【《人工表面等离子激元的理论基础》2500字】

人工表面等离子激元的理论基础1.1光波段的表面等离子激元SPPs是一种以正离子和电子构成的物质形态，被学术界公认为是物质的第四种形态。在某种特定的工作波段内，某些金属就可以视为等离子体。经典物理理论告诉我们:探索SPPs的物理特性，Maxwell方程组是一种通用的分析方法，依据理论上的电场矢量在无源空间的波动方程的形式，其可表示为： （2.1）其中，代表的含义为真空中的介电常数，代表的就是真空中的磁导率，是相对介电常数。将光速代入其中。式（2.1）为： （2.2）不同的介电常数需要根据式（2.2）分别求解。我们假设电场为时谐场，即： （2.3）将其代入式（2.2）可得： （2.4）最终可以数学推导出亥姆霍兹方程，其中（表示真空中传输波的波束）。如图2.1所示，首先我们要假设单一方向为电磁波的传播路径，这里认为是沿x方向进行传播，在垂直于电磁波传播方向的y方向上可以认为是没有变化的，且只取决于一个空间向量，则。那么空间中的电场则可表示为。其中（为行波的传播常数），是波矢在传播方向的分量。将其代入（2.4）化简可得： （2.5）同理，对于磁场H也有类似方程。图2.1平面波导几何结构公式（2.5）是研究波导电磁模式的基础。将麦克斯韦方程应用到式（2.5）中来分析场的色散特性，时谐场（）可表示为： （2.6a） （2.6b） （2.6c） （2.6d） （2.6e） （2.6f）其中依据之前约定的电磁波沿x方向传播（），媒质在y方向（）的假定，我们可以化简公式（2.6）可得： （2.7a） （2.7b） （2.7c） （2.7d） （2.7e） （2.7f）根据上文的分析的一些结论，我们知道不同的电磁波将会有不同的解。对于TM模式，我们认为仅有电场分量，和不为0；对于TE模式，只有场分量，和不为0。TM模式： （2.8a） （2.8b）TM模式波动方程： （2.9）TE模式： （2.10a） （2.10b）TE模式波动方程： （2.11）基于以上的理论的推导分析，我们再对SPPs的情况进行深入研究。图2.2所示的结构为传播SPPs最简单的模型——介质-金属交界面。根据经典物理学中的电子Drude模型，我们可以把金属的介电常数表示为： （2.12）其中代表金属等离子体性质的频率，参数为特征碰撞频率，参数代表电磁波频率。介质的介电常数为。金属的电子振荡阻尼通常认为是很小的，在某些计算时，我们可以忽略其影响，此时其介电常数的虚数部分可以被定义为0，即。公式（2.12）可化简为： （2.13）金属的特性要求，即。下面来分析交界面的行波解。图2.2金属-介质交界面根据公式（2.8）分析TM波：z>0： （2.14a） （2.14b） （2.14c）z<0： （2.15a） （2.15b） （2.15c）其中，是z方向的波矢，同时也是束缚程度的变量。是电磁波在x方向的波矢。根据边界条件的理论设置方法，即和连续，其结果可以化简得： （2.16a） （2.16b）将上述公式（2.14a）和（2.15a）的带入波动方程： （2.17）化简可得： （2.18a） （2.18b）将公式（2.16）带入（2.18）中，经过化简就可推出表示半无限大介质-金属交界面上所激励的SPPs色散特性关系式： （2.19）分析的公式归纳总结出以下规律：a.如果表现为是金属的特性，那么就必然是复数，与此同时和符号肯定要是相反的；b.如果为复数，就刚好，推出：，其表达的意思是：的波矢总是会比入射光的波矢大一些；c.当是实数，其表达的寓意是：电磁波总是在介质-金属的交界面上传播。根据公式（2.10）分析TE波：z>0： （2.20a） （2.20b） （2.20c）z<0： （2.21a） （2.21b） （2.21c）根据边界条件的连续性，电场和磁场是连续的，因此得出： （2.22a） （2.22b）根据表面波束的条件，和是正数，因此只有当时公式（2.22a）才成立，得出，这即是代表SPPs是不存在TE偏振模式，而只有TM模式。如图2.3所展示的为介质-金属交界面处的SPPs传播图。SPPs的磁场矢量和传播方向垂直与交界面平行，而电场矢量则于交界面垂直，向这种与表面垂直的方向上传播的能量场称为近场或消逝场。这就意味着SPPs表面波在交界面的垂直方向上被约束，而沿着交界面的方向传输，这就是为什么SPPs表面波在传输时具有较好的束缚特性。图2.3金属-介质分界面上的SPPs图2.4金属-介质交界面处光波和SPPs的色散曲线从图2.4可以看出SPPs的波矢总是小于光波的波矢，因而在金属-介质交界面上光与SPPs是无法直接进行耦合，这样就导致SPPs无法用来做辐射。总结得出以下结论：a.SPPs的曲线在直角坐标系中总是处于入射光线的下半部分，且二者之间不能有交点。b.当SPPs的频率与光线的频率相等时，由图可知，这就暗示着SPPs的波矢总是要比自由空间中的光波矢大。c.同时由图可知：慢波传播的特性就会发生在SPPs上，伴随着频率的增大，SPPs的慢波传播效果越好。1.2人工表面等离子激元的基本理论自从有了SPPs这一概念被人们提出之后，其特性潜质就在很多领域得到了实际研究和应用。我们基于上一小节的分析，只有金属的等离子体频率大于入射光的频率SPPs才能被激发出来，因而只有在光波段才会激励出SPPs。因为微波或者太赫兹频段的频率特性，其表现的金属的介电常数较大，这样以来，呈现出的就是PEC特性，金属在这种低频段表面所激发的电磁波很难渗透到金属内部，不能激发出SPPs。基于以上的分析，我们知道有关SPPs的应用研究就会有所限制。尽管在我们知道在微波频段不支持SPPs，但是通过一系列的工程手段，我们仍然是可以通过在金属表面打孔或开槽的方式在微波频段激励出类似于光波段的SPPs表面波特性——人工表面等离子激元。值得注意的是，只要波长远大于孔或者槽的大小，理想导体就会表现出有效媒质的性质，且其色散特性与孔或者沟槽的几何结构尺寸有关系。图2.5（a）为金属表面开孔模型，图中孔的大小为，槽深为h，周期为。（a）金属表面周期性开孔模型（b）矩形开孔模型色散曲线图2.5SSPPs模型这种矩形孔在各个方向上的介电常数为： （2.23a） （2.23b）由于在凹槽中的电磁波的传播是在沿y方向和z方向的，并且其传播速度我们可以默认为光速，由此可得： （2.24）所以各个方向的磁导率为： （2.25）通过计算，我们可以推出TM偏振电磁波的反射系数为： （2.26）而被约束在金属表面上的这种表面波，其特性为，且，根据表面波[33,34]理论可知，只有反射系数R取奇异值才会产生表面波，即R的分母为0，由此可得： （2.27）图2.5（b）是在，时所得到的色散曲线。对比上述图2.4发现，这种通过在金属表面凿孔所激励的表面波的色散曲线与光波段在金属-介质表面所产生的色散曲线非常相似，因此我们一般都是通过在金属上挖槽