微培优11　抽象函数与嵌套函数

微培优11抽象函数与嵌套函数高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026类型一赋值法解决抽象函数问题类型二换元法解决嵌套函数问题目录索引抽象函数是指没有给出具体的解析式,只给出了函数所具有的某些性质或运算特征(如函数的定义域、解析递推式、特定点的函数值、特定的运算性质等)的函数,抽象函数问题在高考中涉及多个核心考点,主要考查函数性质应用以及与其他数学知识的综合应用等,重点考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养.形如y=f(g(x))形式的函数称为嵌套函数,嵌套函数多考查零点及其应用问题,通常借助函数的图象与性质求解,考查数形结合、等价转化、分类讨论等思想方法.类型一赋值法解决抽象函数问题例1

(多选题)(2023新高考Ⅰ,11)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则(

)A.f(0)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函数D.x=0为f(x)的极小值点ABC解析

对于选项A,令x=0,y=0,f(0)=0,所以A正确;对于选项B,令x=1,y=1,f(1×1)=12×f(1)+12×f(1)=2f(1),解得f(1)=0,所以B正确;对于选项C,令x=-1,y=-1,f[(-1)×(-1)]=(-1)2×f(-1)+(-1)2×f(-1)=2f(-1),解得f(-1)=0;再令x=-1,y=x,f[(-1)×x]=x2×f(-1)+(-1)2×f(x),f(-x)=f(x),所以C正确;对于选项D,用特值法,函数f(x)=0,为常数函数,且满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),而常数函数没有极值点,所以D错误.故选ABC.【对点训练1】(2025山东菏泽模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(1)≠0,若f(xy)=yf(x),则下列结论中错误的是(

)A.f(0)=0B.f(x)是奇函数C.f(x)是增函数D.f(x)+f(2x)=f(3x)C解析

对于A,令y=0得f(0)=0,故A正确;对于B,令y=-1,由题可知f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函数,故B正确;对于C,不妨令f(x)=-x,则满足f(xy)=yf(x),且f(1)≠0,但f(x)不是增函数,故C错误;对于D,令y=2,则f(2x)=2f(x),令y=3,则f(3x)=3f(x),因此f(x)+f(2x)=3f(x)=f(3x),故D正确.故选C.类型二换元法解决嵌套函数问题

B

BD

结合f(x)的图象可知,当0<a≤2时,函数y=f(x)的图象与直线y=a有2个交点,不妨设交点横坐标为x1,x2(x1<x2),则0<x1<1,x2>1,且|lg

x1|=|lg

x2|,即-lg

x1

=lg

x2,所以lg

x1+lg

x2=0,所以x1x2=1,符合题意;当2<a≤3时,函数y=f(x)的图象与直线y=a有3个交点,其中只有最左侧交点的横坐标小于等于0,则f(x)=a的所有解的乘积小于等于0,不合题意;当a>3时,函数y=f(x)的图象与直线y=a有2个交点,与0<a≤2时的情况相同,符合题意.综上,实数a的取值范围为(0,2]∪(3,+∞).故选BD.

D

令f(x)-2=t,则有f(t)=2,易得此时有4个解,分别为t1=-2,t2=0,t3=e-2,t4=e2.结合图象可得,当t=-2时,即f(x)=0,此时有1个解;当t=0,即f(x)=2时,有4个解;当t=e-2,即f(x)=2+e-2有3个解;