第四节事件的独立性独立试验序列

第四节事件的独立性

独立试验序列设A,B是试验E的事件，若

P(A)>0,

可以定义。一般A发生对B发生是有影响的，这时。只有在这种影响不存在时，才会有=（2）第二次摸得黑球的概率例1

一袋中有只黑球,只白球.从袋中有放回地取球两次，（1）在已知第一次摸得黑球的条件下，第二次摸出黑球的概率。B={第二次摸黑球}解

{第一次摸黑球

}A=则注意这里，即A发生与否，对B发生没有影响，从直观上讲，这很自然。因为是有放回摸球，所以第二次摸球时，袋中球的组成与第一次摸球时完全相同，当然第一次摸球的结果不影响第二次摸球。在这种场合，可以说，事件A与事件B的出现有某种“独立性”。

定义6

设A,B是两个随机事件，如果P(A)>0,且P(B|A)=P(B)。称事件B关于事件A独立。说明:(1)事件B关于事件A独立,也就是说事件A发生,并不影响事件B发生的概率.一、两事件的独立性P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B|A)由乘法公式，

(3)独立是相互的。即若事件B关于事件A

独立，则事件A关于事件B也是独立的.当事件A,B相互独立时，就有(2)Ω和Φ

与任何事件独立。若两事件A、B满足

P(AB)=P(A)P(B)

(1)则称A、B独立，或称A、B相互独立.定义6′(p30

定理6)定义6′的优点(与定义6相比)(1)不必用到条件概率的概念。形式上关于A,B对称。当P(A)=0,P(B)=0时，式(1)仍成立。例1从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记

A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可见,P(AB)=P(A)P(B)

由于P(A)=4/52=1/13,说明事件A、B独立.问事件A、B是否独立？解：P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2若采用不放回摸球，试求同样那两个事件的概率。解这里，即B

与A

不独立，因为第一次摸得黑球，事实上已使球的组成成份发生了改变，当然要影响第二次摸球结果。（2）第二次摸得黑球的概率例2

一袋中有只黑球,只白球.从袋中有放回地取球两次，（1）在已知第一次摸得黑球的条件下，第二次摸出黑球的概率。在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.

例3：能否在样本空间Ω中找两个事件,它们既相互独立又互斥?这两个事件就是Ω和P(Ω)=P()P(Ω)=0

与Ω独立且互斥注意区别互斥事件(互不相容事件)、对立事件、独立事件。二、多个事件的独立性将两事件独立的定义推广到三个事件：对于三个事件A、B、C，若

P(AB)=P(A)P(B)四个等式同时

P(AC)=P(A)P(C)成立,则称事件

P(BC)=P(B)P(C)A、B、C相互

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)独立.

推广到n个事件(总体)相互独立的定义：包含等式总数为：设A1,A2,…,An是

n个事件，如果对任意k(1<k

n),任意1i1<i2<…<ik

n,具有等式则称A1,A2,…,An为(总体)相互独立的事件.定理八P33注意多个事件两两独立与(总体)相互独立的区别与联系两两独立总体相互独立对n(n>2)个事件?对独立事件，许多概率计算可得到简化：例4

三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？

解：将三人编号为1，2，3，三、独立性概念在计算概率中的应用则A1∪A2∪

A3={至少有一人能破译出密码}记Ai={第i个人破译出密码}i=1,2,3所求为P(A1∪

A2∪

A3)1因为P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4

P(A1∪

A2∪

A3)=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]3

Ai={第i个人破译出密码}i=1,2,3则“

至少有一个发生”的概率为若设n个独立事件发生的概率分别为类似可以得出：至少有一个不发生”的概率为“=1-p1

…pn

例5

下面是一个串并联电路示意图.A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件.它们下方的数是它们各自正常工作的概率.求电路正常工作的概率.P(W)=P(A)P(B)P(C∪

D∪

E)P(F∪

G)P(H)解：记W={电路正常工作}，A,B,C,D,E,F,G,H分别表示各元件正常工作。则W=AB(C∪

D∪

E)(F∪

G)H。由于各元件独立工作，有P(C∪

D∪

E)=1-P(F∪

G)=1-P(W)0.782代入得四、独立试验概型(贝努里概型)定义1

重复进行某随机试验n次，如果各次试验的结果互不影响。则称这n次试验为n次重复独立试验。如抛硬币、有放回摸球试验定义2

若一个试验只有两种结果，A和A，其中P(A)=p,P(A)=1-p(0<p<1).则称这个试验为贝努里试验，它的n次重复独立试验称为n