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第六章计数原理6.3.1二项式定理·选择性必修第三册·=?前面我们学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的

的展开的问题。引入新课探究新知探究a2abbab2展开式中的各项是如何得到的，其系数有何规律？能否用计数的知识来说明？1个a22个ab1个b2根据分步计数原理，在合并同类项之前共有多少项？展开式的每一项都是从这两个因式中各取一个字母相乘得到其中不取b，取1个b和1个a，取2个b的项数用组合数分别怎样表示？探究新知a3展开式中的各项是如何得到的，其系数有何规律？1个a3(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3

展开式的每一项都是从这三个因式中各取一个字母相乘得到根据分步计数原理，在合并同类项之前共有多少项？探究新知a2ba2ba2b3个a2b展开式中的各项是如何得到的，其系数有何规律？探究新知(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3

ab2ab2ab23个ab2展开式中的各项是如何得到的，其系数有何规律？探究新知(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3

b31个b3展开式中的各项是如何得到的，其系数有何规律？探究新知(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3

a3a2bab2b3其中不取b，取1个b和2个a，取2个b和1个a，取3个b的项数用组合数分别怎样表示？展开式中的各项是如何得到的，其系数有何规律？探究新知(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3

a4展开式中有哪几种形式的项，其系数有何规律？你能写出(a＋b)4的展开式吗？探究新知4个a3b探究新知a4a3bab3b4a2b2++++4aba322ba3ab探究新知其中不取b，取1个b和3个a，取2个b和2个a，取3个b和1个a,取4个b的项数用组合数分别怎样表示？

思考：根据归纳推理，你能猜想出(a＋b)n

(n∈N*)的展开式吗？探究新知说明：项的结构探究新知说明：项的系数探究新知定理：公式叫做二项式定理，等式右边叫做二项展开式，其中各项的系数

(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数.

式中

叫二项展开式的通项，用表示，即：探究新知1、共有n＋1项；2、字母a的最高次数为n且按降幂排列；3、字母b的最高次数为n且按升幂排列；4、各项中a与b的指数幂之和都是n；5、每项的二项式系数为思考：二项展开式在结构上有哪些基本特征？思考：根据二项式定理，(1＋x)n(n∈N*)等于什么？思考：(a－b)n(n∈N*)的展开式是什么？应用新知解析应用新知解析因此，展开式第4项的系数是280．总结应用新知解析能力提升题型一求二项展开式的常数项总结先用二项展开式的通项公式，求出通项；然后求常数项只需要令变量的指数为

0

.

例题解析能力提升总结先用二项展开式的通项公式，求出通项；根据题意建立关于参数的等式关系，解方程可求参数值.解析能力提升题型二多项式的展开式问题总结根据多项式的展开式中项的形成，从每个括号中选一个相乘即可得出一项.比如：本题中含的项即从

5

个因式中取

4个常数，

1个x，即可写出含

x

的项.例题解析解能力提升能力提升

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