS”的特殊情况）在实际解题中，要根据题目所给条件，灵活选择最简便、最直接的判定方法。二、专项练习题（一）基础巩固题题目1如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC。若AD=3，DB=2，AE=4，求EC的长。（考点：平行线分线段成比例定理，相似三角形判定预备定理）题目2已知△ABC与△A'B'C'中，∠A=∠A'，AB=6，AC=8，A'B'=3，A'C'=4。判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由。（考点：“SAS”判定定理的直接应用）题目3在△ABC和△DEF中，AB=4，BC=5，AC=6；DE=8，EF=10，DF=12。求证：△ABC∽△DEF。（考点：“SSS”判定定理的应用）（二）能力提升题题目4如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高。求证：△ACD∽△ABC∽△CBD。（考点：直角三角形相似的判定，“AA”定理的灵活应用，射影定理的预备知识）题目5已知：如图，在△ABC中，点D在AB上，且AD=2，DB=4，AC=3。在AC上是否存在一点E，使得△ADE与△ABC相似？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由。（考点：相似三角形的存在性问题，分类讨论思想，“AA”或“SAS”的应用）题目6如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，CE交AD于点F。求证：△EAF∽△EBC。（考点：平行四边形性质与相似三角形判定的结合，“AA”定理的应用）题目7如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠ADE=∠B。求证：△ADE∽△ABD。（考点：等腰三角形性质，等角的转化，“AA”定理的应用）三、参考答案与解析（一）基础巩固题题目1解析：∵DE∥BC，∴根据相似三角形判定的预备定理（或“AA”定理，因为DE∥BC可推出∠ADE=∠B，∠AED=∠C），可得△ADE∽△ABC。∴AD/AB=AE/AC。∵AD=3，DB=2，∴AB=AD+DB=5。∵AE=4，设EC=x，则AC=AE+EC=4+x。∴3/5=4/(4+x)解得：x=8/3。故EC的长为8/3。题目2解析：△ABC与△A'B'C'相似。理由如下：∵∠A=∠A'（已知），AB/A'B'=6/3=2，AC/A'C'=8/4=2，∴AB/A'B'=AC/A'C'。∴根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”（SAS），可得△ABC∽△A'B'C'。题目3证明：∵AB/DE=4/8=1/2，BC/EF=5/10=1/2，AC/DF=6/12=1/2，∴AB/DE=BC/EF=AC/DF。∴根据“三边成比例的两个三角形相似”（SSS），可得△ABC∽△DEF。（二）能力提升题题目4证明：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，∴∠ADC=∠ACB=90°。又∵∠A=∠A（公共角），∴△ACD∽△ABC（AA）。同理，∠CDB=∠ACB=90°，∠B=∠B（公共角），∴△CBD∽△ABC（AA）。∴△ACD∽△ABC∽△CBD。题目5解析：存在。分两种情况讨论：情况一：当△ADE∽△ABC，且∠ADE=∠B时，则有AD/AB=AE/AC。∵AD=2，DB=4，∴AB=AD+DB=6。AC=3。∴2/6=AE/3，解得AE=1。情况二：当△ADE∽△ACB，且∠ADE=∠C时，则有AD/AC=AE/AB。∴2/3=AE/6，解得AE=4。∵AC=3，而AE=4>AC，此时点E在AC的延长线上，题目问“在AC上是否存在”，若严格限定在AC线段上，则此情况舍去；若包括延长线，则存在。需根据题意判断，通常此类问题若无特殊说明，可考虑线段及其延长线，但本题明确“在AC上”，故AE=4不符合。因此，仅存在AE=1。综上，在AC上存在点E，使得△ADE与△ABC相似，此时AE的长为1。题目6证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC（平行四边形对边平行），AB∥CD。∵AD∥BC，∴∠EAF=∠EBC（两直线平行，同位角相等）。又∵∠E=∠E（公共角），∴△EAF∽△EBC（AA）。题目7证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）。∵∠ADC=∠B+∠BAD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），又∵∠ADC=∠ADE+∠EDC，∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC。∵∠ADE=∠B（已知），∴∠BAD=∠EDC。（另一种思路：∵∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAD（公共角），∴△ADE∽△ABD（AA）。此法更直接！）是的，更简洁的是：在△ADE和△ABD中，∵∠ADE=∠B（已知），∠DAE=∠BAD（公共角），∴△ADE∽△ABD（AA）。四、总结与提示通过以上练习，我们可以看出，相似三角形的判定关键在于准确识别图形中的等角关系和比例线段关系。在解题时，要注意以下几点：1.仔细观察图形：寻找已知的平行关系、对顶角、公共角、直角等，这些往往是角相等的直接来源。2.灵活选择判定方法：根据题目给出的条件，选择最合适的判定定理。“AA”定理应用最为广泛，尤其是在有平行条件或角平分线、等腰三角形等背景下。“SAS”和“SSS”则需要确定对应边成比例。3.注意对应关系：在表示相似三角形时，要注意顶点的对应顺序，这直接关系到对应角和对应边的确定。4.辅助线的添加：当直接条件不足时，可考虑添加辅助线，如作平行