第3讲　导数的简单应用

第3讲导数的简单应用高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026基础自测思维引航考点进阶素养淬炼目录索引基础自测思维引航基础自测

1

C

3.(人B选必三6.2.1练习A组改编)已知函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=2x-1,则f(x)的单调递增区间是

.

4.(2023新高考Ⅱ,6)已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为(

)A.e2

B.e

C.e-1

D.e-2C

B

6.(2021新高考Ⅰ,15)函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为

.

1

思维引航

考点进阶素养淬炼考点一导数的运算、几何意义例1

(1)(2025全国1,12)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线,则a=

.

4

A

(2)(2025山东青岛模拟)已知函数f(x)=|lnx|图象的两条切线相互垂直,并分别交y轴于A,B两点,则|AB|=

.

2

考点二利用导数研究函数的单调性

B

知识提炼根据函数单调性求参数取值范围的类型1已知函数f(x)在区间I上单调递增(或单调递减),f(x)中含参数转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在I上恒成立,要注意“=”能否取到2已知函数f(x)在区间I上单调递增(或单调递减),I中含参数先求出f(x)的单调区间,再令I是其单调区间的子集,建立不等式组求解3已知函数f(x)在区间I上存在单调递增(或单调递减)区间转化为f'(x)>0(或f'(x)<0)在I上有解求解4已知函数f(x)在区间I上不单调(方法一)转化为f'(x)=0在I上有解求解,注意验证;(方法二)运用补集思想,先求f(x)在区间I上单调时参数的取值范围,再取其补集

[1,+∞)

考点三利用导数研究函数的极值、最值

D

BCD

【对点训练4】(1)(2025全国2,13)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)=

.-4解析

f'(x)=[(x-2)(x-1)(x-a)]'=(x-1)(x-a)+(x-2)[(x-1)(x-a)]',又f'(2)=0,即2-a=0,所以a=2,所以f(0)=-4.(2)(2025河北沧州模拟)已知函数f(x)=(x-3)ex+ax恰有一个极值点,则实数a的取值范围是

.

(-∞,0]解析f'(x)=(x-2)ex+a,因为f(x)恰有一个极值点,所以f'(x)=0有一个变号的实数根,即a=(2-x)ex,所以即y=(2-x)ex与直线y=a有一个交点,且在该交点前后两函数的大小关系发生变化.令g(x)=(2-x)ex,则g'(x)=(1-x)ex,由g'(x)>0,得x<1,g(x)单调递增,由g'(x)<0,得x>1,g(x)单调递减,所以g(x)在x=1处取得极大值g(1)=e.又当x<2时,g(x)>0,当x>2时,g(x)<0,结合图象可知,要使g(x)图象与直线y=a有一个交点,且在该交点前后两函数的大小关系发生变化,应有a≤0,即实数a的取值范围是(-∞,0].

解

(1)当a=2时,f(x)=(x-1)ex-x2,f'(x)=x(ex-2).令f'(x)=0,得x=0或x=ln

2.当x<0或x>ln

2时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当0<x<ln

2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以当x=0时,函数f(x)取极大值为f(0)=(0-1)×e0-02=-1.

【对点训练5】(2025江西赣州模拟)已知函数f(x)=x2-alnx