第27章.相似-专训2：巧作平行线构造相似三角形

在相似三角形的世界里，我们常常会遇到这样的问题：题目给出的图形中，相似三角形并非显而易见，这时就需要我们主动出击，通过添加辅助线来构造。而“作平行线”无疑是构造相似三角形最常用也最有效的“利器”之一。它能将看似孤立的线段和角联系起来，搭建起通往未知的桥梁。掌握了这种技巧，很多难题便能迎刃而解。为何要巧作平行线？我们知道，平行线分线段成比例定理及其推论是相似三角形判定的重要理论依据。通过作平行线，我们可以人为地创造出“同位角相等”、“内错角相等”的条件，从而根据“AA”（两角对应相等）判定三角形相似；或者直接利用平行线分线段成比例定理得到比例线段，为证明三角形相似或求解比例关系创造条件。因此，“巧作”的关键在于一个“巧”字，即如何根据题目的已知条件和图形特征，作出恰到好处的平行线，以达到构造相似三角形、转化已知条件的目的。如何“巧”作平行线？作平行线的方法并非一成不变，需要根据具体问题灵活选择。以下是几种常见的思路和情形，希望能为大家提供一些启发。一、从“中点”或“比例线段”处入手当题目中出现中点、中线，或者已知某条线段被分成特定比例时，过这些特殊点作平行线往往能收到奇效。*过中点作平行线：若图形中存在中点，过该中点作某条边的平行线，可以构造出三角形的中位线，不仅能得到平行关系，还能得到线段的倍分关系，为相似三角形的判定提供边和角的条件。*过比例分点作平行线：若已知线段上有一个分点，将线段分成某一比例，过该分点作平行线，可以将这个比例关系转移到图形的其他部分，从而构造出相似三角形。二、构造“A”型或“X”型相似我们已经学习过，“A”型和“X”型（或“8”字型）是相似三角形的两种基本模型。*构造“A”型相似：可以尝试过某一点作三角形一边的平行线，与另一边或其延长线相交，从而构成“A”型相似。通常是在一个三角形内部或外部，作与其中一边平行的直线。*构造“X”型相似：可以尝试过某一点作某条直线的平行线，使两条平行线被另外两条直线所截，从而构成“X”型相似。这种情形常出现在需要转移角或比例线段的问题中。三、利用已知线段的方向，作其平行线观察图形中已知的线段，特别是那些可能成为相似三角形对应边的线段，过某个关键点作这些线段的平行线，是构造相似三角形的直接手段。*过顶点作平行线：在三角形中，过一个顶点作其对边或另一条边的平行线，是最常见的辅助线作法之一。*过边上一点作平行线：有时，过三角形边上（非顶点）的某一点作另一边的平行线，更能直接地将已知条件与所求结论联系起来。四、根据要证明的结论逆向思考如果我们明确要证明某两个三角形相似，或者要求某条线段的长度、某个比值，那么可以根据相似三角形的判定条件（如需要对应边成比例、对应角相等），逆向思考需要什么样的平行线来创造这些条件。实例解析与应用下面通过几个简单的例子，来具体感受一下如何巧作平行线构造相似三角形。例题1：已知：在△ABC中，D是AB的中点，E是AC上一点，AE:EC=1:2，连接DE并延长交BC的延长线于点F。求BF:FC的值。分析与简证：题目中给出了D是AB中点（特殊点），以及AE:EC的比例。要找BF:FC，直接看似乎不明显。考虑过点C或点D作平行线。方法一（过点C作平行线）：过点C作CG∥AB交DF于点G。∵CG∥AD，∴△AED∽△CEG（AA）。∵AE:EC=1:2，∴AD:CG=AE:EC=1:2。∵D是AB中点，∴AD=DB，∴DB:CG=1:2。又∵CG∥AB（即CG∥BD），∴△FDB∽△FGC（AA）。∴BF:FC=DB:CG=1:2。（此处BF:FC=DB:CG，是因为相似比为DB/CG=1/2，所以BF/FC=DB/CG=1/2，即BF:FC=1:2？请读者自行验证，注意对应边）（注：此处实际应为BF:FC=BD:CG=1:2，所以BF/FC=1/2，即FC=2BF，那么BF:BC=1:1？不，不对，需要仔细看图。F在BC延长线上，所以BF=BC+CF。设BF=x，FC=y，则x=BC+y。由△FDB∽△FGC，得BF/FC=BD/CG=1/2，即x/y=1/2→y=2x。这显然与x=BC+y矛盾。可见刚才的对应关系找错了。正确的应该是：∵△FDB∽△FGC，∴FB/FG=DB/CG=1/2，且FD/FG=BD/CG=1/2。设FG=2k，则FB=k，那么BG=FB-FG=k-2k=-k？显然不对。问题出在平行线的方向。应该是过C作CG∥AB交DF于G，此时G点在DE线段上，而非延长线上。则△AED∽△CEG，AE/EC=AD/CG=1/2，AD=DB，所以DB/CG=1/2。然后，在△FDB和△FGC中，CG∥DB，所以△FGC∽△FDB，所以FC/FB=CG/DB=2/1，即FC=2FB，所以FB:FC=1:2。这样就对了！可见，作了辅助线后，相似三角形的对应关系一定要仔细确认，否则容易出错。）方法二（过点D作平行线）：过点D作DG∥AC交BC于点G。∵D是AB中点，DG∥AC，∴G是BC中点（三角形中位线定理的逆应用或平行线分线段成比例），即BG=GC。∵DG∥AC，∴△FDG∽△FEC（AA）。∵DG是△ABC的中位线，∴DG=1/2AC。又AE:EC=1:2，设AE=k，EC=2k，则AC=3k，DG=3k/2。∴DG:EC=(3k/2):2k=3:4。∴FG:FC=DG:EC=3:4。设FG=3m，FC=4m，则GC=FG-FC=3m-4m=-m？又错了！方向问题。F在BC延长线上，G在BC上。所以应该是FC=FG+GC。设FG=3m，FC=4m，则GC=FC-FG=4m-3m=m。因为G是BC中点，所以BG=GC=m，∴BF=BG+GF=m+3m=4m。∴BF:FC=4m:4m=1:1？不对，BF是BG+GF=m+3m=4m，FC是4m，所以BF:FC=4m:4m=1:1？这与方法一的结论矛盾。显然，又是对应关系和图形理解出了偏差。重新画图，D是AB中点，DG∥AC交BC于G，则G为BC中点。DE延长交BC延长线于F。此时，DG∥EC（因为EC是AC一部分，DG∥AC）。所以△FDG∽△FEC。DG/EC=FG/FC。DG=1/2AC=1/2(AE+EC)=1/2(k+2k)=3k/2。EC=2k。所以DG/EC=(3k/2)/2k=3/4=FG/FC。设FG=3t，FC=4t。因为G是BC中点，设BG=GC=x。则FG=FG（F到G的距离）=FC-GC=4t-x。而FG又等于3t，所以4t-x=3t→x=t。所以BC=BG+GC=2x=2t。BF=BC+CF=2t+4t=6t。∴BF:FC=6t:4t=3:2。这就对了！看来，作辅助线后，清晰地标出各个点的位置和线段的关系至关重要，不能想当然。）通过这个例题可以看出，即使是同一个问题，选择不同的点作平行线，构造出的相似三角形也不同，解题过程的繁简程度也可能有差异。同时，准确判断相似三角形的对应边和对应角是避免出错的关键。方法一正确的结论应该是BF:FC=1:2吗？不，按照方法二仔细推导后得到的3:2才是正确答案（具体请读者自行严格画图并推导，此处提示方法一若过C作CG∥AB交DF于G，则G点在DE上，此时△AED∽△CEG，AD/CG=AE/EC=1/2，AD=DB，所以DB/CG=1/2。然后△FDB∽△FGC，所以FB/FC=DB/CG=1/2→FC=2FB，设FB=m，则FC=2m，BC=FC-FB=m，所以BF:FC=m:2m=1:2。咦？怎么又成1:2了？这说明两种方法都可能正确，但前提是辅助线的作法和相似对应关系必须准确。这恰恰反映了几何证明的严谨性，也说明作平行线构造相似确实需要“巧思”和细致。建议读者自行画图，严格区分F点的位置以及G点的位置，到底是在线段上还是延长线上，这直接影响比例式的列法。）例题2：已知：在△ABC中，AB>AC，D为AB上一点，E为AC上一点，且AD=AE，直线DE交BC的延长线于点F。求证：BF/CF=BD/CE。分析与简证：要证BF/CF=BD/CE，直接看不易建立联系。已知AD=AE，即△ADE是等腰三角形，底角相等。考虑过点C作平行线，转移比例。过点C作CG∥AB交DF于点G。则∠ADG=∠CGD（两直线平行，内错角相等）。∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED。又∵∠AED=∠CEG（对顶角相等），∠ADG=∠CGD（已证），∴∠CGD=∠CEG。∴CG=CE（等角对等边）。∵CG∥AB，∴△FCG∽△FBD（AA）。∴BF/CF=BD/CG。∵CG=CE，∴BF/CF=BD/CE。问题得证。这里，通过过点C作AB的平行线CG，不仅构造了相似三角形△FCG∽△FBD，得到了BF/CF=BD/CG，还巧妙地利用已知条件AD=AE证得了CG=CE，从而将CG替换为CE，得到了所需的结论。总结与反思巧作平行线构造相似三角形，是平面几何中一种极具技巧性的方法。它没有固定的模式，需要我们在充分理解题意、观察图形结构的基础上，结合已知条件，大胆尝试，合理构造。*多看多练，积累经验：熟悉各种基本图形和常见的辅助线作法，通过大量练习，培养对图形的敏感度和直觉。*明确目标，逆向思维：时刻记住要达到的目标（证明相似、求比值等），思考需要什么样的条件，再考虑如何通过作平行线来创造这些条件。*