第3讲　空间角度和距离

第3讲空间角度和距离高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026基础自测思维引航考点进阶素养淬炼目录索引基础自测思维引航基础自测1.(人B选必一1.2节习题改编)已知ABCD-A1B1C1D1是正方体,则直线A1D与直线BD1所成角的大小为

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2.(人A选必一1.4.2节习题)如图,在三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直,OA=OC=3,OB=2,则直线OB与平面ABC所成角的正弦值为

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3.(2024天津,17节选)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,A1A⊥平面ABCD,AD⊥AB,其中AB=AA1=2,AD=DC=1,N是B1C1的中点,M是DD1的中点.求点B到平面CB1M的距离.

(1)证明

如图,连接AE,DE.∵DB=DC,E为BC的中点,∴BC⊥DE.∵DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°,∴△ABD,△ACD均为等边三角形,且△ABD≌△ACD,∴AB=AC.又E为BC中点,∴BC⊥AE.∵AE,DE⊂平面ADE,AE∩DE=E,∴BC⊥平面ADE.又DA⊂平面ADE,∴BC⊥DA.

思维引航

4.向量法求二面角(或其函数值)先求出两个平面各自的一个法向量,再计算这两个法向量的夹角(或函数值),最后结合题意确定二面角是锐角还是钝角,从而下结论.考点进阶素养淬炼考点一异面直线所成的角

C

考点二直线与平面所成的角例2

(2025北京,17)如图,在四棱锥P-ABCD中,△ABC与△ADC均为等腰直角三角形,∠BAC=90°,∠ADC=90°,E为线段BC的中点.(1)若F,G分别为线段PD,PE的中点,求证:FG∥平面PAB;(2)若PA⊥平面ABCD,PA=AC,求AB与平面PCD夹角的正弦值.

(2)解

连接AE.因为AB是圆O的直径,所以AE⊥BE.过点E作圆柱的母线EQ,则EQ⊥平面ABE,所以AE,BE,EQ两两垂直.以E为原点,EA,EB,EQ所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

考点三平面与平面的夹角

(1)证明

因为M为AD的中点,且AD=4,故MD=2=BC,又因为BC∥AD,所以四边形BCDM为平行四边形,所以BM∥CD.因为BM⊄平面CDE,CD⊂平面CDE,所以BM∥平面CDE.

考点四空间中的距离问题

(1)证明

因为PA⊥平面PBC,BC⊂平面PBC,所以PA⊥BC.又AB⊥BC,AB∩PA=A,AB,PA⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB.又BC⊂平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面PAB.

2.求点到平面的距离的步骤:【对点训练4】(2025江苏徐州高三模拟)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为边长为3的正三角形,侧面BB1C1C为正方形,A1在底面ABC内的射影为点O.(1)求证:OB=OC;(2)若OA=OB=OC,求直线AA1和平面BB1C1C的距离.(1)证明

因为A1在底面ABC内的射影为点O,而OB,OC⊂平面ABC,所以A1O⊥OB,A1O⊥OC.故要证OB=OC,只需证A1B=A1C.取B1C1,BC的中点分别为E,F,连接A1E,A1F,EF.因为△ABC为边长为3的正三角形,所以△A1B1C1也是边长为3的正三角形.又E是B1C1的中点,则A1E⊥B1C1.因为BC∥B1C1,所以A1E⊥BC.因为四边形BB1C1C为正方形,B1C1,BC的中点分别为E,F,所以EF⊥BC.又因为A1E⊥BC,EF⊥BC,A1E∩EF=E,A1E,EF⊂平面A1EF,所以BC⊥平面A1EF.因为A1F⊂平面A1EF,所以BC⊥A1F.又F是BC的中点,所以A1B=A1C.易知△A1OB≌△A1OC,则OB=OC.(2)解

因为AA1∥BB1,BB1⊂平面BB1C1C,AA1⊄平面BB1C1C,所以AA1∥平面BCC1B1.所以直线AA1和平面BB1C1C的距离等于点A到平面BB1C1C的距离.若OA=OB=OC,则点O为三角形ABC的外心,从而A,O,F三点共线,过点O作OG∥BC交AB于点G,易知OG⊥OF.因为A1O⊥平面ABC,OG,OF⊂平面ABC,所以A1O⊥OG,A1O⊥