【《椭圆方程的推导策略与方法及比较分析》1300字】

椭圆方程的推导策略与方法及比较分析目录TOC\o"1-3"\h\u488椭圆方程的推导策略与方法及比较分析 1307621.1椭圆方程的形态 1102061.2椭圆方程的推导方式 21.1椭圆方程的形态根据调查,统计如下表3--1.表3--1椭圆方程的预览作者书名出版年份采用的定义证明方法或建系方式方程沃利斯《以新方法论圆锥曲线》17世纪定义1几何证明法柯芬《圆锥曲线与解析几何基础》19世纪定义1几何证明法洛必达《圆锥曲线分析》1720定义3中心为圆点斯蒂尔《圆锥曲线论》1745定义3中心为原点哈密尔顿《圆锥曲线解析体系》1843定义2中心为原点左顶点为原点海麻士《圆锥曲线论》1845定义2左顶点为原点中心为原点定义3中心为原点托德亨特《平面坐标几何在直线和圆锥曲线中的作用》1888定义2以左焦点作为原点以左顶点为原点凯西《点、线、面与圆锥曲线之解析几何论》1893定义2以左焦点作为原点我们可以发现,起初数学家们都是从几何方法中得到椭圆的方程的,渐渐的开始有数学家融汇了几何证明法和解析法,得出了椭圆的方程.总体来看,表格中一共有7种椭圆方程的表示形式,有些数学家虽然采用不同的定义方式进行证明,但是殊途同归,得出来同样的方程.其中通过定义3并以椭圆的中心作为坐标原点建立直角坐标系,得出椭圆方程居多.同时,我们还可以发现,数学家们在选择坐标系的时也是有所不同的.与现行的教材相比,我们的教材是采用定义3并且以椭圆的中心作为坐标原点建立直角坐标系的,也是多数数学家的选择,以形式作为椭圆的标准方程.1.2椭圆方程的推导方式方式1（平方法）:如图3--1,设椭圆的焦距,点为椭圆上任意一点,且.图3--1椭圆方程的推导故有即将上式两边同时平方,得整理得两边再平方,得整理得由因为所以设,得即方法二:如图3--1,设,,根据第一定义,有,且有（1）（2）由（1）-（2）得,即,也就是,得,再带入（1）式中,整理得方程:方法三（对称设法）:设,则有（3）（4）由（3）-（4）得,（5）由（3）+（4）得.（6）将（5）代入（6）得方法四（压缩思想）:如图3--2,给定有个圆,设它的标准方程为,圆上任意一点,按压缩系数均匀压缩,点到了点,设,则,所以有,（7）不妨设,则,则,即,代入（7）式化简得图3--2椭圆的压缩变化这四种推导方式是教师在教学过程中经常使用的.椭圆的标准方程的推导,现行教材差不多都是利用第一定义,建立直角坐标系,列出关系式子,再通过“两次平方”的方法,直接推导出椭圆的标准方程.这种通用方法还可以运用到双曲线和抛物线的标准方程推导.但是由于“两次平方”的运算量比较大,很多同学都不愿意自己动手操作,故教师在讲授这方面时候一般是直接在黑板上自己运算,或者是交给学生们自行运算,“熬过去”就可以推出标准方程了,这节课就“大功告成”.接着点出标准方程的特点,如何改写成标准方程的形式以及其中相关字母的含义.最后通过习题,加强学生对于标准方程的理解.这样的教学过程看似顺理成章,同时还给学生解决其他问题的“通法”,但没有意识到学生刚接触椭圆,才了解椭圆的第一定义,就开始繁琐复杂的运算,他们的注意力不自觉地都放在复杂的运算