2025重庆中考数学第23题专题复习 一

同学们，大家好。随着中考的脚步日益临近，我们的复习也进入了更为关键的阶段。数学作为中考的核心科目，每一道题都值得我们深入研究。今天，我们来聚焦中考数学试卷中的第23题。通常来说，这道题位于试卷中后段，承接着基础题与压轴题，既有一定的综合性，又有较好的区分度，是同学们争取高分的关键一环。从历年的命题趋势来看，第23题往往以几何综合题的形式出现，尤其侧重圆与三角形、四边形等图形的结合，考察大家对图形性质的综合运用能力和逻辑推理能力。因此，我们专门开设这个专题，希望通过系统的梳理和针对性的训练，帮助同学们攻克这一难关。一、考情分析：把握方向，有的放矢要高效复习，首先必须明确考查的重点和方向。结合近年来重庆中考数学的命题特点，第23题（几何综合题）的考查呈现出以下一些规律：（一）核心考点聚焦1.圆的基本性质：垂径定理及其推论、圆心角与圆周角的关系、弦切角定理（若有涉及）等仍是考查的基础。2.切线的判定与性质：这几乎是每年的必考内容。通常需要同学们根据已知条件判断一条直线是否为圆的切线，或者运用切线的性质（如切线垂直于过切点的半径）进行后续推理。3.三角形的全等与相似：几何图形中边角关系的证明与计算，往往离不开全等三角形和相似三角形的判定与性质。特别是相似三角形，在涉及比例线段、求线段长度或图形面积时应用广泛。4.解直角三角形：在有直角条件或可构造直角的图形中，锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值是解决线段长度、角度计算问题的有力工具。5.几何图形的面积计算：常常结合图形的分割与补形思想，运用三角形、四边形面积公式，或通过相似比求面积比等。（二）命题特点剖析1.图形结构：多以圆为背景，融合三角形（特别是直角三角形、等腰三角形）、四边形（如矩形、菱形，偶尔涉及梯形）等基本图形。图形线条通常不会过于复杂，但需要同学们能从中分解出基本图形和模型。2.设问方式：一般设置两到三个小问，难度梯度较为明显。第一问通常较为基础，考查切线的判定、简单的角度或线段长度计算；第二问或第三问则综合性增强，可能涉及证明线段相等或成比例、求较复杂的线段长度、角度，或结合动点、动态问题考查几何变换思想。3.能力要求：不仅考查同学们对几何定义、定理的记忆与理解，更注重考查在复杂图形中识别基本图形、运用数学思想方法（如转化思想、方程思想、数形结合思想）分析问题和解决问题的能力。逻辑推理的严谨性、书写的规范性也是考查的重要方面。二、解题策略与方法：授人以渔，融会贯通面对几何综合题，同学们往往感到无从下手。其实，这类题目并非无章可循，掌握以下解题策略和方法，能帮助我们化繁为简，找到突破口。（一）审清题意，标注信息——“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”拿到题目后，不要急于动笔，首先要仔细阅读题干和设问，将所有已知条件、图形特征（如“相切”、“中点”、“垂直”、“平分”等）在图形上用不同符号准确标注出来。对于文字描述的条件，要转化为图形语言。同时，要明确各小问的具体要求，是“求证”还是“求”，求的是什么。这个过程看似简单，实则是理清思路的第一步。（二）联想知识，搭建桥梁——“问渠那得清如许？为有源头活水来”根据题目中的条件和图形特征，积极联想相关的数学定义、公理、定理和已学过的基本模型。例如：*看到“切线”，立刻想到“切线垂直于过切点的半径”，“切线长定理”（若涉及两条切线）。*看到“直径”，想到“直径所对的圆周角是直角”。*看到“中点”，想到“等腰三角形三线合一”、“三角形中位线定理”、“直角三角形斜边中线等于斜边一半”等。*看到比例线段或乘积式，想到“相似三角形”或“平行线分线段成比例定理”。*看到求线段长度，若有直角，想到“勾股定理”或“锐角三角函数”；若有相似，想到“相似比等于对应边的比”。（三）规范推理，严谨表达——“言必有据，算必有理”几何证明和计算过程，必须做到步步有据。每一步推理都要明确其依据是哪个定义、公理或定理。书写时，要条理清晰，逻辑严谨，“∵”、“∴”使用规范，关键步骤不能省略。对于计算问题，要先明确计算对象，再寻找合适的方法，最后准确计算并检验。（四）巧作辅助线，化难为易——“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”辅助线是解决几何问题的“金钥匙”。恰当的辅助线能将分散的条件集中起来，或将复杂图形分解为简单图形。在与圆相关的问题中，常见的辅助线作法有：1.连半径：已知圆的切线，连接圆心和切点，得到垂直关系；欲证某直线为圆的切线，若已知直线与圆有公共点，则连接圆心与该公共点，再证垂直。2.作弦心距：涉及弦的长度、弦所对的弧等问题时，过圆心作弦的垂线，利用垂径定理。3.构造直径所对的圆周角：若图形中有直径，可连接圆上一点（异于直径端点）与直径端点，构造直角三角形。4.连接公共弦：若涉及两圆相交，连接公共弦。5.作高：在三角形中，作高构造直角三角形，为使用勾股定理或三角函数创造条件。6.构造相似三角形：通过平移、旋转、延长等方式构造相似三角形，利用相似比解决问题。作辅助线的原则是“缺什么补什么”，要根据具体问题的需要，结合图形特点和已知条件来决定。平时练习中要多总结、多积累常见辅助线的作法。三、典例精析：举一反三，触类旁通（以下例题为模拟题，旨在展示解题思路与方法，非真题）题目：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的圆与AC交于点D，且AD=DC。过点D作圆O的切线DE，交BC于点E。（1）求证：DE=BE；（2）若tan∠A=1/2，BC=6，求圆O的半径。(图形描述：一个直角三角形ABC，直角顶点C，斜边AB。圆O以AB上一点O为圆心，OA为半径，与AC交于D点，D在AC中点。过D点有一条切线DE，E点在BC上。)（一）审题与分析本题以直角三角形和圆为背景，涉及切线性质、中点、三角函数等知识点。第（1）问求证线段相等，第（2）问求半径，需要结合已知条件进行计算。（二）思路与解法（1）求证：DE=BE思路：要证DE=BE，可考虑证它们所对的角相等，即证∠EDB=∠EBD。已知DE是圆O的切线，D为切点，联想切线的性质，连接OD，则OD⊥DE。又因为∠C=90°，OD和BC都垂直于AC（或可证平行）？AD=DC，O是圆心，OA=OD。证明：连接OD。∵DE是圆O的切线，D为切点，∴OD⊥DE（切线的性质定理）。∴∠ODE=90°。∵OA=OD（圆的半径相等），∴∠A=∠ODA（等边对等角）。在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°。∵AD=DC，设AD=DC=x，则AC=2x。（思考：OD与BC的位置关系？∠ODA与∠CDE是否有关系？）∵∠ODA+∠CDE=180°-∠ODE=180°-90°=90°（平角定义）。又在Rt△CDE中，∠C=90°，∴∠CDE+∠CED=90°。∴∠ODA=∠CED（同角的余角相等）。∵∠A=∠ODA，∴∠A=∠CED。∵∠A+∠B=90°，∠CED+∠BED=180°-∠C=90°（平角定义，∠BEC=180°），∴∠B=∠BED（等角的余角相等）。∴DE=BE（等角对等边）。（2）若tan∠A=1/2，BC=6，求圆O的半径。思路：要求圆O的半径，即求OA（或OD）的长度。已知tan∠A=1/2，BC=6，可先在Rt△ABC中求出AC、AB的长度。设半径为r，OD=r，OA=r。AD=DC，设AD=DC=x，则AC=2x。利用tan∠A=BC/AC=1/2，可求出AC，进而得到AD和DC。再通过相似三角形或勾股定理建立关于r的方程求解。解答：在Rt△ABC中，∠C=90°，tan∠A=BC/AC=1/2，BC=6，∴6/AC=1/2，解得AC=12。∵AD=DC，∴AD=DC=AC/2=6。设圆O的半径为r，则OA=OD=r。（思考：如何将OD与已知线段联系起来？OD⊥DE，BC⊥AC，OD与BC是否平行？）∵OD⊥DE，BC⊥AC，若能证OD∥BC，则可利用平行线分线段成比例或相似。∵∠ODA=∠A，∠CAB=∠A，∴∠ODA=∠CAB，∴OD∥BC（内错角相等，两直线平行）。∵OD∥BC，∴△AOD∽△ABC（相似三角形的预备定理，或AA相似）。∴AO/AB=AD/AC（相似三角形对应边成比例）。在Rt△ABC中，AC=12，BC=6，∴AB=√(AC²+BC²)=√(12²+6²)=√(144+36)=√180=6√5（根据勾股定理）。∵AO=r，AD=6，AC=12，AB=6√5，∴r/(6√5)=6/12，即r/(6√5)=1/2，解得r=3√5。∴圆O的半径为3√5。(另解思路：也可过O作OH⊥AD于H，利用垂径定理和三角函数求解，或在Rt△ODE中利用勾股定理结合相似求解，同学们可自行尝试。)（三）解题反思1.辅助线的重要性：第（1）问连接OD是关键，它是运用切线性质的基础。2.角的转化：通过互余关系、等量代换，将分散的角联系起来，最终证得等角对等边。3.方程思想的应用：第（2）问通过设半径为r，利用相似三角形的比例关系建立方程求解，这是几何计算中常用的方法。4.基本图形的识别：本题中△AOD与△ABC的相似关系是解决第（2）问的核心，需要对平行线型相似有敏锐的识别能力。四、专题小结与温馨提示本次专题我们重点梳理了中考数学第23题（几何综合题）中与圆相关的证明与计算的常见考点、解题策略，并通过一道典型例题进行了分析与演示。希望同学们能从中领悟到解决这类问题的一般方法：1.基础是前提：熟练掌握圆的基本性质、切线的判定与性质、三角形全等与相似、解直角三角形等核心知识是解题的基础。2.图形是核心：善于观察图形，能从复杂图形中分解出基本图形和模型，如“切线半径垂直”、“直径对直角”、“母子型相似”等。3.联想是关键：看到条件能迅速联想到相关定理和方法，形成条件反射。4.规范是保障：解题过程要规