16.3.1 平方差公式（培优教学课件）数学人教版2024八年级上册

16.3乘法公式16.3.1平方差公式第十六章整式的乘法

人教版2024·八年级上册学

习

目

标123

理解平方差公式的几何背景，能利用平方差公式进行简单的计算和推理．进一步培养学生观察、类比、发现问题的能力和数学应用意识，感悟数形结合思想．导入新课王先生去商店买了单价为9.7元/kg的糖果10.3kg,售货员刚拿起计算器,王先生就说出应付99.91元,结果与售货员计算出的结果相同．售货员惊讶地问:“你怎么算得这么快?”王先生说:“我利用了一个公式．”9.7×10.3=99.91学了本节之后,你就能解决这个问题了你知道王先生用的是什么数学公式吗?新知探究探究点1认识平方差公式③（2x＋1)(2x－1）计算下列多项式的积，你能发现什么规律？做一做①（x

＋1)(x－1）②（m

＋2)(m－2）（1）多项式与多项式是如何相乘的？

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.12341234二项式与二项式相乘结果一定是四项是吗？新知探究探究点1认识平方差公式做一做（2）完成下列填空①（x

＋1)(x－1）=

=

③（2x＋1)(2x－1）=

=

②（m

＋2)(m－2）=

=

相加和为0

新知探究探究点1认识平方差公式做一做（3）你能发现什么规律？二项式与二项式相乘结果不一定是四项式③（2x＋1)(2x－1）①（x

＋1)(x－1）②（m

＋2)(m－2）

算式有什么结构特征？结果有什么结构特征？两项的和乘以两项的差结果是两项平方差

新知探究探究点1认识平方差公式议一议

(a＋

b)(a

－

b)=a2－ab＋ab－b2=a2－b2合并同类项平方差公式

某些特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式，当遇到形式相同的多项式相乘时，就可以直接运用公式写出结果。新知探究探究点1认识平方差公式归一归平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2字母表示两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.文字表示多项式乘法的特殊情形(a+b)(a-b)=a2-b2特征两数的和两数的差这两数的平方差注：这里的a、b可以是两个单项式也可以是两个多项式等．新知探究探究点1认识平方差公式议一议平方差公式中两项符号有什么特征？(a+b)(a－b)=a2－b2符号相同项符号相反项等号左边两个二项式相乘，一项相同，一项互为相反等号右边是乘式中两项的平方差.(相同项)2-(相反项)2一同一反典例分析探究点1认识平方差公式

例1运用平方差公式计算：(1)(3x+2)(3x–2)(2)(–x+2y)(–x–2y)分析(1)a=___，b=____(3x

+2)(3x–2)(a+b)(a-b)=a2-b23x2一同一反先把要计算的式子与公式对照，确定哪个是公式中的

a，

哪个是

b解：(3x+2)(3x–2)=（3x）2－

22=9x²－4=（3x）2-22典例分析探究点1认识平方差公式

例1运用平方差公式计算：(1)(3x+2)(3x–2)(2)(–x+2y)(–x–2y)分析(2)a=___，b=____(a+b)(a-b)=a2-b2(–x+2y)(–x–2y)–x2y一同一反先把要计算的式子与公式对照，确定哪个是公式中的

a，

哪个是

b解：（2）(–x+2y)(–x–2y)=（-x）2－

（2y）2=x²－4y2=（－x）2－（2y）2新知探究探究点2几何验证平方差公式边长为a的正方形纸板缺了一个边长为b的正方形角，经裁剪后拼成了一个长方形.议一议（1）你能分别表示出裁剪前后的的纸板的面积吗？abba(a–b)(a–b)裁剪后面积：________________裁剪前面积：_________________

裁剪前后纸板的面积相等

a-bbabb

根据图形前后变化的面积关系直观地说明平方差公式吗新知探究探究点2几何验证平方差公式议一议前后变化的面积相等

典例分析探究点2几何验证平方差公式例２如图,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b),图中涂色部分面积可以验证的乘法公式是

。解：aabba-b(a＋b)(a－b)＝a２－b２涂色部分面积=S大正方形－S小正方形＝a２－b２,

∴(a＋b)(a－b)

＝a２－b２

,即可验证的乘法公式：(a＋b)(a－b)＝a２－b２典例分析(1)(x–1)(x+1)(x2+1)；(2)(y+2)(y–2)–(y–1)(y+5)；

例3计算：(3)102×98.解：(1)(x–1)(x+1)(x2+1)=(x2–1)(x2+1)=x4–1符合平方差公式符合平方差公式不符合平方差公式(2)(y+2)(y–2)–(y–1)(y+5)=y2

–22

–(y2+

4y

–5)=y2

–4–

y2

–4y+5=–4y+1通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.100+2100-2(3)102×98=(100+2)(100–2)=1002－22=10000－4=9996拓展提升1.完成下列填空

2.对于任意的正整数n，整式(2n＋1)(2n－1)－(2－n)(2＋n)的值一定是5的整数倍吗？即(2n＋1)(2n－1)－(2－n)(2＋n)的值是5的倍数．解：原式＝4n2－1－(4－n2)＝5n2－5.∵(5n2－5)÷5=n2-1.n为正整数，∴n2-1为整数拓展提升巩固练习教材P113练习1.下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？（1）(x+2)(x–2)＝x2–2；

（2）(–a–2)(a–2)＝a2–4；（3）(x+2y)(–x–2y)=x2–4y2；原式=x2–22=x2–4原式=(–2)2–a2=4–a2

原式=x·(–x)+x·(–2y)+2y·(–x)+2y·(–2y)=–x2–2xy–2xy–4y2

=–x2–4xy–4y2

原式=(3a)2–(4b)2=9a2–16b2

不符合平方差公式（4）(3a+4b)(3a–4b)=9a2–4b2.巩固练习教材P114练习2.计算：（1）(a+3b)(a

–3b)；

（3）(xy+1)(x2y2+1)(xy

–1)；（2）(3+2a)(–3+2a)；（4）(3x+4)(3x

–4)–(2x

+3)(3x–2)；解：(1)原式＝a2

–(3b)2=a2

–9b2(2)原式＝(2a+3)(2a–3)符号相同相当于项公式中的a符号相反项，相当于公式中的b=(2a)2–32=4a2

–9(3)原式＝符合平方差公式

(xy+1)(xy–1)(x2y2+1)=[(xy)2

–12](x2y2+1)=(x2y2

–1)(x2y2+1)=(x2y2)2

–12=x4y4

–1巩固练习教材P114练习2.计算：（1）(a+3b)(a

–3b)；

（3）(xy+1)(x2y2+1)(xy

–1)；（2）(3+2a)(–3+2a)；（4）(3x+4)(3x

–4)–(2x

+3)(3x–2)；(4)原式＝符号相同相当于项公式中的a符号相反项，相当于公式中的b符合平方差公式

(3x)2

–42–(6x2–4x+9x–6)=9x2

–16–6x2–5x+6=3x2–5x–10不符合平方差公式应用公式注意：

准确确定公式中的a和b符号相同的项是a,符号相反的项是b结果=(相同项)2－(相反项)2巩固练习教材P114练习

解：(1)

原式=(50+1)(50–1)=502–12=2500–1=2499

(2)

原式=

1.（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）先化简，再求值：（4x＋3y）（4x－3y）－3x（4x－2y）＋（－3y）²，其中x=1，y=2真题感知解：（4x＋3y）（4x－3y）－3x（4x－2y）＋（－3y）²＝（4x）²－（3y）²－12x²＋6xy＋9y²

＝16x²－9y²－12x²＋6xy＋9y²

＝4x²＋6xy当x=1，y=2时原式＝4x²＋6xy=4×1＋6×1×2=16真题感知2.（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图①所示，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形，如图②所示是由图①中的阴影部分拼成的一个长方形．

真题感知2.（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图①所示，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形，如图②所示是由图①中的阴影部分拼成的一个长方形．

真题感知2.（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图①所示，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形，如图②所示是由图①中的阴影部分拼成的一个长方形．

课堂小结(a＋b)(a－b)=a2－b2