数列的极限课件

数列的极限返回一、数列极限的定义割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽概念的引入正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积数列的概念定义:如果按照某一法则,对每个,对应着一个确定的实数,这些实数按照下标n从小到大排列得到的一个序列就叫做数列,简记为数列.数列中的每一个数叫做数列的项，第n项

叫做数列的一般项.例如注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数问题:当

无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过观察:当n无限增大时,无限接近于1.数列的极限观察数列当时的变化趋势.注意：如果数列没有极限,就说数列是发散的.1.ε具有任意给定性，它是描述与的无限接近程度.2.N与ε有关，且不唯一.几何解释:当时,所有的点都落在开区间,只有有限个(至多只有N个)落在这区间以外.其中任给的或每一个;存在或至少有一个.定义:使时,恒有数列极限的定义未给出求极限的方法.定义注意：证例1证明数列的极限是1.为了使小于任意给定的正数只要或所以,则当时,就有即例2已知,证明数列的极限是0.证:(设),只要或不等式必定成立.所以,取则当时,就有即小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.证(设),例3设证明等比数列的极限是0.要使只要取自然对数,得取则当时,就有即返回二、收敛数列的性质定理1(极限的唯一性)如果数列收敛,那么它的极限唯一.故收敛数列极限唯一.证

用反证法.假设同时有且由定义,取取使得当时,恒有(2)当时,恒有(3)当时,(2)式及(3)式会同时成立.但由(2)式有由(3)式有这是不可能的.例4证明数列是发散的.证如果这数列收敛,根据定理1它有唯一的极限.设由数列极限的定义,对于则当时,成立;即当时,都在开区间内.因此这数列发散.但这是不可能的,因为时,无休止地一再重复取得1和-1这两个数,而这两个数不可能同时属于长度为1的开区间内.有界性例如,数列有界无界数列定理2(收敛数列的有界性)如果数列收敛,那么数列一定有界.证注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.由定义,对于则使得当时恒有于是,当时,取故数列是有界的.证就的情形证明.由数列极限的定义,对当时,有从而定理3(收敛数列的保号性)如果,且(或),那么存在正整数,当时,都有

(或).推论如果数列从某项起有(或),且,那么(或).证设数列从第项起,即当时有.用反证法:若由定理3知,当时,有取当时,按假定有按定理3有引起矛盾.所以子数列的收敛性注意：例如，所谓子数列是指：数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{xn}中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子数列（或子列）.在子数列中，一般项是第项，而在原数列中却是第项，显然，定理4(收敛数列与子数列间的关系）

如果数列{xn}收敛于a，那末它任一子数列也收敛,且极限也是a.证毕．证设数列是数列的任一子数列.使时,恒有.取则当时