华师大版八下数学第十五章 分式提升卷（含答案）

2025-2026学年八年级下册数学单元自测第十五章分式·能力提升建议用时：60分钟，满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列从左到右的分式变形中，正确的是（

）A． B． C． D．2．已知分式满足下列表格中的信息：的取值分式的取值无意义则分式有可能是（

）．A． B． C． D．3．若代数式和的值相等，则x的值为（

）A． B． C． D．4．已知关于x的分式方程无解，则k的值为（

）A．或 B． C．或 D．5．《九章算术》中的驿站送信问题：一份文件，若用慢马送到里的城市，所需时间比规定时间多用1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少用3天，已知快马的速度是慢马速度的2倍．设规定时间是x天，则可列方程为（

）A． B．C． D．6．化简的结果是（

）A． B． C． D．7．若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，以下结论中，正确的个数为（

）①；②若，则；③若，则；④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且10．在欧拉的著作《代数引论》中有这样一道趣题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖得的钱数相同．甲农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖得15个铜板．”乙农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖得个铜板．”试问这两名农妇各带了多少个鸡蛋？设甲农妇带了个鸡蛋，列出方程，现有以下结论：①甲农妇所卖鸡蛋的单价是；②乙农妇所卖鸡蛋的单价是；③100个鸡蛋所卖得的钱数是；④所列方程依据的等量关系是甲乙农妇卖得的钱数相同．其中正确的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．已知，则的值．12．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为．13．已知（且），，则的值为．14．已知，则．15．若，则．16．已知三个数x，y，z满足，，，则的值为．三、解答题（共7小题，共72分）17．（8分）已知：，求代数式的值．18．（10分）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．(1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由；(2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值．19．（10分）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．燃油车油箱容积：升油价：元升续航里程：千米每千米行驶费用：元新能源车电池电量：千瓦时电价：元千瓦时续航里程：千米每千米行驶费用：_____元(1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元．分别求出这两款车的每千米行驶费用．若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用20．（10分）已知关于的分式方程．(1)若该方程有增根，求的值．(2)若该方程的解为非负数，求的取值范围．(3)若该方程的解为整数，直接写出整数的值21．（10分）综合与实践在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．【洗衣过程】步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水．浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：）【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于【动手操作】请按要求完成下列任务：(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？(2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．22．（12分）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”．(1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”）(2)已知分式是分式A的“友好分式”．①求分式A的表达式；②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值；(3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值．23．（12分）阅读下面材料：小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式．他还发现像，等交换对称式都可以用，表示．例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式．请根据以上材料解决下列问题：(1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）；(2)已知．①___________（用含，的代数式表示）；②若，，求交换对称式的值；③若，求交换对称式的最小值．

2025-2026学年八年级下册数学单元自测第十五章分式·能力提升（参考答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）12345678910CCCAADDBDB二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．-1或312．1613.14.15.16.三、解答题（共7小题，共72分）17．（8分）已知：，求代数式的值．【详解】解：，（5分）∵，∴，（6分）把代入，原式．（8分）18．（10分）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．(1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由；(2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值．【详解】（1）解：方程与方程是“相似方程”，理由如下：解方程得，（2分）解方程得，（4分）检验：是该分式方程得解．∴方程与方程是“相似方程”（5分）（2）解：∵和是“相伴方程”．∴（6分）∵x，y，m均为整数，∴，（8分）∴，又∵m为正整数∴或（10分）19．（10分）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．燃油车油箱容积：升油价：元升续航里程：千米每千米行驶费用：元新能源车电池电量：千瓦时电价：元千瓦时续航里程：千米每千米行驶费用：_____元(1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元．分别求出这两款车的每千米行驶费用．若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用【详解】（1）解：由表格可得，新能源车的每千米行驶费用为：（元），即新能源车的每千米行驶费用为元；（2分）（2）解：①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，，（5分）解得：，经检验，是原分式方程的解，，，答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；（7分）设每年行驶里程为，由题意得：，解得，答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．（10分）20．（10分）已知关于的分式方程．(1)若该方程有增根，求的值．(2)若该方程的解为非负数，求的取值范围．(3)若该方程的解为整数，直接写出整数的值【详解】（1）解：方程两边同乘以，得，即，（1分）∵该方程有增根，∴，解得，将代入，得，解得，答：a的值为3；（3分）（2）解：∵该方程的解为非负数，，∴，，即，且，∴，解得，（4分）∵原方程不能有增根，∴，即，∴，解得，∴且；（6分）（3）解：∵该方程的解为整数，，∴，，（7分）解得或或或，∵原方程不能有增根，∴，即，∴，解得，∴．（10分）21．（10分）综合与实践在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．【洗衣过程】步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水．浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：）【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于【动手操作】请按要求完成下列任务：(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？(2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．【详解】（1）解：把，代入得，（2分）解得．经检验符合题意；∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水．（4分）（2）解：第一次漂洗：把，代入，∴，（6分）第二次漂洗：把，代入，∴，而，∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标；（8分）（3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习．（10分）22．（12分）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”．(1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”）(2)已知分式是分式A的“友好分式”．①求分式A的表达式；②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值；(3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值．【详解】