数学建模方法浅谈

数学建模办法浅谈

孟大志北京工业大学dzhmeng07@Tel1页第1页李大潜院士提倡：问题驱动应用数学。数学建模目的是科学研究与数学应用。应用数学办法：数学建模和科学与工程计算构成了数学应用两大支柱。第2页第2页引子：大学生问题：数学建模=数学引模？当前数学建模教学：简介建模五步法（一节课）；工具训练（两节课）；解说案例（二十节课）；练习（十节课）．如何建模？一、数学建模本质办法是什么？第3页第3页实际或竞赛建模问题课程学习与培训中数学建模案例

引用案例

借鉴案例类比、引用和借鉴是很有效办法：现实状况！数学建模办法=创造性本质办法+模型类比方法数学建模≠数学荐模+数学引模——一个初步实用，基于类比与经验办法：非普适、非创造性和非本质！但是：第4页第4页例一、Web中问题

网络已经成为当代人一个生活方式。在网上，天天有成千上万多媒体文献在传播（比如，路透社天天收到网上文本文献达20万）。试建立数学模型，使得能够对这些文献进行自动分类，以便人们阅读和使用。没有可类比案例时怎么办？第5页第5页例二、中国菜系研究

中国是一个美食及其文化非常丰富国家，由于国土辽阔，人口众多。中国著名菜系：苏菜、闽菜、川菜、鲁菜、粤菜、湘菜、浙菜、徽菜。请用数学建模办法研究这些菜系特点。第6页第6页1、模型?数学？数学模型？从基本概念理解出发：模型？+数学？→数学模型？→如何建模？问题：如何从数学模型概念出发结构办法结构化数学建模办法：基于创造本质性办法。第7页第7页1）社会科学模型经济与管理科学模型、军事模型（越战）、政治模型、社会学模型等等。1.1什么是模型这是一个通过举例或指认回答简朴问题。例选举模型:多数选举法、累计选举法等等，是特种社会活动模型。例经济学模型：市场模型、竞争模型、公司战略模型、股票模型、金融模型，等等。这些模型共同特点是：分析对象结构，表示方式易于理解，抽象度低。第8页第8页建筑模型，交通模型，电路模型，服装模型等等。表示：建筑设计图、交通网络、电路图、服装模版等。2）工程技术模型3）生命科学模型新陈代谢模型、光合作用模型、血液循环模型、DNA双螺旋模型、蛋白质结构模型等等。4）化学模型苯环、化学健理论、反应平衡等等；5）物理模型基本粒子、原子模型、晶体模型、光学衍射等等。用专业理论抽象出结构,并用专业语言表示模型。第9页第9页1.2模型是什么？模型：以特定目对事物原型抽象出结构并适当表示。抽象出结构：不是普通概念抽象，而是结构抽象；适当表示：使用不同知识与方法，需要不同语言表示。特定目标：目标不同，关注结构（事物内部联络）不同；原型抽象出结构模型第10页第10页例.飞机模型—目标不同，模型不同目：空气动力学研究抽象结构：外型结构，除去内部构造；目：机舱设计抽象结构：内部空间结构，除去外部结构；不同目标关注内容不同，抽象结构不同。表示：专业图形和航空语言表示。第11页第11页例.地图—是结构抽象！概念抽象（不是模型！）：楼群、居住小区、公共场合与设施、商区、政府机关、河流、湖泊、公交线路、各级公路、快速路、高速路、立交桥等等。目：都市交通研究抽象出结构：小区、商区、立交桥、道路、交叉路口等概念关联和区别——忽略细部特性、概念部分内涵、人口结构等等。模型表示：都市交通地图第12页第12页第13页第13页1.3关键是结构理解原型结构，抽象并表示结构是关键问题。什么是结构？抽象定义：集合结构是集合子集族。例图书馆字符集：中文字、英文字母、数字等等各种字符全体。书、文章、多媒体文本等形成子集族——集合文本结构。文本按知识类型分类，形成不同层次子集族——国际图书分类法——图书馆藏书结构——专业模型。第14页第14页例.语言不同结构产生不同文学信息

唐诗清明时节雨纷纷路上行人欲断魂借问酒家何处有牧童遥指杏花村

宋词清明时节雨纷纷路上行人欲断魂。借问酒家何处有牧童遥指杏花村。第15页第15页

剧本(元曲)[清明时节][雨纷纷][路上]行人（欲断魂）：借问酒家何处有？牧童（遥指）:杏花村。时间环境地点人物语言另人物动作语言第16页第16页抽象出结构:

七言唐诗××××××××××××××××××××××××××××比较规整,适于言志“诗言志”

宋词××××××××××××××××××××××××××××错落有序,用语活跃,适于抒情“词抒情”元曲时间、地点、情景、人物、动作、言语等。用语白话，易懂。百姓故事第17页第17页结构不同表示能够表现出文学基调不同：专业模型数学模型？乔姆斯基形式语言？七言唐诗****************************用音高表示：唏唏唏唏唏啦嫂发米来斗宋词****************************嫂啦米啦嫂米规则改变第18页第18页结构主义学派（Bourbaki

）：数学=集合+结构2.数学是什么？这是一个困难问题，并没有唯一答案。布巴基学派认为有三种母结构：序结构、代数结构和拓扑结构；其它数学结构都是母结构组合或复合，形成复杂结构。不同数学就是结构不同。

比如所谓实数直线R，就是由全体实数构成一维欧氏空间．我们将看到，R是一个完备阿基米德全序域．它是由代数结构(域)、序结构(全序)、拓扑结构(完备性结构)形成分支结构．第19页第19页数学是普适原型=集合+结构数学=集合+结构2.1数学普适性原型：详细元素与部件＋详细结构数学：抽象元素＋抽象结构数学研究内容决定了数学普适性！应用第20页第20页3.什么是数学模型“定义”：模型——原型结构适当表示；数学：集合+结构，数学是研究结构，数学模型：原型结构数学表示。“定义”→如何建模？第21页第21页3）推导模型公式完善模型假设，并表示成适定形式。4）求解模型选择正确解法，尤其是数值计算与分析。5）回答问题解释数学解，分析鲁棒性和近似假定，拟定解对于问题作用。2）选择建模办法利用经验、技巧和文献选择处理问题普通性求解办法。1）提出问题列出所有变量、单位和所有假设，并表示。用数学表示式给出问题目的。1.当前办法

普通建模程序，MarkM.Meerschaert著作“MathematicalModeling”中，提出数学建模五步法：二、结构主义数学建模第22页第22页

以上办法并没有处理抽象什么、怎么抽象，“抽象”是最抽象，学生在没有经验条件下束手无策。

通常教学重点在于讲案例，学生没有本质建模办法情况下，于是“荐模”和“引模”成为主要办法。结构化建模办法：提供分析办法——分析结构办法，学习原型结构表示办法——建立专业模型，学习数学结构，产生建模可操作程序。结构化建模办法不是排斥“五步法”，而是充实“第二步”详细可行办法。第23页第23页2.结构化数学建模程序利用数学理论分析、计算、推演，求得问题解或产生新结构揭示新专业结构。数学语言表示结构数学模型专业语言描述结构专业模型分析出原型结构，并用数学语言表示其结构。普通流程：有些问题专业模型难，有些问题数学模型难。对原型拟定目分析原型结构建立专业模型建立数学模型解数学模型寻找相应数学结构第24页第24页赛题：上海世博会影响力定量评估上海世博会是初次在中国举办世界博览会。从1851年伦敦“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技结果、表达合作精神、展望未来发展等主要舞台。请你们选择感兴趣某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估上海世博会影响力。三、结构主义建模例子第25页第25页用结构主义观点分析问题“问题”结构：背景、条件或限制、问题目的理解背景：背景帮助你理解问题全貌，尤其是开拓性。（高教收费问题引起）分析条件：条件内涵容易清楚，往往外延模糊，从而对于建模假设很故意义。明确目的：目的明确，尤其是多目的主次和关联性辨认。

第26页第26页对问题理解关键1（背景概念）：

什么是互联网数据？在互联网上自然传播数据，包括传播文本、多媒体数据类等；在互联网上发生数据：点击率等，由设备或终端行为转换成数据。互联网本身以外形成文本和多媒体数据，本身并不是在互联网上自然传播：图书馆电子书，统计局统计数据，银行数据等，应当不是互联网数据。第27页第27页对问题理解关键2（条件各种选择，外延）：“选择感兴趣某个侧面”，这是问题中简化性条件，由于问题涉及方面太多，因此只要从某个方面去证实自己结论。对问题理解关键3（目的内涵限定）：“定量评估”，两类互联网数据都要量化，尤其是网络上自然传播文本，需要量化分析。第28页第28页分析：从条件理解关键2，显然在世博会影响评估中涉及许多领域或视角：国家形象，宏观经济，百姓好恶，旅游发展等领域，视角：同地其它活动比对，历届世博会比对，与大型全国性活动比对，以及拓展性与预测性视角等。这种模糊或多选择，给你界定自己研究领域与视角选择，需要对背景进一步理解。这是开放性问题特点。一个显然理解：开放性没有原则答案，因此结论平凡显然不好，结论价值与新奇是关键。第29页第29页从目的理解关键3，两类互联网数据：发生和自然传播。第一类比如点击率，显然理解是关注度，“点击”本身没有内容，点击对象是分析、挖掘重点：正面和负面网页与文档，并且设计各个领域。第二类是在网络上自然传播各类文档（包括多媒体）。显然，除了文档数量与篇幅反应关注度以外，文档内容能够是：正面和负面网页与文档，并且设计各个领域。第30页第30页总体分析结论：

显然，通过条件、目的理解我们能够得到影响力评估两个主要内容：关注度和影响力内涵评估。选择一两个重点领域和某个适当视角进行比对，形成评估办法。详细分析：目的“量化”要求，对于关注度显然是统计模型进行分析；而影响力内涵评估模型是什么呢？第31页第31页必须建立文本理解与分析模型，基于文本分类模型。理解与分析:理解基于分类，理解就是分类！Web中问题:在网上，天天有成千上万多媒体文献在传播。试建立数学模型，使得能够对这些文献进行自动分类，以便人们阅读和使用。如何建立文本分类数学模型？第32页第32页在线文本自动分析原型目的：在线电子文本计算机自动分类与辅助理解。两类“分类模型”目的：检索性分类——国际图书分类法，目的是查询；理解性分类——基于语意、概念层、主题层细分类，目的是分析和理解。１）建立专业模型第33页第33页原型结构分析文本——章节——段落——语意团——句或短语——词——字符文本结构：原型有两层结构：文本结构，

文本集合结构。分析：文本集合结构依赖于文本结构；文本集合结构是原型对于目的主要结构；因此文本结构表示依赖文本集合结构。第34页第34页原型专业模型（源于关键词和摘要作用理解）模型1.

以词频为特性分类模型词:有语意初级字符串单位——语言细胞；词在文本中频率与不同类文本间频率差异是分类基本特性和基本结构性差异。模型2.

以语意团为特性，重在语意差别分类。模型3.

混合模型语言能力模型：乔姆斯基语法结构模型是另一类语言模型，目的是普通语言生成结构。第35页第35页文本集结构分析：分类是在文本集合中进行，因此是原型用于分类目的主要结构。联想到数学中结构，比如代数结构，是在集合中定义代数运算——加法和数法：元素间运算关系两个文本合并还是文本——加法封闭；一个文本倍数仍然是文本——数乘封闭！分析文本集结构，首先是文本之间互相关系：两个文本合并是什么？还是文本！２）同构分析第36页第36页同构：此时问题原型结构直接和数学结构联系起来！建立原型结构数学表示则建立了数学模型。文本集合应当有一个“线性空间”结构；文本分类是在线性空间中“向量分类”！含有高等代数知识，对于线性代数结构有清楚理解和关注，则容易发觉：第37页第37页以上分析导至文本向量概念：每个文本相应地定义一个文本向量，用于分类，分量如何定义？显然，分量是“分类特性”详细表示：基于词频以及用于区别文本量化表示—分析！模型1数学模型：向量空间结构+词频特性。３）同构表示与数学建模第38页第38页

依据专业模型，词频及含有分类特性信息，因此能够仿照熵定义：假设TF(w(i),dj)是词w(i)在文本dj中出现次数，|D|是D中文本总数，DF(w(i))是指在D中至少出现一次w(i)文本数。则每一个文本dj∈D，和一个特性词w(i）存在一量：这里熵形式，一来用类似信息熵定义，符合“分类”特性信息概念：好分类，信息增益；二来，词频作用不小于词在文本集合中出现作用。第39页第39页记d(i)j=TFIDF(w(i),dj)，则每一个文本dj∈D，存在一个分量适当排序文本向量:

第40页第40页文本集合数学模型——文本特性向量空间，分类问题是N维线性空间中向量分类问题。

许多办法能够用于求解，比如SVM分类器对于数据压缩很有效。第41页第41页文本自动分类:

理解文本类属性,子空间分类.文本自动聚类:

发觉文本集合中新模式,新概念.文本向量:

由文本实意词特性值或特性模式为分量向量.以信息熵形式结构.特性子空间:

含有某种共同意义分量构成子空间.

主义自由科学文本向量空间:

所有文本向量高维线性空间.应用事例：思想史研究中，“五四”运动讨论主要思想是什么？发觉在“自由主义”特性词所在子空间中，文本投影数量最大！第42页第42页有了文本分类向量模型，我们能够按照关键词搜索，建立网络文档在各个领域分类集合，进一步还能够用分类模型分开正面与负面文本。在此基础上进行统计比对，就得到量化影响力评估。尤其值得注意是，进一步使用文本向量分析办法，能够建立多原因评估办法。这类办法诸多。文本分类与理解研究已经很热，事实上有许多现成程序支持这种办法使用。第43页第43页四、数学模型发展伴随关键学科转变，数学应用对象发生改变，数学模型发生改变，数学内容、意义和办法也将发展与改变。第44页第44页1、中心学科转变对数模创新刺激二十世纪是物理学世纪：理论力学、电动力学（场论）、统计力学、量子力学与相对论。形成理论物理，同时推动了数学发展。流形上函数及其场方程模型：代数方程组和微分方程组。理论力学Lagrange和Hamilton方程组；电动力学Maxwell方程组；统计物理热力学基本方程和统计分布函数；量子力学ShrÖdinger、Dirac、Heisenberg方程；相对论爱因斯坦引力场方程。第45页第45页21世纪形成以生物为关键多中心：生物学能源信息社会经济第46页第46页陈省身：

二十世纪数学家要关注物理，21世纪数学家要关注生物学。杨振宁：

我们应当关注生物学，生物学还没有理论，但是积累了大量数据，期待理论建立。第47页第47页2、

系统生物学21世纪关键学科生物学世纪学科进展：分子生物学：生物分子化学，反应、结构与生物化学功效；生物组学：DNA序列与基因组学，蛋白质组学，代谢组学，信号转导网。产生高通量表示数据！第48页第48页系统生物学：理解生物体以及生物过程，并非只是在生命各个层次上研究，而是各层结构整合才涌现出生物功效。分子细胞组织与器官系统生物学是生物学第一个理论化学科，它将引导生物学从试验科学走向理论指导下试验、计算、理论科学。正象二十世纪理论物理产生时代！基本办法：海量数据计算为基础，系统数学建模为关键理论办法，以系统干扰为特性试验。第49页第49页——以数学建模为关键生物理论；——以高通量数据为主要对象科研领域；——以整体论为主办法试验与理论体系；——多学科综合研究新科学：数学、计算