第2讲　基本初等函数、函数与方程

第2讲基本初等函数、函数与方程高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026基础自测思维引航考点进阶素养淬炼目录索引基础自测思维引航基础自测

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2.(2021新高考Ⅰ,13)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=

.

1

3.(2020新高考Ⅱ,7)已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增,则a的取值范围是(

)A.(2,+∞)

B.[2,+∞)C.(5,+∞) D.[5,+∞)D解析

由x2-4x-5>0得x>5或x<-1,所以f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞),因为y=x2-4x-5在区间(5,+∞)上单调递增,所以f(x)=lg(x2-4x-5)在区间(5,+∞)上单调递增,所以a≥5.故选D.4.(人A必一复习参考题改编)已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x的零点分别是a,b,c,则有(

)A.a<b<c

B.a<c<bC.c<a<b

D.b<a<cB解析

在同一坐标系中作出函数y=2x,y=log2x,y=x3以及y=-x的图象,则函数y=2x,y=log2x,y=x3与直线y=-x的交点横坐标分别就是三个函数的零点,则a<0,b>0,c=0,因此a<c<b.故选B.5.(人B必一3.3例5改编)已知某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C=aQ2+3000,且当年产量是100时,总成本是6000.设该产品年产量为Q时的平均成本为f(Q),则当年产量为

时,平均成本最小.

100

思维引航

考点进阶素养淬炼考点一基本初等函数的图象与性质例1

(1)(2025河北秦皇岛模拟)已知a=log2678,b=1.250.9,c=log918,则a,b,c的大小关系为(

)A.a>b>c B.a>c>bC.c>b>a D.c>a>bB

B解析

依题意知方程f(-x)-g(x)=0在区间(0,+∞)上有解,即e-x+3=2ln(x+m)在区间(0,+∞)上有解,亦即函数y=e-x+3与y=2ln(x+m)的图象在区间(0,+∞)上有交点.由于函数y=e-x+3单调递减,且图象过点(0,4),将点(0,4)代入y=2ln(x+m)得m=e2,令2ln(x+m)=0得x=1-m,因为函数y=2ln(x+m)在定义域上单调递增,所以要使两函数的图象在区间(0,+∞)上有交点,应满足1-m>1-e2,解得m<e2.故选B.

(0,1)

一题多变本例(3)中,若将题目条件改为“若f(x)的值域为R”,则实数a的取值范围是

.

[2,+∞)

C

(2)(2025福建宁德模拟)函数f(x)=ax-3+2x(a>0且a≠1)的图象恒过的定点为

.

(3,7)解析

令x-3=0,解得x=3,且f(3)=7,所以f(x)的图象恒过定点(3,7).考点二函数的零点

C

(-∞,0]∪[2,+∞)解析

当x<1时,令f(x)=0,即(x-a+1)(x+1)=0,得x=-1或x=a-1.当a=0或a≥2时,方程f(x)=0在区间(-∞,1)上有唯一解x=-1;当a<0或0<a<2时,方程f(x)=0在区间(-∞,1)上有两解为x=-1或x=a-1.当x≥1时,令f(x)=0,即lg

x-a=0,得x=10a,所以当a≥0时,x=10a≥1,即方程f(x)=0在区间[1,+∞)上有一个解x=10a;当a<0时,由于10a<1,所以f(x)=0在区间[1,+∞)上无解.综上,当a<0时,函数f(x)有两个零点-1,a-1,当a=0时,函数f(x)有两个零点-1,1,当0<a<2时,函数f(x)有三个零点-1,a-1,10a,当a≥2时,函数f(x)有两个零点-1,10a.因为f(x)恰有2个零点,所以a≥2或a≤0,故实数a的取值范围是(-∞,0]∪[2,+∞).2.已知零点个数求参数范围的方法(1)直接法:利用零点存在定理构建不等式求解;(2)数形结合法:将函数解析式或者方程进行适当的变形,把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题,再结合图象求参数的取值范围;(3)分离参数法:分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.

5

C

ABD

C

考点三函数模型及其应用

声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,