高等数学课件 第六章 多元函数微分学第七节

第六章Advancedmathematics多元函数微分学高等数学目录/Contents第六章多元函数微分学第一节空间解析几何简介第二节多元函数的基本概念、极限与连续性第三节偏导数第四节全微分第五节方向导数与梯度第六节多元复合函数及隐函数的求导法则第七节多元函数的极值及其应用e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、二元函数的最值目录/Contents第七节多元函数的极值及其应用一、二元函数的极值三、条件极值一、二元函数的极值定义6.11设函数在点的某个邻域内有定义,

如果对于该邻域内异于点的任何点,

都有,

则称函数在点有极大值,

点称为函数的极大值点；如果对于该邻域内异于点的任何点,

都有,

则称函数在点有极小值,

点称为函数的极小值点.极大值和极小值统称为极值,

使函数取极值的点称为极值点.与一元函数的极值相似,二元函数的极值也是二元函数的一种局部性质.一、二元函数的极值【例1】根据定义,

分析下列函数在处的极值情况:(1)；(2)；(3).解(1)函数在点处有极小值.因为点的任一邻城内异于的点的函数值都为正,

而在点处的函数值为零.从几何上看,

这是显,

然的因为点是开口朝上的旋转抛物面的底点.一、二元函数的极值(2)函数在点处有极大值.因为点的任一邻城内异于的点的函数值都为负,

而在点处的函数值为零.从几何上看,

这是显然的,

因为点是位于坐标面下方的圆锥面的顶点.(3)函数在点处取不到极值.因为在点处的函数值为零,

而在点的任一邻城内,

总有使函数值为正的点(第一、第三象限中的点),

也有使函数值为负的点（第二、第四象限中的点）.一、二元函数的极值定理6.9（极值存在的必要条件）设函数在点存在偏导数,

且函数在点处有极值,

证明由于在点处有极值,

所以当时,

一元函数在处有极值.根据一元函数极值存在的必要条件,

有,

同理,

有.使偏导数,

同时成立的点称为函数的驻点.则.一、二元函数的极值定理6.10(极值存在的充分条件)设函数在点的邻域内有连续的二阶偏导数,

且点为函数的驻点,

记,

则(1)当时,

是函数的极值；且当时,

是极大值；是极小值；(2)当时,

不是函数的极值.时,

当一、二元函数的极值利用上面两个定理,

对于具有二阶连续偏导数的函数,

求极值的步骤如下:1.求驻点,

即解方程组的点；2.对于每个驻点,

求出二阶偏导数的值；3.由的符号,

判断是否取极值,

由的符号判定是极大值还是极小值；4.求出极值.一、二元函数的极值【例2】求函数的极值.解解方程组,得驻点,.由于列表讨论如下：,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、二元函数的最值目录/Contents第七节多元函数的极值及其应用一、二元函数的极值三、条件极值二、二元函数的最值定义6.12设函数在某区域上有定义,

对于该区域上的任何点,

如果都有,

则称为函数在区域上的最大值；如果有,

则称为函数在区域上的最小值.最大值和最小值统称为最值,

使函数取最值的点称为最值点.二、二元函数的最值由本章第一节闭域上的多元连续函数的几个性质（有界性,

最值定理,

介值定理）我们知道,

当函数在闭区域上连续时,

函数在上必有最大值和最小值.关于在闭区域上连续函数的最大(小)值求法与闭区间上连续函数的最大（小）值求法相类似.在实际问题中,

如果根据问题的性质知道的最大(小)值一定在的内部取得,

并且在内具有唯一的驻点,

那么可以断定这个唯一的驻点处的函数值就是在上的最大（小）值.二、二元函数的最值【例3】某工厂生产、两种产品,

销售单价分别是千元与千元,

生产单位的产品与生产单位的产品的总费用是(千元),

求：当、产品的产量分别为多少时,

能使获得的总利润最大？并求最大总利润.解设为产品、分别生产和单位时所得的总利润.所以,

个单位,由于该实际问题有最大值,所以当产品生产产品生二、二元函数的最值由得唯一驻点.产个单位时,所得总利润最大,最大总利润为千元.二、二元函数的最值【例4】设分别为商品的需求量,

它们的需求函数为,

,

总成本函数为,

其中和为商品和的价格（单位：万元）,

试问价格和取何值时可使总利润最大?并求最大总利润.解据题意,

总收益函数为,

总利润函数为,

二、二元函数的最值由,

即,

解得唯一的驻点.由于实际问题存在最大总利润,

所以当取价格时可获得最大总利润万元.e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、二元函数的最值目录/Contents第七节多元函数的极值及其应用一、二元函数的极值三、条件极值三、条件极值在实际问题中我们常常遇到这样的极值问题：求函数在条件下的极值.例如,

求周长为给定的常数时面积最大的矩形,

就是求在条件下的极大值.又如,

求连续函数在闭区域上的最大（小）值的一般方法是：先求出在内所有驻点处的函数值、偏导数不存在点处的函数值（即可能极值点处的函数值）；再求出在的边界上的极大（小）值,

二者中最大（小）值就是所求最大（小）值.其中在的边界上（假设的边界方程为）的极值就是求在条件下的极值.三、条件极值如果对自变量除限定在定义域内取值外,

还需满足附加条件,

这类极值问题称为条件极值.前面在讨论函数极值时,

对自变量除限定在定义域内取值外,

并无其他约束条件,

这类极值问题称为无条件极值,

简称极值.求解条件极值问题有二种方法,

其一是：若由能解出显函数或,

代入中就变成了一元函数,

从而化成了求解一元函数的极值问题；其二就是下面介绍一种求条件极值的常用方法——拉格朗日乘数法.三、条件极值下面我们来寻求函数在条件下取得极值的必要条件.假设点为函数在条件下的极值点,

且满足隐函数存在定理的条件,

确定隐函数,

则是一元函数的极值点.于是由一元可导函数取极值的必要条件得,

由隐函数存在定理得,

故,

三、条件极值令,于是极值点需要满足三个条件：因此,若引进辅助函数,则前面三个条件即函数称为拉格朗日函数,参数称为拉格朗日乘数（是一个待定常数）.三、条件极值拉格朗日乘数法求函数在条件下的可能极值点的一般步骤:(1)构造拉格朗日函数,其中为拉格朗日乘数.(2)求对的三个一阶偏导数,并令它们为零,即得方程组(3)解上面方程组,得可能极值点.三、条件极值若求函数在条件,下的可能极值点,(1)构造拉格朗日函数,其中为拉格朗日乘数.(2)求对的五个一阶偏导数,并令它们为零,即得方程组三、条件极值(3)

解上面方程组,得可能极