21.1.2 多边形及其内角和 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.1.2多边形及其内角和R·八年级数学下册四边形21学习目标1.了解多边形的概念及相关要素．2.探索并掌握多边形的内角和与外角和公式，

提升推理能力．新课导入

多边形在生活中也很常见，观察图中的图片，你能从中找出一些几何图形的形象吗？它们都分别是什么图形？五边形六边形八边形多边形类比三角形、四边形的概念，你能说出什么是多边形吗？在平面内，由一些线段首尾顺次相接，组成的封闭图形叫作多边形.BACD多边形定义的要素：①在同一平面内；②若干条线段；③首尾顺次连接；④封闭图形.探索新知在平面内，由

n（n≥3）条线段

A1A2，A2A3，…，An－1An，AnA1

首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.多边形有几条边就叫作几边形.……三角形四边形五边形六边形A1A2A3A4A5An－1Ann边形活动小组探究多边形的边、定点、角、对角线都有哪些规律。

请类比四边形，说出多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的定义.边顶点内角外角对角线组成多边形的各条线段每相邻两条线段的公共端点多边形相邻两边组成的角多边形角的一边与另一边的延长线组成的角连接多边形不相邻的两个顶点的线段ABCDE1观察、思考、归纳：三角形有____条边，____个内角，_____个外角.四边形有____条边，____个内角，_____个外角.五边形有____条边，____个内角，_____个外角.六边形有____条边，____个内角，_____个外角.……n

边形有____条边，____个内角，_____个外角.33644855106612n

n2n名称四边形五边形六边形n边形图形顶点个数从同一个顶点引出的对角线条数对角线条数探究多边形对角线的条数456n123n-3259(n-3)n2ABCDABCDEABCDEFABCDE

指出图中六边形的边、顶点、内角和外角，画出它的全部对角线.六边形的边：AB，BC，CD，DE，EF，FA.顶点：点A，点B，点C，点D，点E，点F.内角：∠BAF，∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEF，∠AFEABCDEF对角线：AC，AD，AE，BD，BE，BF，CE，CF，DF.165423外角：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6ABCD凸四边形你会画凸多边形吗？凸七边形凸八边形特别规定：今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形。这两个图形有什么特点？正三角形正方形正五边形正六边形各个角都相等、各条边都相等各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.它们的内角和是多少度，你会求吗？下列说法正确的有（

）①五个角都相等的五边形是正五边形；②等边三角形和长方形都是正多边形；③n边形有n条边，n个顶点，n个内角；④六边形有9条对角线.A.①③④B.①④C.③④D.①②④C

从五边形的一个顶点出发，可以作____条对角线，它们将五边形分为____个三角形，五边形的内角和等于____×180°；233转化为三角形的内角和.类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？

从六边形的一个顶点出发，可以作____条对角线，它们将六边形分为____个三角形，六边形的内角和等于____×180°；344由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗？多边形的边数从多边形的一顶点引出的对角线条数分割出的三角形的个数多边形内角和3456……………………n011×180°=180°122×180°=180°233×180°=180°344×180°=180°(n-3)(n-2)(n-2)×180°A1A2A3A4A5An－1An

一般地，从

n

边形的一个顶点出发，可以作(n－3)条对角线，它们将

n

边形分为(n－2)个三角形，n

边形的内角和等于(n－2)×180°.n

边形的内角和等于(n－2)×180°.正多边形的每个外角的度数等于(n－2)×180°n把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？A1A2A3A4A5A6AnP1.在

n

边形内任取一点

P，连接

PA1，PA2，…，PAn；2.把

n

边形分成

n个三角形，这

n

个三角形

的内角和为

n×180°；3.再减去以

P

为顶点的一个周角的度数；4.即得

n

边形的内角和为

n×180°－360°=(n－2)×180°把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？A1A2A3A4A5A6AnP①

在

n

边形的一边上任取一点

P，与各顶点

相连，得(n－1)个三角形；②

n边形内角和等于这(n－1)个三角形的

内角和减去以

P

为顶点的一个平角的度数；③

即得

n

边形的内角和为(n－1)×180°－180°=(n－2)×180°已知一个正多边形的内角和等于2160°，求这个正多边形的边数以及每个内角的度数.解：设这个多边形的边数为n.根据题意，得(n－2)×180°=2160°.解得

n=14.因此，这个多边形的边数为14，每个内角的度数约为154.29°.正多边形每个内角的度数是2160°÷14≈154.29°.在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和.四边形的外角和等于360°.ABCD你能根据四边形的外角和，说一说什么是多边形的外角和？A1A2A3A4A5An－1An多边形的外角和等于

？A1A2A3A4A5An－1An多边形的每一个内角与和它相邻的外角是_______.n

边形的内角和与外角和的总和等于__________.n

边形的内角和等于_____________.n

边形的外角和的总等于邻补角n

×180°(n－2)×180°n×180°－(n－2)×180°=360°多边形的外角和等于360°.

从多边形的一个顶点

A

出发，沿多边形的各边依次走过各顶点，再回到点

A，然后转向出发时的方向.

在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和.

由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°.你还有其他方法帮助理解为什么多边形的外角和等于360°吗？

知道了多边形的外角和公式，那么回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个外角是多少度吗？为什么？因为正多边形的每个外角相等，所以用外角和（360°）除以内角的个数（n）即可得到正多边形每个外角的度数.正多边形的每个外角的度数等于360°n例2一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形？解：设这个多边形的边数为

n.因为它的内角和等于(n－2)×180°，外角和等于360°，所以(n－2)×180°=2×360°.解得

n=6.因此这个多边形是六边形.1.一个多边形，它的内角和比外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数及内角和度数．解:设多边形的边数为

n，由题意，得(n－2)×180°＝3×360°+180°，解得

n

＝9.内角和度数为(9－2)×180°＝1260°.答:这个多边形的边数为9，内角和度数为1260°．1.一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原多边形的边数是（

）A.10或11B.10或12C.11或12D.10或11或12思维拓展(n－2)×180°＝1620°n

＝11新多边形：原多边形：n

＝11n

＝10n

＝12D2.已知一个多边形除一个内角外其余内角的和为1710°，求这个多边形的边数及这个内角的度数.思维拓展解:设多边形的边数为n，则内角和为(n－2)×180°.根据题意，得1710°<（n－2）×180°<1710°＋180°.解得11.5<n<12.5.∵n

为正整数.∴n

＝12.∴这个多边形的边数为12.∴这个内角的度数为(12－2)×180°－1710°＝90°.练习1.求出下列图形中

x

的值：解：图①中，∵五边形的内角和等于(5－2)×180°=540°，∴150+120+90+x+2x=540.∴x=60.图②中，∵六边形的内角和等于(6－2)×180°=720°，∴x+x+x+x+90+90=720.∴

x=135.图③中，∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°.∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=(5－2)×180°=540°，即135+180+150+x=540，∴x=75.2.（1）一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形是几边形？

（2）一个多边形的每一个内角都等于120°，这个多边形是几边形？

（3）一个多边形的每一个外角都等于72°，这个多边形是几边形？解：（1）设这个多边形的边数为

n.则有(n－2)×180°=1080°.∴

n=8.因此这个多边形是八边形.（2）由题意，得每一个外角都等于180°－120°=60°.∵360°÷60°=6，∴这个多边形是六边形.（3）∵360°÷72°=5，∴这个多边形是五边形.3.如图，剪去多边形ABCDE…FG一个内角，得到的新多边形的内角和与外角和之差为108